Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне школьной программы) | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 8 февраля, печатный экземпляр отправим 12 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Научный руководитель:

Рубрика: Спецвыпуск

Опубликовано в Юный учёный №6 (9) декабрь 2016 г.

Дата публикации: 20.12.2016

Статья просмотрена: 58 раз

Библиографическое описание:

Антишина А. А., Морёнова А. М., Шмелева О. В. Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне школьной программы) // Юный ученый. — 2016. — №6.1. — С. 5-6. — URL https://moluch.ru/young/archive/9/624/ (дата обращения: 26.01.2020).



Мы на 2 поделим быстро

И не грязно, очень чисто!

И на 9, на 3 — вот, сам ты посмотри!

Безусловно, будем знать

Как делить на 25.

На 4,6,7,8 -

Никого о том не спросим.

Не забудем мы про 5,

Очень просто вычислять!

Это, по всей видимости,

Признаки делимости!

Морёнова Александра


Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число b, можно произвести деление этих чисел. Но при решении некоторых задач это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

В курсе математики мы изучали признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, которые применяли при разложении чисел на множители, при сокращении дробей.

А существуют ли другие признаки делимости?

Целью нашего проекта является исследование признаков делимости на числа от 2 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики и знакомство с ними других учащихся. Задачи проекта:

  1. Познакомить с различными информационными источниками;
  2. Систематизировать полученную информацию
  3. Попробовать на практике применить несколько выявленных признаков;
  4. Познакомить с другими признаками одноклассников

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

Общий признак делимости для любого числа даёт впервые Блез Паскаль в 1654 г: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Но для многих чисел он очень громоздкий.

Пример. 201делится на 3,т. к.

2∙1+0∙1+1∙1=3, где 1,1,1 — остатки от деления 100,10 и 1 на 3.

Признаки, изучаемые в школе, и следствия из них

В школе мы изучали признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, ина 10. Пользуясь этими признаками, можно вывести признаки делимости на некоторые составные числа.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3.

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 9.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Деление числа, составленного из последних цифр

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Примеры. число 14676 делится на 4, т. к. 76:4=19.

7316:4, 11124:4, 13131336:4

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Пример. число 579320 делится на 8, так как 320: 8=40.

Деление суммы (разности) чисел, составленных из некоторых групп цифр числа

Число делится на 7 тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Пример.

602:7,т. к. 60–2∙2=56 — кратно 7

224:7,т. к. 22–4 ∙2=14 — кратно 7

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11

Пример.

869:11, т. к.8–6+9=11- кратно 11

8679:11,т. к. 8–6+7–9=0 — кратно 11

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Пример. число 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104: 13=8

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз число единиц, кратно 17.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Вывод.

  1. Гипотеза была подтверждена существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики.
  2. Зная основные признаки делимости на простые числа, можно получить признаки делимости на составные числа.
  3. Цель достигнута, были изучены признаки делимости от 2 до 20.

Делить я в столбик не хочу.

Я хочу в уме!

И какие числа — как,

Буду знать вполне.

Признаки делимости мне помогут сразу.

А вот в столбик я не поделю ни разу!

Морёнова Александра

Литература:

  1. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — 3-е изд. — М.: Наука, 1980
  2. Гельфанд М. Б., Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., — «Просвещение», 1985.
  3. Признаки делимости. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. — http://ru.wikipedia.org/wiki/ %CF %F0 %E8 %E7 %ED %E0 %EA %E8_ %E4 %E5 %EB %E8 %EC %EE %F1 %F2 %E8
Основные термины (генерируются автоматически): признак делимости, число, сумма цифр, целое число, четная цифра, натуральное число, последняя цифра, удвоенная последняя цифра, школьный курс математики, результат вычитания.


Похожие статьи

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Примечание: число делится на 11, если разность между суммами цифр, стоящих на четных и на нечетных местах делится на 11 [1]. Для решения задачи вспомним признак делимости на 4 (25): если число, составленное из последних двух цифр, делится на 4 (25), то и исходное...

Изложение теории делимости в УМК «Математика...»

Одной из важнейших тем школьного курса математики является «Делимость». Делимость — фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики.

Основные термины (генерируются автоматически): цифра, число...

За вертикальной чертой к удвоенной цифре корня (к 12) приписываем справа цифру 4 и на нее же умножим полученное число (124 на 4) (см. рис. 3). Проводя умножение, мы умножаем 4 на 4, то есть находим квадрат единиц корня, затем умножаем 12 десятков корня на единицы.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Общий признак делимости для любого числа даёт впервые Блез Паскаль в 1654 г: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки...

Применение метода математической индукции к решению задач на...

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Элективный курс ««Некоторые специальные числа натурального...

Понятие числа является фундаментальным понятием математики.

- последняя цифра четного совершенного числа всегда равна 6 или 8, - каждое четное совершенное число является треугольным, т. е. является суммой первых натуральных чисел

Комбинаторика. Ее изучение в школе | Статья в журнале...

Решение: Поскольку нечетных цифр, употребляемых в качестве единиц и десятков при записи чисел, пять, а именно: 1, 3, 5,7,9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5...

Интегрированный урок на тему «Положительные и отрицательные...

Если сумма двух чиселчетное число, то и их разность тоже четное число. Основные термины (генерируются автоматически): число

Число делится на 7 тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры...

Оценки снизу для числа представлений в задачах аддитивной...

Число представлений натурального числа в виде суммы членов двух последовательностей, одна из которых является достаточно редкой, для большинства

число представлений, натуральное число, число, теорема, вид суммы членов, широкий класс задач, целое число.

Похожие статьи

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Примечание: число делится на 11, если разность между суммами цифр, стоящих на четных и на нечетных местах делится на 11 [1]. Для решения задачи вспомним признак делимости на 4 (25): если число, составленное из последних двух цифр, делится на 4 (25), то и исходное...

Изложение теории делимости в УМК «Математика...»

Одной из важнейших тем школьного курса математики является «Делимость». Делимость — фундаментальное понятие алгебры, арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики.

Основные термины (генерируются автоматически): цифра, число...

За вертикальной чертой к удвоенной цифре корня (к 12) приписываем справа цифру 4 и на нее же умножим полученное число (124 на 4) (см. рис. 3). Проводя умножение, мы умножаем 4 на 4, то есть находим квадрат единиц корня, затем умножаем 12 десятков корня на единицы.

Применение специальных задач для успешного выполнения...

Общий признак делимости для любого числа даёт впервые Блез Паскаль в 1654 г: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки...

Применение метода математической индукции к решению задач на...

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Элективный курс ««Некоторые специальные числа натурального...

Понятие числа является фундаментальным понятием математики.

- последняя цифра четного совершенного числа всегда равна 6 или 8, - каждое четное совершенное число является треугольным, т. е. является суммой первых натуральных чисел

Комбинаторика. Ее изучение в школе | Статья в журнале...

Решение: Поскольку нечетных цифр, употребляемых в качестве единиц и десятков при записи чисел, пять, а именно: 1, 3, 5,7,9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр. Количество этих позиций есть число размещений из 5...

Интегрированный урок на тему «Положительные и отрицательные...

Если сумма двух чиселчетное число, то и их разность тоже четное число. Основные термины (генерируются автоматически): число

Число делится на 7 тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры...

Оценки снизу для числа представлений в задачах аддитивной...

Число представлений натурального числа в виде суммы членов двух последовательностей, одна из которых является достаточно редкой, для большинства

число представлений, натуральное число, число, теорема, вид суммы членов, широкий класс задач, целое число.

Задать вопрос