В статье авторы приводят анализ отдельных симметричных шифров.
Ключевые слова: математика, алгоритм, шифр.
Мы живем в мире информации. Нас окружают книги, всемирная информационная сеть «интернет» и не только. Мы оплачиваем электронные счета, посещаем сайты в интернете, подписываем электронной подписью различные документы. Вся информация имеет статус открытого или закрытого доступа. Буквально каждый житель нашей планеты ежедневно сталкивается с шифрованием. Все то, что надо скрыть от большинства жителей засекречивается. Секретность информации осуществляется с помощью шифрования.
Наши персональные данные защищают с помощью различных шифров. Именно они обеспечивают безопасную передачу информации в различных сетях.
В современном мире человечество встречается с шифрованием практически постоянно. Но только немногие интересуются данной темой. Актуальность этой темы несомненна во все времена. Давайте познакомимся с этой темой поближе.
Рассмотрим небольшую часть симметричных шифров. Они подразделяются на два вида: шифры замены и шифры перестановки (табл. 1).
Таблица 1
Исследуемые симметричные шифры
|
Шифры замены |
Шифры перестановки |
|
Атбаш |
по ключу |
|
Цезаря |
Двойной перестановки |
|
Простая замена |
Магический квадрат |
|
Вижинера |
- Шифры замены
В представленных ниже «шифрах замены» символы исходного текста меняются на другие символы.
Шифр «Атбаш»
Один из древних шифров, в котором все символы алфавита делили на две равные части. Одна часть располагалась над другой. При шифровании верхние буквы заменялись на нижние.
В России система шифрования «Атбаш» получила широкое распространение в 16–18 веках (табл. 2). Зашифрованные буквы записывались в обратном порядке от стандартной записи алфавита.
Таблица 2
Пример русского алфавита для шифрования методом «Атбаш»
|
Исходные буквы |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ё |
Ж |
3 |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
O |
П |
|
Зашифрованные буквы |
Я |
Ю |
Э |
Ь |
Ы |
Ъ |
Щ |
Ш |
Ч |
Ц |
Х |
Ф |
У |
Т |
С |
Р |
П |
|
Исходные буквы |
Р |
С |
Т |
У |
Ф |
X |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
|
|
Зашифрованные буквы |
О |
Н |
М |
Л |
К |
Й |
И |
З |
Ж |
Ё |
Е |
Д |
Г |
В |
Б |
А |
Шифрование осуществляется по формуле:
i = n – i + 1, (1)
где i — номер буквы в алфавите, n — число букв в алфавите.
Например, исходный номер буквы «В» — 3. «В = 33–3+1=32». Таким образом, буква «В» заменена на «Э». Для примера использования зашифруем фразу: «Школа — источник знаний». Зашифрованная фраза: «Жфруя — цнмрзсцф чсясцх».
Шифр Цезарь
Великий полководец создал собственный шифр. Принцип шифрования был достаточно прост: каждая буква слова сдвигалась вправо на одно и то же число позиций. Цезарь использовал сдвиг на три символа (табл. 3).
Таблица 3
Пример русского алфавита для шифрования шифра Цезаря
|
Исходные буквы (х) |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
3 |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
O |
П |
|
Зашифрованные буквы (х 1 ) |
Г |
Д |
Е |
Ж |
3 |
И |
Й |
К |
Л |
М |
И |
0 |
П |
Р |
С |
Т |
|
Исходные буквы(х) |
Р |
С |
Т |
У |
Ф |
X |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
|
Зашифрованные буквы (х 1 ) |
У |
Ф |
X |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
А |
Б |
В |
Если сопоставить каждому символу алфавита его порядковый номер, то шифрование (см. формулу (2)) и расшифрование (см. формулу (3)) можно выразить формулами:
х 1 = х + k (2)
х = х 1 — k, (3)
где х — символ открытого текста (исходные буквы), х 1 — символ шифрованного текста (зашифрованные буквы), k — ключ (в шифре Цезаря ключ равен 3).
Пример шифрования:
исходная фраза: «Школа — источник знаний»
зашифрованная фраза: «Ынсог — лфхсърлн кргрлм» (ключ сдвига — 3).
Шифр простой замены
В данном шифре сначала согласные буквы нумеруются по порядку, затем гласные буквы, и в конце «Ъ» и «Ь» знаки (табл. 4).
Таблица 4
Пример русского алфавита для шифра замены
|
Исходные буквы |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
3 |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
О |
П |
|
Зашифрованные буквы |
22 |
1 |
2 |
3 |
4 |
23 |
5 |
6 |
24 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
25 |
12 |
|
Исходные буквы |
Р |
С |
Т |
У |
Ф |
X |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
|
Зашифрованные буквы |
13 |
14 |
15 |
26 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
31 |
27 |
32 |
28 |
29 |
30 |
Символы открытого текста запишем столбцом и зашифруем с помощью ключа (см. формулу 4):
буква = 9*n , (4)
где 9 — коэффициент шифрования (вместо 9 может быть любое целое число), а n — номер буквы открытого текста.
Зашифруем слово ШИФР (табл. 5):
Ш — 20 * 9 = 180
И — 24 * 9 = 216
Ф — 16 * 9 = 144
Р — 13 * 9 = 117
Пример шифрования:
исходная фраза: «ШИФР»
зашифрованная фраза: «180216144117».
Шифр Виженера
Этот шифр представляют в виде последовательности нескольких шифров Цезаря с различными значениями сдвига. Для шифрования нужна таблица алфавитов.
В таблице в каждой строке 33 буквы, следующие строки сдвигаются на несколько позиций. Получается, что в такой таблице Виженера 33 различных шифров Цезаря.
В шифре Виженера (рис. 1) используется ключевое слово. Оно указывает величину сдвига. Шифр обладает значительно более высокой криптостойкостью, чем шифр Цезаря. Слово шифруется по принципу: буква ключа — строка в таблице, буква исходного слова — столбец. Зашифрованная буква находится на их пересечении.
Рис. 1. Шифр Виженера для русского алфавита
В табл. 5 представлен пример применения шифра Виженера. К исходному слову «Виженер» выбран ключ «Цезарь». Ключ короче исходного слова, поэтому его нужно повторять, пока количество букв не сравняется — «ЦезарьЦезарь…» — в примере достаточно добавить «Ц». Шифруем слово, согласно описанному выше алгоритму.
Таблица 5
Пример шифрования с помощью шифра Виженера
|
Исходное слово |
П |
Р |
О |
Е |
К |
Т |
|
Ключ |
П |
Л |
Ю |
С |
П |
Л |
|
Зашифрованное слово |
Я |
Ь |
Н |
Ч |
Ъ |
Ю |
2. Шифры перестановки
Алгоритмы перестановки — процесс изменения символов исходного текста по заранее определенному алгоритму. Он является секретным ключом.
Рассмотрим шифрующие таблицы. Ключом в них используются:
а) размер таблицы;
б) слово или фраза, задающие перестановку;
c) особенности структуры таблицы.
Шифр «Перестановка по ключу»
Сообщение записывается в таблицу по столбцам (табл. 6) под ключевым словом. Далее столбцы переставляются по ключевому слову, фразе или набору чисел длиной в строку таблицы. Применим в качестве ключа, например, слово «ВЕКТОР», текст сообщения: «ДЕТИ ЛЮБЯТ УЧИТЬ МАТЕМАТИКУ В ШКОЛЕ».
В верхней строке левой таблицы записан ключ, а номера под буквами ключа определены в соответствии с естественным порядком соответствующих букв ключа в алфавите. Если бы в ключе встретились одинаковые буквы, они бы были пронумерованы слева направо. В правой таблице столбцы переставлены в соответствии с упорядоченными номерами букв ключа.
Таблица 6
Таблицы, заполненные ключевым словом и текстом сообщения
|
К |
О |
Р |
Е |
Н |
Ь |
Е |
К |
Н |
О |
Р |
Ь |
|
|
2 |
4 |
5 |
1 |
3 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
Д |
Ю |
Ч |
А |
Т |
Ш |
А |
Д |
Т |
Ю |
Ч |
Ш |
|
|
Е |
Б |
И |
Т |
И |
К |
Т |
Е |
И |
Б |
И |
К |
|
|
Т |
Я |
Т |
Е |
К |
О |
Е |
Т |
К |
Я |
Т |
О |
|
|
И |
Т |
Ь |
М |
У |
Л |
М |
И |
У |
Т |
Ь |
Л |
|
|
Л |
У |
М |
А |
В |
Е |
А |
Л |
В |
У |
М |
Е |
|
|
перестановка столбцов |
||||||||||||
При считывании содержимого правой таблицы по строкам и записи шифрованного текста группами по пять букв получим шифрованное сообщение: «АДТЮЧШ ТЕИБИК ЕТКЯТО МИУТЬЛ АЛВУМЕ».
Шифр «Двойной перестановки»
Сначала в таблицу построчно записывается текст сообщения, потом поочередно переставляются столбцы, а затем строки (табл. 7).
Ключом к шифру двойной перестановки служит последовательность номеров столбцов и строк исходной таблицы (в нашем примере последовательности 4132 и 3142 соответственно).
Число вариантов двойной перестановки быстро возрастает при увеличении размера таблицы.
На начальном этапе вписывается исходная фраза в таблицу, затем переставляются столбцы, и на последнем этапе переставляются строки.
Таблица 7
Пример использования шифра «Д войной перестановки»
|
4 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||
|
3 |
И |
З |
У |
Ч |
3 |
З |
Ч |
У |
И |
1 |
Ю |
И |
Ш |
А |
||
|
1 |
А |
Ю |
Ш |
И |
1 |
Ю |
И |
Ш |
А |
2 |
Р |
И |
О |
Ф |
||
|
4 |
Ф |
Р |
О |
В |
4 |
Р |
И |
О |
Ф |
3 |
З |
Ч |
У |
И |
||
|
2 |
А |
Н |
И |
Е |
2 |
Н |
Е |
И |
А |
4 |
Р |
И |
О |
Ф |
||
|
исходная таблица |
перестановка столбцов |
перестановка строк |
||||||||||||||
Исходная фраза: «ИЗУЧАЮ ШИФРОВАНИЕ»
Зашифрованная фраза: «ЮИША РИОФ ЗЧУИ РИОФ»
Шифр «Магические квадраты»
В квадрат размером 4×4 (размеры могут быть другими) вписывались числа от 1 до 16 (табл. 8). «Магия» квадратов состояла в том, что сумма чисел по строкам, столбцам и полным диагоналям равнялась одному и тому же значению числу.
Таблица 8
Шифр «Двойной перестановки»
|
16 |
3 |
2 |
13 |
34 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
34 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
34 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
34 |
|
34 |
34 |
34 |
34 |
Примечание: «34» — это сумма цифр по столбцам или строкам.
Шифрование по магическому квадрату производилось следующим образом. Буквы фразы вписываются последовательно в квадрат, согласно записанным в них числах, а в пустые клетки ставятся произвольные буквы табл.9).
Таблица 9
Пример использования шифра Магического квадрата
|
16 Т |
3 Ш |
2 Е |
13 О |
|
5 Д |
10 Т |
11 П |
8 А |
|
9 Е |
6 Е |
7 Л |
12 Р |
|
4 А |
15 К |
14 Е |
1 Л |
Пример шифрования:
исходная фраза: «ЛЕША ДЕЛАЕТ ПРОЕКТ»
зашифрованная фраза: «ТШЕО ДТПА ЕЕЛР АКЕЛ»
Итак, рассмотрев небольшую часть симметричных шифров, мы убедились, что во всех шифрах используются различные математические алгоритмы.
Литература:
- Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. — М.: «АВF», 1996 -335с.
- Виленкин Н. Я. Математика и шифры. — Квант, № 8, 1977
- Всё о шифрах и кодах в мире математики и криптографии / Роман Душкин: ил. Е. Колосовской. — Москва: Издательство «АСТ», 2018. — 448 с.
- Виленкин Н. Я., Депман И. Я. За страницами учебника математики — М.: Просвещение, 1986.
