Свойства вписанного четырёхугольника. Часть 1

К настоящему времени найдено огромное количество свойств вписанного четырёхугольника и конструкций, с ним связанных, причём многие из них регулярно появляются при решении задач с различных математических олимпиад. К сожалению, большинство этих свойств описано в разрозненных источниках, что создаёт проблему при подготовке к олимпиадам математического цикла, поэтому своей задачей автор поставил их поиск и систематизацию, а также нахождение новых.

В данной статье собраны и систематизированы темы и методы доказательств, связанные со вписанным четырёхугольником, а для более качественного погружения в тему предложены 15 подробно разобранных задач олимпиадного уровня, 4 из которых были придуманы в процессе работы над статьёй.

Автором были найдены свойства 11 и 12, а также изящные доказательства ко многим другим.

Некоторые обозначения:

— ABCD — сам вписанный четырёхугольник

— AC ∩ BD = P, AB ∩ DС = E, BC ∩ AD = F

—  — описанная окружность ABCD, O — её центр, R — радиус

— M — точка Микеля ABCD

— H — ортоцентр ABCD

— M _{XY —} середина XY

— H _{XYZ —} ортоцентр XYZ

— (XYZ) — описанная окружность XYZ

— Простые задачи и темы

— Углублённые задачи и темы

— Продвинутые задачи и темы

Общие сведения о полном четырёхстороннике

— Полным четырёхсторонником называется фигура (ABCDEF), образованная четырьмя прямыми общего положения

— (BCE), (ADE), (CDF), (ABF) пересекаются в одной точке M, называемой точкой Микеля четырёхугольника ABCD (доказательство элементарно; M же является центром поворотной гомотетии, переводящей AB в DC и BC в AD, подробнее — см. [1] или [4])

— H _BCE , H _ADE , H _CDF , H _ABF лежат на одной прямой, называемой прямой Обера (здесь и далее h), и M _AC , M _BD , M _EF также лежат на одной прямой, прямой Гаусса, причем прямая Гаусса  h (доказательство через радикальные оси см., например, [3], про радикальные оси см., например, [1])

— O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF и M лежат на одной окружности (здесь и далее )

1) Поскольку M лежит на каждой из (BCE), (ADE), (CDF), (ABF), то, из свойств прямой Симсона (подробнее см., например, [1]) M ₁ — M ₂ — M ₃ , M ₁ — M ₂ — M ₄ , M ₁ — M ₃ — M ₄ и M ₂ — M ₃ — M ₄ , где

M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ — основания перпендикуляров из M на AB, CD, BC и AD соответственно, откуда

M ₁ — M _{2 —} M ₃ — M ₄ (отсюда, кстати, также следует коллинеарность H _BCE , H _ADE , H _CDF , H _ABF как лежащих на совпадающий прямых Штейнера M относительно (BCE), (ADE), (CDF), (ABF) (св-во прямой Симсона))

2) Т.к, M лежит на каждой из (BCE), (ADE), (CDF), (ABF), то при инверсии в M (св-ва инверсии см. [3]) O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF перейдут в точки O _BCE ’, O _ADE ’, O _CDF ’, O _ABF ’, являющиеся отражениями M относительно сторон образа ABCD, значит O _BCE ’, O _ADE ’, O _CDF ’, O _ABF ’, как и M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ будут лежать на одной прямой, а значит до инверсии O _BCE , O _ADE , O _CDF , O _ABF и M лежали на одной окружности, ч.т.д.

Сопряжение Клоусона и инверсия Микеля

— Дан четырёхугольник ABCD и точка X, (ABX) ∩ (CDX) = Y, (BCX) ∩ (ADX) = Y’, тогда (ADY), (BCY), (ABY’) и (CDY’) пересекаются в одной точке X’, называемой сопряженной Клоусона точки X в четырёхугольнике ABCD.

Доказательство:

1) После инверсии в X задача становится равносильной существованию точки Микеля полного четырёхсторонника

— Из свойств поворотной гомотетии следует, что для полного четырёхсторонника ABCDEF

— MA * MC = MB * MD = ME * MF и AMC, BMD и EMF имеют общую биссектрису l.

Тогда для преобразования i _M , являющегося композицией инверсии в M с радиусом и симметрии относительно l, верно: i _M : A  C, B  D, E  F. i _M называется инверсией Микеля

Утверждение: пусть i _M : X  X’, тогда X’ будет сопряженной Клоусона для X в четырёхугольнике ABCD

Доказательство:

1) Из свойств инверсии имеем MXC =  MAX’ и MXB = MDX’, а из свойств поворотной гомотетии BAM = CDM, откуда BXC =  BAX’ + X’DC. Получая аналогичные равенства для других сторон, заключаем, что X и X’ — сопряженные Клоусона по признаку, ч.т.д.

Высоты и диагонали во вписанном четырёхугольнике

— Лемма Монжа: высоты, опущенные из середин сторон ABCD на противоположные стороны, пересекаются в одной точке (ортоцентре ABCD), причем эта точка делит пополам каждый из отрезков, соединяющих вершины с ортоцентрами “противоположных” треугольников

Доказательство:

1) Поскольку H _ABD H _ACD CB — параллелограмм (свойство 1) то BH _ACD и CH _ABD , равно как BH _ACD , AH _BCD и CH _ABD , DH _ABC точкой пересечения делятся пополам, значит, все четыре отрезка (AH _BCD , BH _ACD , CH _ABD и DH _ABC ) пересекаются в одной точке (H) и делятся ей пополам

2) Т. к. H _ABD H _ACD CB — п-мм, то высота из M _BC на AD, параллельная BH _ACD , будет проходить через его точку пересечения диагоналей.

Аналогично другие высоты будут проходить через точки пересечения диагоналей соответствующих п-ммов, которые, как мы поняли, совпадают (точка H), ч.т.д.

3*) Кроме того, H _ABD H _ACD H _ABD H _ABC центрально симметричен ABCD

4*) Если рассматривать ломаную ACBD (а не ABCD) как “основную”, то тогда её сторонами будут являться AC и BD  H  перпендикулярам из середин AC и BD на BD и AC соответственно

— H есть середина H _BCE H _ADE и H _ABF H _CDF

Доказательство:

1)H _ADE H _ACD || BH _BCE , H _ADE H _ACD = BH _BCE , HB = H _ACD  HH _ADE H _ACD = HBH _BCE  H _ADE HH _ACD = BHH _BCE и HH _BCE = HH _ADE  H — середина H _BCE H _ADE , аналогично H — середина H _ABF H _CDF , ч.т.д.

Следствие: H _ADE H _CDF = H _ABF H _BCE

— G — середина OH, где G — центр масс ABCD

Доказательство:

1)M _AB H || OM _CD и HM _CD || M _AB O  M _AB HM _CD O — п-мм по признаку  G, середина M _AB M _CD , есть и середина OH, ч.т.д.

— P  h

Доказательство:

1)Поскольку h есть радикальная ось окружностей, построенных на AC и BD как на диаметрах, то принадлежность P прямой h равносильна равенству степеней P относительно этих окружностей, что, в свою очередь, равносильно PA * PC = PB * PD

— У любого вписанного многоугольника существует ортоцентр

Если во вписанном n-угольнике соединить каждую вершину с ортоцентром (n-1)-угольника, образованного оставшимися вершинами, то все полученные отрезки пересекутся в одной точке и поделятся в отношении (n — 3):1, считая от вершины. Докажем это по индукции:

1. База для n = 4 доказана
2. Пусть утверждение верно для n-угольника
3. 1) Рассмотрим 2 вершины A ₁ и A ₂ (n+1)-уг., ортоцентр H _{n -1} (n-1)-уг., вершинами которого являются оставшиеся n-1 вершина, тогда ортоцентр H _{n _1} n-уг., не содержащего A ₁ — такая точка на A ₂ H _{n -1} , что A ₂ H _{n _1} /H _{n _1} H _{n -1} = (n — 3):1, аналогично и H _{n _2} .

2) Пусть A ₁ H _{n _1} ∩ A ₂ H _{n _2} = H _{n +1} , тогда из теоремы Менелая для A ₁ H _{n -1} H _{n _1} : A ₁ H _{n +1} /H _{n +1} H _{n _1} = (n-2):1

3) Аналогично любые 2 отрезка A _i H _{n _ i} и A _k H _{n _ k} точкой пересечения поделятся в отношении (n-2):1, считая от вершины  все такие отрезки пересекутся в одной точке и поделятся в отношении (n-2):1 

4. Предположение верно для всех n, ч.т.д.

— В любом вписанном многоугольнике центр описанной окружности, центр масс и ортоцентр лежат на одной прямой, причем центр масс делит отрезок соединяющий центр описанной окружности с ортоцентром в отношении (n-2):2, считая от центра описанной окружности

Про геометрию масс, в частности про центр масс, можно прочитать в [6], нам же понадобится только то, что центр масс n-угольника с равными весами в вершинах — точка на отрезке, соединяющим произвольную вершину с центром масс оставшихся (n-1) вершин, делящая его в отношении (n-1):1, считая от вершины (по сути, это точка, при подвесе за которую многоугольник останется в равновесии. В частности, на отрезке это будет действовать правило рычага, а если рассматривать четырёхугольник с равными массами в вершинах, то это будет центр четырёхугольника Вариньона)

Итак, докажем исходное утверждение по индукции:

1. База для n = 3 общеизвестна
2. Пусть предположение верно для n-угольника
3. 1) Рассмотрим вершину A вписанного (n+1)-уг., центр его описанной окружности O, его центр масс M _{n +1} и ортоцентр H _{n +1} , а также центр масс M _n и ортоцентр H _n n-угольника, образованного из данного “выкидыванием” A, тогда:

2) Используя доказанные свойства ортоцентра, определение центра масс и индуктивное предположение, получаем, что

AH _{n +1} /H _{n +1} H _n = (n — 2):1, AM _{n +1} /M _{n +1} M _n = n:1 и OM _n /M _n H _n = (n — 2):2. По теореме Менелая для AH _n M _n легко проверить, что H _{n +1} , M _{n + 1} и O лежат на одной прямой (эта прямая называется прямой Эйлера вписанного n-угольника), а из теоремы Менелая для OH _{n +1} H _n получаем, что OM _{n +1} /M _{n +1} H _{n +1} = (n — 1):2  4. Предположение верно для всех n, ч.т.д

Исследуем вписанный четырёхугольник

— Свойство 4: M  EF

(EMC + CMF = ABC + CDA = )

— Свойство 5: O — P — M

Действительно, т. к. O — точка велосипедистов* для (CDF) и (ABF), то OO _CDF FO _ABF — п-мм, а OMO _CDF O _{ABF —} трапеция, но O _CDF O _ABF  EF, т. к. является серпером к MF  OM  EF, п по т. Брокара OP  EF  O — P — M, ч.т.д.

Здесь еще можно отметить, что

O _BCE O _ADE O _ABF O _CDF , O _BCE O _ADE OM, O _CDF O _ABF OM — равнобокие трапеции и OO _ADE EO _{BCE —} п-мм

*про точку велосипедистов можно почитать в [2] или [4]

— Свойство 6: O и P — сопряженные Клоусона (по признаку)

Действительно, т. к. при инверсии Микеля O  P, A  C, B  D и A — P — C, B — P — D, то до инверсии AOCM и BODM были вписанными, ч.т.д.

— Свойство 8: O  

— Свойство 9: h есть радикальная ось  и 

Доказательство:

1) После инверсии Микеля центры описанных окружностей перейдут в точки симметричные M относительно сторон ABCD, то попадут на прямую Штейнера точки M для каждой из описанных окружностей, т. е. на прямую Обера, а  перейдет в себя  точки пересечения  и  перейдут в точки пересечения  и h, но, поскольку после инверсии Микеля “конфигурация” не изменилась, то значит эти точки останутся на месте, т. е. они лежат и на , и на , и на h 

h — радикальная ость  и , ч.т.д.

2) Т. к. после инверсии Микеля  переходит в h, а O в P,  h, то до инверсии O  , ч.т.д.

Следствие: пусть  ∩ EF вторично в V, тогда, т. к. OV будет являться линией центров  и , и h  m, то OV || m

— Свойство 10: O _ADE H _ADE O _BCE H _BCE и O _CDF H _ABF O _ABF H _CDF вписаны в концентрические окружности

Доказательство:

1)Т. к. AED  BEC, то, первое, BEH _BCE = CEH _ABE , который, очевидно, = AEO _ADE  E — H _BCE — O _ADE , аналогично E — O _BCE — H _ADE , и второе, EO _ADE / EO _BCE = EH _ADE / EH _BCE  EO _ADE * EH _BCE = EO _BCE * EH _ADE 

O _ADE H _ADE O _BCE H _{BCE —} вписанный по признаку, аналогично и O _CDF H _ABF O _ABF H _CDF

2) Т. к. O _BCE O _ADE O _ABF O _{CDF —} равнобокая трапеция, то серпер к O _BCE O _ADE совпадает с серпером к O _ABF O _CDE ;

т. к. H _ADE H _CDF = H _ABF H _BCE , то серпер к H _ABF H _CDF совпадает с серпером к H _BCE H _ADE  центры описанных окружностей O _ADE H _ADE O _BCE H _BCE и O _CDF H _ABF O _ABF H _CDF совпадают, ч.т.д.

Их общий центр называется точкой Эрвея

— Свойство 11: прямые Обера ломаных ABCD, ACBD и ACDB пересекаются в одной точке.

Действительно, в разделе “Высоты и диагонали во вписанном четырёхугольнике” мы поняли, что этой ортоцентр ABCD является также и ортоцентром ACBD, аналогично и ACDB  лежит на каждой из прямых Обера.

— Свойство 12: окружности  ломаных ABCD, ACBD и ACDB соосны.

Следствие: центры окружностей  ломаных ABCD, ACBD и ACDB лежат на одной прямой

Для лучшего понимания рассуждений про ломаные на чертеже “по порядку” идут A — D — B — C вместо A — B — C — D

Задачи

1. (Iran TST, 2022, Problem 4) Диагонали вписанного в окружность с центром O четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно. Описанные окружность BCP и MON пересекаются в точке F (не на дуге MN), аналогично ADP и MON пересекаются в E. Докажите, что OE = OF.

Решение:

1) Пусть E ₁ и F ₁ (на чертеже — E и F) — точки пересечения PN с (ADP) и MP с (BPC), покажем, для начала, что это и есть E и F

2) Поскольку PN — медиана BCP, то для ADP это будет симедиана (про них можно почитать в [4] или [5]), значит, E ₁ APD — гармонический четырёхугольник (см [3] или [6]), аналогично и F ₁ BPC  E ₁ MPF ₁ = (из свойств гармонических четырёхугольников) 2AMP = (из подобия) 2CNB = E ₁ NF ₁ ;

MIN = DAC — ADP = ME ₁ N  E ₁ MNF ₁ I — вписанный, O  (MIN)  E = E ₁ , F = F ₁

3) Пусть FP ∩ (APD) = Y, тогда, в силу равенств DY = EA, OD = OA, EAO = YDO, YDO = EAO  OY = OE

5) Можно также отметить, что (BCP) и (ADP) вторично пересекаются на (MON) (EXF = EMF, где X — как раз вторая точка пересечения (BCP) и (ADP))

2. (Автор) Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в Е. Оказалось, что расстояние между центрами описанные окружностей треугольников ABP и ACE равно расстоянию между центрами описанных окружностей треугольников CDP и BDE. Докажите, что ABCD — вписанный

Решение:

1) Используя ранее доказанный факт про полный четырёхсторонник, примененный для ломаной ACDB, заключаем, что O ₁ O ₂ O ₃ O ₄ — вписанный, где O _i -центр одной из окружностей (см чертёж)

2) В силу O ₁ O ₂ = O ₃ O ₄ , O ₁ O ₂ O ₄ O ₃ — трапеция  O ₁ O ₃ || O ₂ O ₄ , но O ₁ O ₃ — срединный перпендикуляр к EM, где M — точка Микеля ломаной ACDB, а O ₂ O _{4 —} к PM  EM и PM или || или совпадают, но у них есть общая точка M  совпадают  E — P — M  BAP = BME = BDE  ABCD — вписанный по признаку, ч.т.д.

3. Даны точки A, B и C, лежащие на одной прямой и точка P, на этой прямой не лежащая. Докажите, что P и центры описанных окружностей треугольников APB, APC и BPC лежат на одной окружности.

Решение:

1) Поскольку основания перпендикуляров, опущенных из P на стороны треугольника, образованного данными центрами описанных окружностей есть середины PA, PB и PC, т. е. точки, лежащие на одной прямой, то по “обратной” прямой Симсона нужный нам четырёхугольник вписанный, ч.т.д.

4. (IMO 1992, Problem 5) Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили такую точку X, что CAB = DAX и  BCA = XCD. Докажите, что XB = XD

Решение:

2) Поскольку изогональю к радиусу является высота, то угол между DX и DO = углу между DG и DX’, который равен углу между BX’ и BE (= — BX’E), который = углу между BO и OX  XBD = XDB (мы доказали равенство направленных углов XDO и OBX, поэтому мы либо добавляем к обоим равным углам ODB и DOB равные, либо от обоих вычитаем)  BX = XD, ч.т.д.

5. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E, AD и BC — в F. Пусть X ₁ — середина отрезка, соединяющего проекции E на AC и BD, Y ₁ — E на AD и BC, X ₂ — F на AC и BD, Y ₂ — F на AB и CD, X ₃ — P на AB и CD, Y ₃ — P на AD и BC. Докажите, что X ₁ Y ₁ , X ₂ Y ₂ , X ₃ Y ₃ пересекаются в одной точке.

Решение:

Секрет задачи заключается в следующем факте: пусть K, L, M и N — проекции точки P пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD. Тогда прямая Гаусса KLMN совпадает с прямой Обера ABCD. Тогда на каждой из прямых Гаусса (X ₁ Y ₁ , X ₂ Y ₂ , X ₃ Y ₃ для соответствующей ломаной) будет лежать ортоцентр ABCD  эти 3 прямые ∩ в одной точке, ч.т.д.

Докажем этот факт:

1) Пусть Z’ — проекция Z,  AB (CD), на CD (AB), X — середина KM, Y — KK’ ∩ MM’

2) Мы уже показали, что P  H _ADE H _BCE  принадлежность X H _ADE H _BCE равносильна принадлежности Y этой прямой (P — X — Y). Докажем, что Y  H _ADE H _BCE с помощью проверки равенства отношений проекций H _BCE H _ADE и H _BCE Y на AB и CD (т. е. покажем )

6. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Точки M и N таковы, что MP  CD, ME  BD, NP  AB и NE  AC. Докажите, что AMDN — параллелограмм.

Доказательство:

Для решения нам понадобится следующая лемма: пусть дан вписанный четырёхугольник ABCD, P — точка ∩ его диагоналей, E — прямых AB и CD. Пусть Q и L — проекции E и P на AC и CD соответственно, а O — середина AD. Тогда Q, L и O лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим T и K — проекции E и P на BD и AB соотв., тогда, очевидно, TKPLQE — вписанный в окружность с диаметром EP и TQLK — трапеция в силу LEQ = EAQ — AEC = TEK

2) Пусть BAC = . Рассмотрим h = . Поскольку = 1 и h(L) = K (L  P  K), то h есть поворот, переводящий L в K. Легко проверить, что O будет являться неподвижной точкой при преобразовании h  она и есть центр этого поворота  OL = OK

Итак, вернемся к задаче:

1) К обозначениям точек в лемме добавим PK ∩ EM = F и PL ∩ EN = G

2) Очевидно, что F и G — ортоцентры EBP и ECP соотв.  EFN =  — EBP =  — ECP = EGP  MFGN — вписанный

3) Применим лемму для ABCD и MFGN: точка O пересечения TK и QL является как серединой AD, так и серединой MN  AMDN — п-мм по признаку, ч.т.д.

7. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K и L — проекции P на AB и CD соответственно. M — середина AD. KC и BL пересекаются в точке X, прямые PX и KM — в Y. Докажите, что YPLD — вписанный.

Решение:

1) Пусть AB ∩ CD = E, N — проекция E на AC.

2) Воспользуемся леммой из предыдущей задачи: K, L и N коллинеарны  YLD = NLE = (из вписанности PLNE) CPE.

4) YPD = EPN = YLD  YPLD — вписанный, ч.т.д.

8. (СПбМО, 2009, задача 7) Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Его диагонали пересекаются в точке P, а продолжения сторон AB и ВС — в точке E. M и N — середины AD и BC соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника PMN касается EP.

Решение:

1) Пусть BC ∩ AD = F, EP ∩ BC = G, EP ∩ AD = H, K — середина EP

2) Известно, что четвёрки [B; C; G; F], [A; D; H; F] и [E; P; Q; H] — гармонические (это верно для произвольного ABCD, про гармонические четвёрки см. [4] или [5])  из св-в гармонических четвёрок, т. к. M, N, K — середины AD, BC и EP соответственно, KP ² = KG * KH (1), FG * FN = FC * FB, FH * FN = FD * DA, но FD * FA = FC * FB  FG * FN = FH * FM  GNMH — вписанный

3) K, N, M лежат на одной прямой как середины диагоналей полного четырёхсторонника, образованного BECP (его прямая Гаусса)  из вписанности GNMH и равенства (1), KP ² = KN * KM, откуда KP, т. е. EP, касается (PMN) по признаку, ч.т.д.

Задачи для самостоятельного решения

1. (Автор) Во вписанном четырёхугольнике ABCD DB  AC и BA = 25, BD = 63, BC = 39. Найти радиус описанной окружности.
2. На окружности с диаметром AC выбрали точки B и D, E и F — проекции A и C на BD. Докажите, что BE = CF.
3. (Теорема Помпею) Точка P лежит на меньшей дуге AB описанной окружности равностороннего треугольника ABC. Докажите, что PC = PA + PB.
4. Пусть P лежит на меньшей дуге AB описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AC = CB). D — основание перпендикуляра из C на PB. Докажите, что PA + PB = 2PD.
5. (Е. А. Емельянов) Докажите, что точки пересечения окружностей с центрами в серединах дуг AB, BC, CD, DA окружности  и проходящие через A, B, C, D соответственно, не лежащие на , образуют прямоугольник.
6. Пусть M — середина дуги AB окружности . Пусть C и D лежат на  и MC ∩ AB = E, MD ∩ AB = F. Докажите, что CDFE — вписанный.
7. Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в E, AD и BC — в F. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов BEC и CFD со сторонами ABCD являются вершинами ромба.
8. На сторонах BC и AD вписанного четырёхугольника ABCD отметили точки B’ и A’ соответственно, такие что BB’ = AA’ = AB. На продолжениях BC и AD за C и D отметили точки C’ и D’ соответственно, такие что CC’ = DD’ = CD. Докажите, что A’B’C’D’ — вписанный.
9. (СПб МО, 2009, 11.3) В окружность  вписан четырёхугольник ABCD. Касательный к , проведённые в точках A и D, пересекаются в точке P, при этом дуга ABCD лежит вне треугольника ADP. На луче BA нашлась такая точка K, что PK||AC, а на луче DC — точка N, такая, что PN||BD. Докажите, что точки B, C, K, N лежат на одной окружности.
10. Пусть A ₁ , B ₁ , C ₁ — основания соответствующих биссектрис в треугольнике ABC. Описанная окружность A ₁ B ₁ C ₁ пересекает AB, BC, CA в C ₂ , A ₂ и B ₂ соответственно. Докажите, что 2*max(A ₁ A ₂ , B ₁ B ₂ , C ₁ C ₂ ) = A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂ .
11. Пусть B’ и C’ — основания перпендикуляров из B и C на внешнюю биссектрису угла A треугольника ABC. Докажите, что основание высоты треугольника, опущенной из A, середина стороны BC, B’ и C’ лежат на одной окружности.
12. AA ₁ — биссектриса треугольника ABC. O — центр описанной окружности ABC, O ₁ — BAA ₁ , O ₂ — CAA ₁ . Докажите, что OO ₁ = OO ₂ .
13. (Окружность Ламуна) Медианы AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AME, AMF, BMD, BMF, CMD и CME лежат на одной окружности.
14. ABCD — параллелограмм, O — его центр. Докажите, что O и проекции D на AB, BC и AC лежат на одной окружности.
15. (Автор) K, L, M, N — проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника ABCD на AB, BC, CD и DA соответственно. H — пересечение перпендикуляров из середин AC и BD на BD и AC. Докажите, что середина KM, середина LN и H лежат на одной прямой.
16. (X олимпиада имени И. Ф. Шарыгина, финал, 9 класс, задача 2, автор — Ф. Нилов) В четырехугольнике ABCD углы A и C — прямые. На сторонах AB и CD как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках X и Y. Докажите, что прямая XY проходит через середину диагонали AC.
17. (Автор) Диагонали вписанного в окружность Г четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Описанные окружности треугольников BCP и ADP с центрами в I и J пересекаются вторично в точке K. Описанная окружность IJK пересекают Г в точках X и Y. Докажите, что середина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров из E на BC и AD лежит на XY.
18. Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка P, A’, B’, C’ — проекции P на BC, AC и AB соответственно. Описанная окружность A’B’C’ вторично пересекает BC в X, прямая B’C’ пересекает прямую BC в Y. Докажите, что AX  PY.
19. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и DC — в E, AD и BC — в F. Описанные окружности треугольников ACE и BDE вторично пересекаются в X; ACF и BDF — в Y; BCE и CDF — в Z. Докажите, что ZP — биссектриса угла XZY.
20. (Автор) Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников ABP и CDP с центрами O ₁ и O ₂ вторично пересекаются в K ₁ ; BCP и ADP с центрами в O ₃ и O ₄ — в K ₂ ; Описанные окружности O ₁ O ₂ K ₁ и O ₃ O ₄ K ₂ пересекаются в X и Y. Докажите, что середина отрезка, соединяющего середины AC и BD лежит на XY.
21. Хорды AC и BD окружности  с центром O пересекаются в точке P. Докажите, что O _ABO O _CDO и O _BCO O _ADO пересекаются на OP.
22. Хорды AC и BD окружности  пересекаются в точке P. Проходящая через P прямая пересекает описанные окружности ABP и CDP и  в точках K, L, M, N (K — L — M — N). Докажите, что KL = MN.
23. Четыре окружности касаются внешним образом (каждая ровно с двумя другими) в точках A, B, C и D. Докажите, что ABCD вписанный.
24. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, прямые AB и CD — в E. Описанная окружность EPD вторично пересекает описанную окружность ABCD в точке X. Докажите, что прямая AX проходит через середину отрезка EP.

1. Lozanovski, S. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry / S. Lozanovski. — version. 1.4. — 231 c. — Текст: непосредственный.
2. Протасов, В. Ю. О двух велосипедистах и вишневой косточке / В. Ю. Протасов. — Текст: непосредственный // Квант. — 2008. — № 3. — С. 41–44.
3. Жижилкин, И. Д. Инверсия / И. Д. Жижилкин. — Москва: МЦНМО, 2019. — 72 c. — Текст: непосредственный.
4. Олимпиадная геометрия. — Текст: электронный // Дзен: [сайт]. — URL: https://dzen.ru/id/5d921a06a660d700ae014dfd.
5. Ефремов, Д. Д. Новая геометрия треугольника / Д. Д. Ефремов. — Одесса: Матезис, 1902. — 334 c. — Текст: непосредственный.
6. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии / В. В. Прасолов. — 8-е изд., испр. — Москва: МЦНМО, 2022. — 640 c. — Текст: непосредственный.
7. Куликова, А. Теорема об изогоналях / А. Куликова, Д. Прокопенко. — Текст: непосредственный // Квант. — 2018. — № 4. — С. 41–44.
8. Акопян, А. В. Геометрия в картинках / А. В. Акопян. — 1-е изд. — Москва: МЦНМО, 2011. — 130 c. — Текст: непосредственный.