В статье автор разбирает решение одной из новых задач по теории вероятностей, введённой в ЕГЭ-2022. Рассматриваются как классический вариант решения, не приводящий к решению, так и альтернативные, которые оказываются наиболее оптимальными. Приводятся аргументы, критикующие повышенную сложность данной задачи относительно стандартов школьной программы.
Ключевые слова: ЕГЭ, теория вероятностей, числа Каталана, задача о пьянице, бесконечная сумма.
В 2022 году, в первой части профильного ЕГЭ по математике будет впервые присутствовать 2 задачи на теорию вероятностей. Первая задача (номер 2) не изменится, а вторая (номер 10), по нашему мнению, будет в разы сложнее. Это задача требует более глубокого анализа, и включает несколько шагов, для получения верного ответа. Пример данных задач, был опубликован на официальном сайте «Открытый банк задач ЕГЭ по математике».
Несмотря на то, что это первая часть экзамена (размышление над задачами которой, подразумевает порядка 5 минут времени), здесь встречаются задачи, которые могут быть сложнее всей содержательной части ЕГЭ. Рассмотрим пример одной из таких задач.
«Первый член бесконечной последовательности целых чисел равен 0. Каждый последующий член данной последовательности с вероятностью
Есть множество вариантов попадания в
![Математическая модель задачи](https://moluch.ru/young/blmcbn/2834/2834.004.png)
Рис. 1. Математическая модель задачи
-
Возможно, попасть в
-
-
Но что делать дальше? Ведь этим можно заниматься бесконечно! Начнём с классического способа, заключающегося в нахождении бесконечной суммы ряда (что не входит в школьную программу, за одним исключением — суммы бесконечно-убывающей геометрической прогрессии).
Итак, посчитаем сумму вероятностей попадания в
-
Вероятность попасть из
-
Можно из
-
Попасть в
Так можно считать до бесконечности. Получаем следующее выражение:
Нахождение способов подняться до
Приходится искать альтернативные методы решения, и такие, как оказалось, есть. Первый — заключается в привлечении расширенных знаний по комбинаторике, а второй с широким кругозором знаний различных математических головоломок. Начнём с первого.
Очевидно, что нам мешает старший коэффициент, выражающий количество способов подняться до
Тогда, например, количество способов подняться до 4 и опуститься до
Перепишем наше выражение, полученное суммированием:
Теперь, используем знания комбинаторики [2, 3]. Оказывается, что у наших коэффициентов
Числа Каталана
Теперь, для решения нашей задачи, требуется воспользоваться производящей функцией. Данное понятие выходит далеко за рамки школьной программы, а также программы некоторых высших учебных заведений. Благо в данном контексте, глубокое понимание данного термина не требуется, однако его привлечение вызывает множество вопросов.
Стоит отметить, что данную функцию можно вывести, как показано, например в [4]. Но, по нашему мнению, процесс вывода достаточно трудоемкий, и точно не имеет место быть на экзамене, когда на счету каждая минута. Итак, воспользуемся производящей функцией для чисел Каталана [4]:
Теперь, с помощью данной функции, мы можем найти сумму ряда без значительных проблем.
Ответ получен, однако сколько времени для его получения бы затратил среднестатистический школьник? Отметим, также, что данный способ решения избавляет от следующей проблемы.
Если поменять вероятности
Когда мы будем рассматривать следующий способ, мы заметим, что у нас будет два ответа и выбор из них — проблема.
Итак, рассмотрим второй способ решения, за счёт широкого кругозора. В книге Мостеллера [5] была приведена следующая задача «На краю утеса» (рис. 2):
Есть пьяница, стоящий на обрыве. С вероятностью
Рис. 2. Вырезка из книги
Опустим полное решение, описанное в данной книге, и приведём её урезанный вариант.
Вероятность того, что он упадет из точки 0 —
- Гуляя, человек должен оказаться в точке 0
- А после этого, он должен упасть
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Какова вероятность того, что человек из единицы попадет в ноль? Заметим, что мы можем мысленно сдвинуть обрыв, получая тем сам аналогичную задачу (отметим, что это возможно благодаря тому, что ряд бесконечный, и сдвиг или удаление/добавление ограниченного количества элементов не меняет предел). Соответственно, вероятность упасть из позиции 1 есть вероятность того, что мы когда-нибудь сместимся на шаг назад, т. е.
Находясь в точке 0, человек может сразу пойти влево, или же сделать шаг вправо, а потом когда-нибудь влево. Тогда мы получаем равенство, зная, что
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/2834/2834.039.png)
Теперь, решим полученное равенство, пользуясь тем, что
Это означает, что как бы далеко от обрыва не стоял человек, рано или поздно он упадет. Заметим, что, данное рассуждение достаточно сложно провести, не зная его заранее. Также стоит отметить, что в данной задаче вероятности
Вернемся к исходной задаче (рис. 1). Какова вероятность попасть в
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/2834/2834.044.png)
Вероятность попасть из единицы в минус единицу, по аналогии с данной задачей, будет равна
Выполнив замену, получаем равенство:
Итак, мы получаем два ответа, причём правильным из них оказывается 0,25. Но почему?
Насколько нам известно, ответ будет зависеть от следующего частного
Отметим, что данный вывод достаточно очевиден, если понимать основы случайных процессов (также не изучающщихся в школьной программе). В случае если частное больше 1, подразумевается, что вероятность спуститься ниже выше, а следовательно, в среднем, на каждый шаг вверх, приходится
В обратном случае ситуация противоположная, и шанс опуститься до
На фоне этого, возникает максимально оптимальный вариант решения данной задачи — алгоритмический. Алгоритм, следующий:
Рассмотрим частное
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/2834/2834.049.png)
![](https://moluch.ru/young/blmcbn/2834/2834.051.png)
Отметим, что данный способ полностью обесценивает какие-либо рассуждения данной задачи, и позволяет, даже не читать задачу, а просто записать ответ, что очевидно, не соответствует уровню итогового экзамена, проверяющего знания.
Также, в заключении отметим, что большинство элементов, рассмотренных в данной статье отсутствуют в подавляющем числе школьных учебников, что напрямую увеличивает нагрузку как на педагогов, за счёт поиска и подготовки данного материала, а также сложность грамотной передачи знаний в головы учащихся, а также увеличивает нагрузку на учащихся в плане восприятия новой для них информации, и форсированного расширения кругозора знаний.
Использование же, последнего приведённого способа помимо обесценивания задачи, приводит также к банальной зубрежке формулы, что для изучения математики грозит резким снижением качества образования.
Литература:
- Открытый банк математических задач ЕГЭ. Профильный уровень. https://prof.mathege.ru/
- Спивак А. Числа Каталана. // Квант. 2004. — № 3. — с. 2–10.
- Гарднер М. Числа Каталана. // Квант. 1978. — № 7. — с. 20–26.
- Числа Каталана. https://internat.msu.ru/media/uploads/2015/12/CHisla-Katalana_jk.pdf
- Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями / Ф. Мостеллер. — М.: Наука, 1971. — 103 с.