Метод наименьших квадратов при решении экспериментальных задач по физике | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 1 февраля, печатный экземпляр отправим 5 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Физика

Опубликовано в Юный учёный №2 (5) март 2016 г.

Дата публикации: 05.03.2016

Статья просмотрена: 304 раза

Библиографическое описание:

Сергеева Е. С., Мелентьев Д. А. Метод наименьших квадратов при решении экспериментальных задач по физике // Юный ученый. — 2016. — №2. — С. 102-106. — URL https://moluch.ru/young/archive/5/287/ (дата обращения: 21.01.2020).

 

При решении экспериментальных задач по физике часто возникает необходимость измерения физических величин, находящихся в функциональной зависимости. Как правило, после измерений информация о физическом явлении извлекается из графиков, построенных по данным, полученным экспериментальным путем, а зависимость между двумя физическими величинами — xи yпредставляется в виде таблицы 1.

 

Таблица 1

x

x1

x2

x3

...

xn

y

y1

y2

y3

...

yn

 

В связи с тем, что значения величин xи y измеряются с погрешностью, нанесенные на координатную плоскость точки будут разбросаны относительно предполагаемой кривой.

Если график y = f (x) строить, непосредственно соединяя экспериментально полученные точки, то он будет иметь вид ломаной. Однако в большинстве случаев функции, описывающие процессы в природе, являются гладкими. Значит, необходимо подобрать такую функцию y = f (x), которая наилучшим образом выражала бы экспериментальную зависимость y от x.

Наиболее простым видом функциональной зависимости является прямо пропорциональная зависимость между физическими величинами вида.

Необходимо отыскать такой коэффициент k, а значит, прямую, наилучшим образом согласованную с экспериментальными точками, нанесенными на плоскость (x, y), при котором общее отклонение

минимально (рисунок 1). Для этого необходимо решить уравнение:

или ,

где xi, yi — измеренные значения величин; N — количество пар значений измеренных величин.

Естественно, что для отыскания экстремума дифференцирование ведется по параметру, от которого зависит, как пройдет график. Воспользовавшись правилами дифференцирования суммы и сложной функции, получим

Полученное значение параметра k позволяет наиболее близко к экспериментальным точкам провести прямую, выходящую из начала координат.

Рис. 1. Экспериментальные точки при измерении величин

 

Погрешность при определении параметра k:

Экспериментальная задача. Измерить сопротивление проводника при помощи амперметра и вольтметра. Оценить погрешность измерений.

Для решения поставленной задачи необходимо собрать электрическую цепь, изображенную на рисунке 2.

http://files3.vunivere.ru/workbase/00/02/30/96/images/image003.gif

Рис. 2. Экспериментальная установка для измерения сопротивления проводника при помощи амперметра и вольтметра

 

Изменения силы тока и напряжения на резисторе, полученные в результате измерений приведены в таблице 2.

 

Таблица 2

I, А

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

U, В

0,27

0,56

0,9

1,18

1,49

1,79

2,05

2,42

2,68

3,01

I, А

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

U, В

3,35

3,56

3,85

4,18

4,48

4,79

5,12

5,45

5,68

5,9

 

Необходимо подобрать такую формулу U = f (I), чтобы она наиболее удачно отражала зависимость между силой тока I и напряжением U. Закон Ома устанавливает эту зависимость в виде U=RI. Это линейная зависимость. Определим величину сопротивления R.

Способ № 1.

  1.                Определим значение сопротивления R каждого из N измерений:

.

  1.                Определим среднее значение сопротивления по формуле:

(Ом).

Погрешность такого косвенного измерения сопротивления можно найти по правилам обработки результатов прямых измерений, рассматривая набор значений Ri как статистический набор данных. Пренебрегая инструментальной погрешностью, получим:

(Ом).

Итак,Ом.

Это самый простой, но не лучший способ выбора коэффициента k в случае, когда сглаживающая зависимость между величинами xи y линейная и имеет вид: y = kx.

Способ № 2 (Метод наименьших квадратов)

  1.                Значение сопротивления R можно найти по формуле:

(Ом).

  1.                Погрешность вычислим по формуле:

(Ом).

В результате получим: (Ом).

 

Видно, что наиболее вероятные значения сопротивлений, вычисленные двумя рассмотренными способами, попадают в доверительные интервалы друг друга и, следовательно, оба имеют право на существование. Однако погрешность расчета сопротивления при использовании метода наименьших квадратов оказалась вдвое меньше по сравнению с первым способом. Таким образом, результат, полученный методом наименьших квадратов, более точен.

 

Литература:

 

  1.                Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок / Дж. Тейлор; Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 272 с.
  2.                Исаков В. А. Физика колебаний. Лабораторный практикум: Методические указания к лабораторным работам по физике / В. А. Исаков, В. П. Нестеров / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2001. 22 с.
  3.                Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. Л.: Физматгиз, 1962. 352 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Значение сопротивления, наилучший образ, функциональная зависимость, помощь амперметра.


Похожие статьи

Методы измерения удельного сопротивления полупроводниковых...

Таким образом, приведенная формула эквивалентна формуле для двухзондового метода с применением головки, в которой

Особенностью однозондового, как и двухзондового, метода является возможность измерения некоторого среднего значения удельного сопротивления по...

Разработка системы измерения сопротивления | Молодой ученый

Таким образом, подсчитывается сопротивление резистора, результат записывается в регистровую пару DЕ. Блок 9. Значение найденного сопротивления резистора выводится на четыре семисегментных индикатора из регистровой пары DЕ в порты @F1, @F2.

Влияние электроискровой подгонки на распределение...

Ток, протекающий через резистор, измерялся с помощью амперметра А, в качестве которого применялся универсальный цифровой вольтметр В7-35.

Изменение сопротивления резистора главным образом происходит из-за процессов, протекающих в зоне эрозии, на их...

Погрешности при измерении биоимпеданса | Статья в журнале...

Активное использование биоимпедансных спектроанализаторов предполагает исследование различных факторов, влияющих на точность результатов. К их числу относятся межэлектродные сопротивления...

Исследование и разработка устройства для измерения больших...

Тераомметры позволяют измерять на постоянном токе сопротивления изоляции, объемное и поверхностное сопротивления материалов, сопротивления высокоомных резисторов, а также малые постоянные токи и напряжения. Также с помощью приборов для измерения больших...

Исследование полупроводниковых материалов методом...

В предположении постоянного контактного сопротивления зонд–поверхность при заданном смещении значение

Таким образом, на основании напряжений, при которых были получены группы изображений

9. Пермяков Н. В. Расширение функциональных возможностей зондов...

Многочастотные измерения биоимпеданса | Статья в журнале...

Рис. 2. Зависимость импеданса от частоты зондирующего тока. Для достаточно высоких частот импеданс будет снова представлен лишь активным сопротивлением. При изменении частоты тока меняется угол между вектором импеданса и осью активного сопротивления (рисунок).

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Нечеткие лингвистические переменные (НЛП) формулировались таким образом, что факторы

Оптимизационная задача (1) решалась с помощью оригинального программного продукта

Данная программа позволяет решать задачу, как методом Монте-Карло, так и с помощью...

Виртуальный термометр для учебных физических опытов

В статье автор предлагает использовать на уроках физики термометр, который может быть самостоятельно изготовлен учителем физики. Измеритель представляет собой аналоговый датчик температуры, сопрягаемый с компьютером посредством десятиразрядного...

Похожие статьи

Методы измерения удельного сопротивления полупроводниковых...

Таким образом, приведенная формула эквивалентна формуле для двухзондового метода с применением головки, в которой

Особенностью однозондового, как и двухзондового, метода является возможность измерения некоторого среднего значения удельного сопротивления по...

Разработка системы измерения сопротивления | Молодой ученый

Таким образом, подсчитывается сопротивление резистора, результат записывается в регистровую пару DЕ. Блок 9. Значение найденного сопротивления резистора выводится на четыре семисегментных индикатора из регистровой пары DЕ в порты @F1, @F2.

Влияние электроискровой подгонки на распределение...

Ток, протекающий через резистор, измерялся с помощью амперметра А, в качестве которого применялся универсальный цифровой вольтметр В7-35.

Изменение сопротивления резистора главным образом происходит из-за процессов, протекающих в зоне эрозии, на их...

Погрешности при измерении биоимпеданса | Статья в журнале...

Активное использование биоимпедансных спектроанализаторов предполагает исследование различных факторов, влияющих на точность результатов. К их числу относятся межэлектродные сопротивления...

Исследование и разработка устройства для измерения больших...

Тераомметры позволяют измерять на постоянном токе сопротивления изоляции, объемное и поверхностное сопротивления материалов, сопротивления высокоомных резисторов, а также малые постоянные токи и напряжения. Также с помощью приборов для измерения больших...

Исследование полупроводниковых материалов методом...

В предположении постоянного контактного сопротивления зонд–поверхность при заданном смещении значение

Таким образом, на основании напряжений, при которых были получены группы изображений

9. Пермяков Н. В. Расширение функциональных возможностей зондов...

Многочастотные измерения биоимпеданса | Статья в журнале...

Рис. 2. Зависимость импеданса от частоты зондирующего тока. Для достаточно высоких частот импеданс будет снова представлен лишь активным сопротивлением. При изменении частоты тока меняется угол между вектором импеданса и осью активного сопротивления (рисунок).

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Нечеткие лингвистические переменные (НЛП) формулировались таким образом, что факторы

Оптимизационная задача (1) решалась с помощью оригинального программного продукта

Данная программа позволяет решать задачу, как методом Монте-Карло, так и с помощью...

Виртуальный термометр для учебных физических опытов

В статье автор предлагает использовать на уроках физики термометр, который может быть самостоятельно изготовлен учителем физики. Измеритель представляет собой аналоговый датчик температуры, сопрягаемый с компьютером посредством десятиразрядного...

Задать вопрос