В мае 2005 года на побережье китайской провинции Шаньдун в течение четырех часов можно было видеть очертания города с современными зданиями. Отчетливо просматривались оживленные улицы, заполненные автомобилями и людьми. Свидетелями этого события стали тысячи туристов и местных жителей. Это был один из многочисленных случаев миража — оптического явления, которое возникает при распространении лучей света в оптически неоднородной среде. Такая иллюзия наблюдается при определенном распределении температуры в слоях атмосферного воздуха, в результате чего люди видят отражение или проекцию реально существующих объектов, которые на самом деле находятся далеко.
Миражи еще у людей Древнего мира вызвали большой интерес. Не имея достаточных знаний, чтобы объяснить этот процесс с научной точки зрения, древние египтяне верили, что мираж — это призрак страны, которой больше нет на свете, а значит, что у каждого существа на Земле есть своя бессмертная душа.
Благодаря этому оптическому явлению сложились красивые легенды о Фее Моргане и Летучем Голландце. Мореплаватели Средневековья рассказывали о призрачном судне, которое плыло прямо на них, не отвечало на сигналы и крики, а потом неожиданно исчезало в тумане. Позже было открыто, что такой вид миражей — фантом дальнего виденья — возникает, если над слоем холодных воздушных масс находится более теплый и сильно разреженный слой. Тогда световые лучи, которые отражаются от предметов на земной поверхности, по дуге уходят вниз на большое расстояние от непосредственного источника.
Одним из первых развеял некоторые мифы о миражах голландский математик Виллеброрд Снеллиус (Снелл). Он в 1621 году установил соотношение между углом падения света и углом его преломления, называемое законом Снелла . Закон утверждает, что угол падения луча α на поверхность раздела двух сред 1 и 2 и угол преломления β, под которым распространяется луч в среде 2 после преломления, связаны соотношением
где n 1 и n 2 называются показателями преломления сред. Среда, в которой показатель преломления одинаков во всех точках, называется оптически однородной . В такой среде луч света всегда распространяется прямолинейно.
В большинстве физических задач школьного курса физики достаточно считать, что показатель преломления воздуха равен 1. Однако, при исследовании миражей это приближение не оправдано, так как при изменении плотности воздуха, его температуры и влажности скорость распространения света в воздухе немного изменяется, что приводит к изменению показателя преломления. Таким образом, атмосфера становится оптически неоднородной средой, что и делает возможным криволинейное распространения света и формирование изображения далеких объектов.
В зависимости от происхождения миража, его относят к одному из трех видов: нижний , верхний или боковой .
Самый известный вид миражей, нижний, возникает, если ровная поверхность перегрета, а воздух над ней с высотой резко уменьшает свою температуру. Нижние миражи возникают не только в пустынях, но и в наших краях (например, на асфальтированных шоссе). В отличие от нижних, верхние миражи возникают, когда более разреженные области находятся выше. Самый редкий тип — боковой мираж — возникает из-за отражения предмета от отвесной стены. Это явление преломления лучей подробно описывает в своей книге Яков Перельман [1]. Совокупность нескольких форм миражей с резким искажением вида предметов носит название Фата-моргана . Образуется вследствие возникновения нескольких чередующихся слоёв воздуха разной плотности, дающих зеркальное отражение. Такие миражи видны с любой высоты в пределах атмосферы.
Постановка задачи. Рассмотрим модель атмосферы, представляющую собой слои воздуха с разной температурой. Среда является оптически неоднородной, однако можно считать, что показатель преломления n зависит только от высоты z : n = n ( z ), поскольку внутри слоя скорость распространения света не изменяется.
Пусть луч света падает на этот «слоистый пирог» под углом α (рис. 1). На границе слоев происходит преломление луча.
Рис. 1. Распространение света в слоях воздуха с различным показателем преломления
Запишем закон Снелла для каждой границы. Получим цепочку равенств:
Таким образом, мы видим, что при распространении света в слоистой среде сохраняется произведение
Итак, для того, чтобы найти траекторию распространения света в слоистой среде, необходимо знать зависимость n ( z ). Для простоты предположим, что эта зависимость линейная и зададим ее в виде
Будем считать задачу о распространении луча в слоистой среде решенной, если найдено, под каким углом луч распространяется в каждом из слоев.
Методика исследования
. Для решения задачи использовался пакет Microsoft Excel. В первом столбце таблицы (рис. 2) задаются входные параметры: толщина слоев
Для вычисления смещения луча
Рис. 2. Расчетная таблица в Microsoft Excel
Результаты и
обсуждение
. По данным таблицы Excel мы построили траекторию распространения света в среде, заданной параметрами
Рис. 3. Распространение света в среде с возрастающим показателем преломления
Для распространения луча характерно то, что по мере увеличения высоты он все больше подгибается к нормали. Изменим знак линейного коэффициента k на противоположный. Получим траекторию, изображенную на рис. 4.
Рис. 4. Распространение света в среде с убывающим показателем преломления
На графике видно, что угол распространения света к горизонту постепенно уменьшается, стремясь к нулю. В некоторый момент на одном из слоев происходит так называемое полное внутреннее отражение . Дальнейшая траектория распространения света будет представлять зеркальное отражение предыдущей траектории. Траектория такого вида характерна при образовании верхних миражей (рис. 5).
Рис. 5. Ход лучей и формирование изображения в случае верхнего миража
Миражи в средних широтах. Выяснив, как луч света распространяется в оптически неоднородной среде, попробуем рассчитать параметры реального миража. В средней полосе России нет пустыни, климат умеренный, однако и в этих условиях могут возникать миражи. Ярким примером служит мираж на поверхности асфальта в жаркий летний день (рис. 6).
Рис. 6. Светящаяся «лужа» на асфальте в жаркий летний день
По своему типу этот мираж может быть отнесен к нижним миражам: луч света от далекого объекта, направленный к поверхности асфальта, искривляется и в итоге как бы отражается от поверхности, от чего она и кажется зеркальной.
В данном случае оптически неоднородная среда возникает, потому что асфальт раскаляется на солнце, и за счет этого вблизи асфальта воздух имеет более высокую температуру, чем температура атмосферного воздуха.
В литературе [2,3] мы нашли формулу, позволяющую вычислить показатель преломления воздуха в зависимости от его давления p и абсолютной температуры T :
Здесь T 0 = 273 К, p 0 — атмосферное давление.
Предположим, что температура воздуха вдали от дороги равна 30℃, а температура раскаленного асфальта 55℃. Оценим, на каком расстоянии от себя человек среднего роста увидит «лужи».
При формулировании модели слоистой атмосферы мы выяснили, что при переходе света из слоя в слой произведение
Рис. 7. Схема распространения луча
Пусть на верхний слой луч падает под углом α к нормали. Проходя через все слои к самому нижнему слою, его угол падения на асфальт увеличивается до 90°. Таким образом свет разворачивается и попадает в глаз наблюдателя под тем же углом α к нормали (рис. 7). Тогда
где
n
1
≈ 1,000263 — показатель преломления воздуха вдали от асфальта, а вблизи
n
2
≈ 1,000243. Из уравнения получаем
Угол φ к горизонту, под которым человек видит «лужу» на асфальте, является дополняющим угол α до 90°, то есть равен φ ≈ 0,36°. Из прямоугольного треугольника получаем
где H = 1,7 м — средний рост человека, L — расстояние до «лужи». Отсюда получаем: L ≈ 270 м.
Выводы . В работе были рассмотрены причины формирования миражей как физического явления. Создана модель слоистой атмосферы, которая учитывает изменение показателя преломления воздуха. Проведено математическое моделирование распространения света в оптически неоднородной среде.
Используя зависимость показателя преломления воздуха от давления и температуры, мы вычислили, что в мираж можно наблюдать и в средних широтах, в жаркий летний день на асфальтовой дороге на расстоянии около 300 м.
Результаты работы в 2020–2021 учебном году были представлены на следующих конференциях:
– Конференция «Курчатовский проект — от знаний к практике, от практики к результату» (Москва, 19–20 апреля 2021 г.)
– Конференция «Наука для жизни» (Москва, 27–28 апреля 2021 г.)
На конференции «Курчатовский проект» авторы доклада были награждены дипломами призеров в секции «Поиск».
Работа выполнена на базе ГБОУ Школа № 1557 имени Петра Леонидовича Капицы в рамках проекта «Курчатовский проект в московской школе». Авторы благодарят администрацию ГБОУ Школа № 1557 за помощь и поддержку.
Литература:
1. Перельман Я. И. Занимательная физика. Кн. 1. М.: Мир, 1982.
2. Feynman, Richard P.; Acta Physica Polonica 24, 697 (1963)
3. Иоффе Б. В. Рефрактометрические методы химии. 3-е изд., перераб. Л.: Химия: Ленингр. отд-ние, 1983.
4. Элементарный учебник физики в 3 т. под ред. Г. С. Ландсберга. 11-е изд. М.: Изд. фирма «Физ.-мат. лит»., 1995.
