Шаг в многомерное пространство | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 октября, печатный экземпляр отправим 30 октября.

Опубликовать статью в журнале

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №3 (3) ноябрь 2015 г.

Дата публикации: 16.10.2015

Статья просмотрена: 30 раз

Библиографическое описание:

Ершова В. П., Волкова А. А. Шаг в многомерное пространство // Юный ученый. — 2015. — №3. — С. 114-117. — URL https://moluch.ru/young/archive/3/186/ (дата обращения: 17.10.2019).

 

Вселенная четырех измерений, или четырех координат, так же неудовлетворительна, как трех. Можно сказать, что мы не обладаем всеми данными, необходимыми для построения вселенной, поскольку ни три координаты старой физики, ни четыре координаты новой не достаточны для описания, всего многообразия явлений во вселенной.

Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей.

Одномерным кубом на прямой является отрезок. Двумерным — квадрат. Граница квадрата состоит из четырех точек —вершин и четырех отрезков — ребер. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки. Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки) —их 12 и грани(квадраты) —их 6. Одномерный отрезок АВ служит гранью двумерного квадрата ABCD, квадрат — стороной куба ABCDHEFG, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба.

В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и еще 8 ребер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и еще четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер.

http://vignette2.wikia.nocookie.net/science/images/1/13/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0.PNG/revision/latest?cb=20130915145524&path-prefix=ru

 

Размерность куба

Размерность границы

0

1

2

3

1отрезок

2

-

-

-

2 квадрат

4

4

-

-

3 куб

8

12

6

-

4 тессеракт

16

32

24

8

 

Координаты в четырехмерном пространстве.

Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного пространства как тройка чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырехмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четверку чисел.

 

Двумерной гранью четырехмерного куба называется множество точек, для которых две какие-нибудь координаты могут принимать всевозможные значения от 0 до 1, а две другие постоянны (равны либо 0, либо 1).

Трехмерной граньючетырехмерного куба называется множество точек, у которых три координаты принимают все возможные значения от 0 до 1, а одна постоянна (равна либо 0, либо 1).

Развертки кубов различных размерностей.

Квадрат

Берем отрезок, со всех сторон поместим по отрезку, и еще один прикрепим к любому, в данном случае к правому отрезку.

Razv2_3

 

Получили развертку квадрата.

Куб

Берем квадрат, со всех сторон поместим по квадрату, еще один прикрепим к любому, в данном случае к нижнему квадрату.

Razv3_2_3

 

Это развертка трехмерного куба.

Четырехмерный куб

Берем куб, со всех сторон поместим по кубу, еще один прикрепим к любому, в данном нижнему кубу.

Razv4_3

 

Развертка четырехмерного куба

Задача

Представим себе, что четырёхмерный куб сделан из проволоки и в вершине (1;1;1;1) сидит муравей, тогда из одной вершины в другую муравью придется ползти по ребрам.

Вопрос: по скольким ребрам ему придется ползти, чтобы попасть в вершину (0;0;0;0)?

По 4 ребрам, то есть вершину (0;0;0;0) — вершина 4 порядка, пройдя по 1 ребру он может попасть в вершину, имеющую одну из координат 0, это вершина 1 порядка, пройдя по 2 ребрам он может попасть в вершины где 2 нуля, это вершины 2 порядка, таких вершин 6, пройдя по 3 ребрам, он попадет в вершины у которых 3 координаты нуль, это вершины третьего порядка.

Существуют и другие кубы в многомерном пространстве. Кроме тессеракта можно построить кубы с большим числом измерений. Моделью пятимерного куба является пентеракт.Пентеракт имеет 32 вершины,80 рёбер, 80 граней, 40 кубов и 10 тессерактов.

C:\Users\1\Desktop\серьги\5822_html_пентерактm4036c1dd.png

 

Художники, режиссеры, скульпторы, ученые по-разному представляют многомерный куб. Приведем некоторые примеры:

Многие писатели-фантасты описывают в своих произведениях тессеракт. Например, Роберт Энсон Хайнлайн (1907–1988) упоминал гиперкубы в, по крайней мере, трех из его научно-популярных рассказов. В «Дом четырех измерений» он описал дом, построенный как развертка тессеракта.

Сюжет фильма «Куб-2» сосредотачивается на восьми незнакомцах, пойманных в ловушку в гиперкубе.

«Распятие» Сальвадора Дали 1954(1951) год. Сюрреализм Дали искал точек соприкосновения нашей реальности и потустороннего, в частности, 4–мерного мира. Поэтому, с одной стороны, поразительно, а, с другой, ничего удивительного в том, что геометрическая фигура из кубиков, образующая христианский крест, является изображением 3–мерной развертки 4–мерного куба или тессеракта.

21 октября на математическом факультете Университета штата Пенсильвания состоялось открытие необычной скульптуры под названием «Октакуб». Она представляет собой изображение четырехмерного геометрического объекта в трехмерном пространстве. По мнению автора скульптуры, профессора Адриана Окнеану, столь красивой фигуры такого рода в мире не существовало, ни виртуально, ни физически, хотя трехмерные проекции четырехмерных фигур изготавливались и раньше.

Вообще математики легко оперируют с четырех-, пяти– и еще более многомерными объектами, однако изобразить их в трехмерном пространстве невозможно. «Октакуб», как и все подобные фигуры не является действительно четырехмерным. Его можно сравнить с картой — проекцией трехмерной поверхности земного шара на плоский лист бумаги.

Трехмерная проекция четырехмерной фигуры была получена Окнеану методом радиальной стереографии при помощи компьютера. При этом была сохранена симметрия исходной четырехмерной фигуры. Скульптура имеет 24 вершины и 96 граней. В четырехмерным пространстве грани фигуры прямые, но в проекции они искривлены. Углы же между гранями у трхмерной проекции и исходной фигуры одинаковы.

«Октакуб» был изготовлен из нержавеющей стали в инженерных мастерских Университета штата Пенсильвания. Установлена скульптура в отремонтированном корпусе имени Макаллистера математического факультета.

Многомерное пространство интересовало многих ученых, таких как Рене Декарт, Герман Минковский. В наши дни идет преумножение знаний по данной теме. Это помогает математикам, исследователям и изобретателям современности в достижении их целей и развитию науки. Шаг в многомерное пространство — это шаг в новую более развитую эру человечества.

Основные термины (генерируются автоматически): вершина, ребро, четырехмерный куб, куб, квадрат, исходный куб, грань, трехмерное пространство, многомерное пространство, трехмерный куб.


Похожие статьи

Движение кубиков. Объём куба.

Такой тетраэдр можно вписать в куб двумя способами. Пересечение двух таких правильных тетраэдров — это как раз правильный октаэдр: многогранник из восьми треугольников с вершинами, расположенными в центрах граней куба. Самосовмещения многогранников.

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного...

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки). Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного. Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан...

Решение транспортных задач с использованием свойств...

В данной статье рассматриваются понятия четырехмерного пространства и гиперкуба, а также вопросы практического применения тессеракта к

Шиликовский А. М., Симакова М. Н., Симаков Е. Е. Решение транспортных задач с использованием свойств многомерного пространства...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно , а высота SH пирамиды равна .

Так как по условию пирамида правильная, следовательно, в основании лежит квадрат. Таким образом, для построения основания достаточно знать длину стороны...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность...

Основные методы построения магических квадратов с нечетным...

Шаг в многомерное пространство. Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер. Координаты в четырехмерном пространстве. Точка прямой определяется как число, точка...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

Например, при изучении объема куба можно предложить следующие устные задания

в. диагональ куба равна 6 . В начале изучения стереометрии обратить особое внимание на развитие у учащихся пространственных представлений, при этом больше уделять внимание...

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Предлагаемый подход к многомерной интерполяции сеточной вектор-функции, заданной на регулярной сетке

определяется значениями сеточной функции Fc(xc) только в вершинах этой ячейки.

Выпишем явные формулы для одномерной, двумерной, трехмерной интерполяции...

Основные методы изучения объемов многогранников

Куб с ребром называют кубическим сантиметром, также определяется и т. д. чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения. Использование наглядных моделей многогранников способствует решению разных...

Похожие статьи

Движение кубиков. Объём куба.

Такой тетраэдр можно вписать в куб двумя способами. Пересечение двух таких правильных тетраэдров — это как раз правильный октаэдр: многогранник из восьми треугольников с вершинами, расположенными в центрах граней куба. Самосовмещения многогранников.

Выражение объемов n-мерного симплекса и n-мерного...

Граница трехмерного куба содержит элементы трех типов: вершины — их 8, ребра(отрезки). Точка прямой определяется как число, точка плоскости как пара чисел, точка трехмерного. Развертка четырехмерного куба. Задача. Представим себе, что четырёхмерный куб сделан...

Решение транспортных задач с использованием свойств...

В данной статье рассматриваются понятия четырехмерного пространства и гиперкуба, а также вопросы практического применения тессеракта к

Шиликовский А. М., Симакова М. Н., Симаков Е. Е. Решение транспортных задач с использованием свойств многомерного пространства...

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно , а высота SH пирамиды равна .

Так как по условию пирамида правильная, следовательно, в основании лежит квадрат. Таким образом, для построения основания достаточно знать длину стороны...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность...

Основные методы построения магических квадратов с нечетным...

Шаг в многомерное пространство. Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его ребер. Координаты в четырехмерном пространстве. Точка прямой определяется как число, точка...

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий...

Например, при изучении объема куба можно предложить следующие устные задания

в. диагональ куба равна 6 . В начале изучения стереометрии обратить особое внимание на развитие у учащихся пространственных представлений, при этом больше уделять внимание...

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Предлагаемый подход к многомерной интерполяции сеточной вектор-функции, заданной на регулярной сетке

определяется значениями сеточной функции Fc(xc) только в вершинах этой ячейки.

Выпишем явные формулы для одномерной, двумерной, трехмерной интерполяции...

Основные методы изучения объемов многогранников

Куб с ребром называют кубическим сантиметром, также определяется и т. д. чтобы найти объём многогранника, нужно разбить его на кубы с ребром, равным единице измерения. Использование наглядных моделей многогранников способствует решению разных...

Задать вопрос