Решение практико-ориентированных задач методами математического анализа | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 1 февраля, печатный экземпляр отправим 5 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: ,

Научный руководитель:

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №3 (3) ноябрь 2015 г.

Дата публикации: 02.07.2015

Статья просмотрена: 51 раз

Библиографическое описание:

Белова Т. А., Каргашилова Ю. И., Бахшинян Р. М. Решение практико-ориентированных задач методами математического анализа // Юный ученый. — 2015. — №3. — С. 112-114. — URL https://moluch.ru/young/archive/3/151/ (дата обращения: 21.01.2020).

 

При выполнении экономических расчётов и проектировании инженерных конструкций в отдельных случаях, в силу экономических и технических ограничений, возникает необходимость определения таких значений параметров, при которых некоторые характеристики достигали бы оптимальных, то есть наибольших или наименьших значений. При решении таких задач на экстремум функции одной переменной основной проблемой является составление целевой функции и удобный выбор независимой переменной.

Рассмотрим некоторые примеры решения прикладных задач с применением методов математического анализа.

Задача 1. Источник света расположен на прямой, соединяющей центры шаров с радиусами и . Определить положение источника, при котором площадь освещённой поверхности двух шаров является наибольшей.

Решение. Обозначим расстояние между центрами шаров через L. В качестве независимой переменной х выберем расстояние от центра большого шара до источника света К (рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения шаров и источника света

 

Так как освещённые участки представляют собой поверхности шаровых секторов, то их общая площадь определится по формуле

, (1)

где , высоты соответствующих шаровых сегментов.

Из подобия прямоугольных треугольников АМО1, О1АК и ВСО2, О2ВК для и имеем , где , . Окончательно,

, . (2)

С учётом (2), суммарная освещённая площадь , зависящая от положения источника света К на прямой , запишется в виде

. (3)

Для нахождения стационарных точек целевой функции , найдём её производную [1]

.

Приравняв производную нулю и, решив полученное уравнение, получим

. (4)

Дальнейшее исследование показало, что при переходе через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус, то есть найденное значение является точкой максимума функции .

Таким образом, освещённая площадь будет наибольшей, если источник света находится в точке, в которой отношение квадратов расстояний от источника до центров шаров равно отношению кубов их радиусов.

Задача 2. В различных государствах применяется прогрессивная система налогообложения, в которой сумма налога состоит из линейной части, пропорциональной доходу, и нелинейной части, зависящей от дохода по степенному закону. Итоговая величина налога вычисляется по формуле

, (5)

где величина дохода; a, b и c постоянные коэффициенты;kпоказатель степени. Необходимо определить при каком уровне дохода налоговая ставка будет минимальной.

Решение. Налоговая ставка определяется по формуле . С учётом (5), получим

.(6)

Для исследования целевой функции на экстремум [2] найдём её производную

. (7)

Приравняв нулю производную, будем иметь

. (8)

Так как коэффициентыb и c положительны, то первое уравнение системы (8) не имеет решений. Из второго уравнения получим значение стационарной точки

. (9)

При переходе через это значение производная меняет знак с минуса на плюс, то есть в точке функция достигает минимума. Следовательно, при уровне дохода налоговая ставка будет наименьшей.

Приведённые примеры показывают, что математика является не только универсальным языком науки, но и мощным средством решения прикладных задач.

 

Литература:

 

  1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика: учебник для ссузов. — 7 изд., стереотип. — М., 2010. — с. 395.
  2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 и 11 классы. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2009. — с. 239.
Основные термины (генерируются автоматически): источник света, налоговая ставка, целевая функция, центр шаров, задача, производная, решение.


Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Задача № 1. Задана функция предельных издержек . Найти функцию издержек и вычислить издержки на изготовление 15 ед. товара.

Задача № 5. Определить дисконтированный доход за четыре года при процентной ставке 10 %, если первоначальное капиталовложение составило...

Декомпозиционный метод решения транспортной задачи...

целевая функция, оптимальное решение задачи, ограничение, задача, оптимальное решение задач, значение переменных, сумма значений, транспортная задача, предложенный метод, оптимальное решение.

Решение транспортных задач с применением программирования...

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция (функция, связывающая цель с управляемыми переменными в задаче оптимизации) имеет вид . Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства...

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Ключевые слова: интеллектуальный анализ данных, геолого-технологические мероприятия, теория нечетких множеств, функции принадлежности, комплексный критерий для выбора скважин-кандидатов, настройка кривых функций принадлежности, оптимизационная задач.

Приложения линейного программирования к решению...

допустимое базисное решение, целевая функция, функция, переменная, квадратичная форма, исходная задача, задача, достаточное условие

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией переменных и системой ограничений в виде...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной области мы можем использовать следующие леммы.

Лемма 2. Если в определенная функция относительно точки четная, тогда производная по от решения задачи (5), (6) в точке равен...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Задача № 1. Задана функция предельных издержек . Найти функцию издержек и вычислить издержки на изготовление 15 ед. товара.

Задача № 5. Определить дисконтированный доход за четыре года при процентной ставке 10 %, если первоначальное капиталовложение составило...

Декомпозиционный метод решения транспортной задачи...

целевая функция, оптимальное решение задачи, ограничение, задача, оптимальное решение задач, значение переменных, сумма значений, транспортная задача, предложенный метод, оптимальное решение.

Решение транспортных задач с применением программирования...

По условию задачи требуется обеспечить минимум суммарных затрат. Следовательно, целевая функция (функция, связывающая цель с управляемыми переменными в задаче оптимизации) имеет вид . Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач...

Априорная оценка для решения первой краевой задачи для...

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию

В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства...

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Ключевые слова: интеллектуальный анализ данных, геолого-технологические мероприятия, теория нечетких множеств, функции принадлежности, комплексный критерий для выбора скважин-кандидатов, настройка кривых функций принадлежности, оптимизационная задач.

Приложения линейного программирования к решению...

допустимое базисное решение, целевая функция, функция, переменная, квадратичная форма, исходная задача, задача, достаточное условие

Задача линейного программирования характеризуется линейной целевой функцией переменных и системой ограничений в виде...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной области мы можем использовать следующие леммы.

Лемма 2. Если в определенная функция относительно точки четная, тогда производная по от решения задачи (5), (6) в точке равен...

Функции Бесселя и их свойства | Статья в журнале...

решение задачи, задача, Функция, шар, уравнение, оператор Ф, обычный смысл. Разрешимость одной краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка с монотонной нелинейностью.

Задать вопрос