В статье описывается исследовательская работа учеников где исследуются множества точек пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника.
Ключевые слова: точки пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника, описанная окружность, внутренний угол.
Вопрос исследования: Даны две фиксированные точки окружности A и B и «переменная» точка окружности C. По какой траектории движутся точки пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника ABC, когда точка C «пробегает» окружность?
В начале исследования мы выяснили что окружность, на которой находятся две фиксированные точки А и В и одна «переменная» точка С, является описанной около треугольника АВС.
Исследовательскую работу мы разделили на три этапа.
Первый этап.
Исследование траекторию точек пересечения медиан.
Сначала построили произвольный треугольник и описали около него окружность. Затем фиксируем две вершины треугольника на окружности (т. к. эти вершины неподвижны на окружности), двигая по окружности третью вершину, определяем точку пересечения медиан треугольника. Учитывая, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины и то, что медиана треугольника делит противолежащую сторону пополам, для нахождения точки пересечения медиан треугольника любую точку С окружности соединяем с серединой хорды АВ и находим точку, делящую отрезок в отношении 2:1 начиная от точки С. Можно заметить, что множеством точек пересечения медиан треугольников при условии, что две вершины треугольника фиксированные на окружности, а третья вершина движется по окружности, является окружность гомотетичная описанной окружности около треугольника АВС, с коэффициентом гомотетии равным 1/3. Центром гомотетии является середина отрезка с концами на двух фиксированных точках А и В, рисунок 1.
Рис. 1
Второй этап.
Исследование траекторию точек пересечения высот.
Анологично первому этапу работа началась с построения произвольного треугольника и окружности, описанной около данного треугольника. Затем зафиксировали две вершины треугольника на окружности (т. к. эти вершины неподвижны на окружности), двигая по окружности третью вершину, определили точку пересечения высот треугольника. Обозначили фиксированные вершины А и В и подвижную вершину за точку С. Из вершины А на сторону ВС опустили высоту АD, также из вершины В на сторону АС — высоту ВE. Угол между этими высотами (между АD и ВE) будет равен углу между сторонами СА и СВ (угол между двумя прямыми равен углу между перпендикулярами, опущенными на эти прямые). Рисунок 2.
Рис. 2
Рис. 3
Доказательство: Так как четырехугольник ЕFDC является выпуклым, то сумма его внутренних углов равна на 3600. Так как 
,то отсюда следует что, 
, следовательно, 
является внутренним углом, опирающемся на хорду АВ (независимо от расположения точки С, угол С опирается на одну и ту же хорду), поэтому величина угла С остается постоянной. Отсюда следует что, величина угла 
не будет менятся, также остается постоянной. Значит, точка F находится на окружности описанной около треугольника AFB, а угол является внутренним углом.
Если взять подвижную вершину треугольника по другую сторону от хорды АВ (обозначим ее буквой К), то угол АКВ будет равен 180-
, по свойству внутренних углов. Точку пересечения высот треугольника АКВ обозначим буквой Е, тогда угол между высотами 
= 
и =180-. Если учесть что эти углы опираются на одну и ту же хорду, то понятно что они внутреннее углы одной окружности, опирающиеся на одну хорду. Отсюда следует, что множеством точек пересечения высот данных треугольников является окружность, описанная около треугольника AFB, рисунок 3. Для того чтобы найти множество точек пересечения высот треугольников, когда две вершины фиксированы на окружности, а третья «пробегает» эту окружность, возьмем любую точку на окружности (пусть это будет точка С), находим точку пересечение высот — точку F и описываем окружность около треугольника AFB. Множество точек этой окружности является множеством искомых точек.
Третий этап.
Исследование траекторию точек пересечения биссектрис
Аналогично предыдущим этапам построили произвольный треугольник и описали около него окружность. Затем фиксирововав две вершины треугольника на окружности (т. к. эти вершины неподвижны на окружности) и двигая по окружности третью вершину, определили точку пересечения биссектрис треугольника. Обозначили фиксированные вершины А и В и подвижную вершину точку С, а точку пересечение биссектрис буквой D. Так как углы АСВ являются вписанными углами окружности, опирающиеся на одну и ту же хорду АВ, то величина угла АСВ остается постоянной. Поэтому сумма углов при вершинах А и В треугольника АВС будет постоянной, следовательно величина угла АDВ также будет постоянной. Множество вершин всех равных углов АDВ опирающихся на хорду АВ будет описывать окружность около треугольника АDВ. За множество точек пересечения биссектрис берем только дугу АDВ, окружности описанной около треугольника АDВ. Аналогично, когда подвижная вершина E будет находится по другую сторону от хорды АВ, множеством точек пересечения биссектрис будет дуга АFВ (F — точка пересечения биссектрис), окружности описанной около треугольника АFВ. Множество точек пересечения биссектрис треугольников когда, две вершины треугольника фиксированные на окружности, а третья вершина движется по окружности состоит из двух дуг двух разных окружностей, которые находятся по разные стороны от хорды АВ, рисунок 5.
Рис. 4
Рис. 5
Литература:
- Погорелов А. В. Геометрия для 7–11 классов средней школы. — М.: Просвящение, 1989.
- Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7–9 — М.: Просвещение, 2010
