Некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии

 

В школьном курсе математики в полной мере изучаются два специальных вида последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии, однако последовательности, обобщающие их, т. е. сочетающие их свойства и признаки, в явном виде не рассматриваются.

Известно, что ряд различных типов последовательностей по природе своей являются рекуррентными, или возвратными, в том смысле, что каждый следующий член последовательности по определенному правилу выражается через некоторое фиксированное число предыдущих. К таким последовательностям относятся арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательность Фибоначчи и др. [1]

В данной статье представлены итоги исследования рекуррентной последовательности , заданной по правилу , где числа и называем соответственно знаменателем и разностью этой последовательности, а саму последовательность — арифметико-геометрической прогрессией.

Актуальность исследования обусловлена тем, что в настоящее время эта проблема стала особенно значима для науки и практики. Этим вопросом занимаются многие теоретики и исследователи. Изучению прогрессий посвящены статьи в периодических изданиях и монографии многих ученых. Как правило, информация, посвященная данной проблеме, изложенная в учебной литературе, имеет общий характер, а в современных монографиях по этой теме анализируются более узкие вопросы проблемы.

Высокая значимость и недостаточная теоретическая разработанность проблемы изучения арифметико-геометрической прогрессии определяют несомненную новизну данного исследования.

Определение 1. [2] Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:

, (1)

где и  — постоянные, называемые соответственно знаменателем и разностью арифметико-геометрической прогрессии.

Замечание 1. При q=1 и d=0 получим стационарную последовательность .

В случае и в (1), получим арифметическую прогрессию , а при и , — геометрическую прогрессию: .

Вышеуказанное замечание отражается в названии рассматриваемой последовательности: арифметико-геометрическая прогрессия.

Рассмотрим примеры арифметико-геометрических прогрессий.

1) ;

2) .

Указание явных формул для нахождения общего члена последовательности, а также для суммы ее первых n членов являются основными задачами о последовательностях.

Арифметико-геометрическая прогрессия является обобщением арифметической и геометрической прогрессий. А значит, по аналогии можно вывести формулы для нахождения общего члена арифметико-геометрической прогрессии, а также для суммы ее первых n членов, и установить характеристическое свойство данного типа последовательности, а также ряд других важных свойств.

В ходе исследования были получены конкретные результаты:

1. Выведена формула n-го члена последовательности: .

Пусть в соотношении (1) . Прибавив к обеим частям равенства выражение , получим

.

Последнее соотношение является рекуррентным, поэтому можно записать аналогичные равенства для :

, ,…, .

Перемножив выписанные равенства, имеем:

Разделив обе части последнего равенства на произведение , получим , откуда .

Таким образом, получили формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии

. (2)

2. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия сходится и ограничена только в случае, когда ;

Из формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии следует, что

а) при арифметико-геометрическая прогрессия сходится к числу

, а значит, при эта последовательность ограничена.

б) при арифметико-геометрическая прогрессия расходится и не ограничена.

3. Выведена формула суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: . Также установлено, что сумма бесконечного числа членов последовательности не существует.

Рассмотрим n-ую частичную сумму арифметико-геометрической прогрессии .

Согласно соотношению (1), имеем:

Тогда

. (3)

Умножив последнее равенство на знаменатель , получим

или (4)

Из равенства (3) вычтем равенство (4) и выполним преобразования.

Преобразуя последнее равенство, получим формулу суммы первых n членов арифметико-геометрической прогрессии: .              (5)

4. Доказано, что арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задается возвратным уравнением ; как следствия были получены характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий.

Действительно, будем утверждать, что при k=1 и при любом справедливо равенство . Осталось определить значения .

В силу соотношения (1) , тогда

.

Из равенства следует, что

,

,

, откуда уравняв коэффициенты, получим систему линейных уравнений с двумя переменными , решением которой является .

Итак, верно равенство . Что и требовалось доказать.

5. Выведены формулы для нахождения разности и знаменателя арифметико-геометрической прогрессии: и .

6. Доказано характеристическое свойство арифметико-геометрической прогрессии : последовательность , где , является геометрической прогрессией с тем же знаменателем , то есть .              (6)

Доказательство. Согласно формуле (2)

.

Упростив правую часть равенства (6), получим:

.

Тогда .

Таким образом, доказано равенство (6), которое и является характеристическим свойством арифметико-геометрической прогрессии.

Все полученные результаты являются новыми. Данные результаты имеют научную и практическую ценность, в частности, они могут быть использованы при решении геометрических задач. [2]

В доступной нам литературе подобные исследования ранее не встречались, лишь некоторые свойства арифметико-геометрической прогрессии встречаются без доказательства.

 

Литература:

 

1.      Маркушевич А. И. Возвратные последовательности — М.: Наука, 1975. — 47 с.
2.      Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», № 1 1975г. — с.80
3.      Вавилов В. В., Красников П. М. Математические коллоквиумы. — М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006. — с. 60