Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:

1. Прием переброски старшего коэффициента

ах²+вх+с=0

Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у²+ру+к=0, тогда

х₁=, х₂=.

У²-9у-10=0. у₁=10, у₂=-1, тогда х₁==5, х₂=-0,5.

Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).

Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у₁=-3, у₂=-, тогда х₁==, х₂=.

2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах²+вх+с=0.

                     Если выполняется условие а+в+с=0, то х₁=1, х₂=.

Пример: 21х²-3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х₁=1, х₂=.

                     Если а-в+с=0, то х₁=-1, х₂=.

Пример: х²+1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х₁=-1, х₂=-1356.

3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах²± (а²+1)х ± а=0.

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х+а=0 корни х₁=- а, х₂=-.

                     В уравнениях вида ах²- (а²+1)х+а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²- 170х+13=0, х₁=13, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²+(а²+1)х- а=0 корни х₁=- а, х₂=.

Пример: 25х²+626х – 25=0, х₁=- 25, х₂= .

                     В уравнениях вида ах²- (а²+1)х- а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х²- 170х-13=0, х₁=13, х₂= .

В уравнениях вида ах²-(а²+1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у²-(а²+1)у+а²=0. Сумма коэффициентов 1-(а²+1)+а²=0, следовательно у₁=1, у₂=а², тогда х₁=, х₂=а.

Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:

1.       Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

2.             Решите уравнение

а) 20092008х²-20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)

3.             Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

Литература:

1.                Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
2.                Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
3.                Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
4.                Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
5.                Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
6.                Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
7.                Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.