Исследование свойств поверхностей вращения с использованием моделирования в САПР «Компас» | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 1 февраля, печатный экземпляр отправим 5 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №3 (12) июнь 2017 г.

Дата публикации: 13.05.2017

Статья просмотрена: 326 раз

Библиографическое описание:

Лосева Е. С., Симаков Е. Е. Исследование свойств поверхностей вращения с использованием моделирования в САПР «Компас» // Юный ученый. — 2017. — №3. — С. 6-18. — URL https://moluch.ru/young/archive/12/913/ (дата обращения: 24.01.2020).



Правила построения по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. Поскольку одной из задач алгебры, начертательной геометрии является изучение методов построения различных пространственных форм, ее возможности значительно расширились с развитием вычислительной техники. Использование персональных компьютеров в инженерии привело к возникновению компьютерной графики, занимающейся созданием и обработкой изображений. Данная статья посвящена изучению вопросов инженерной графики, основанной на применении систем автоматизированного проектирования (САПР). Рассматриваются свойства и уравнения поверхностей вращения. Приводятся методики разработки 3D моделей поверхностей и реальных сооружений в САПР «Компас», а также натурных моделей с помощью 3D-печати.

Ключевые слова: математическое моделирование, САПР «Компас», поверхности вращения, 3D-печать

Цель исследования:исследование свойства поверхностей вращения через построение 3D моделей фигур и реальных сооружений с использованием системы автоматизированного проектирования (САПР) «Компас».

Задачи исследования:

  1. Проанализировать специальную литературу, изучить различные виды поверхностей вращения, уравнения данных поверхностей и их свойства.
  2. Рассмотреть области применения поверхностей вращения.
  3. Изучить методы построения поверхностей вращения в САПР «Компас».
  4. Построить 3D модели поверхностей и сооружений в САПР «Компас».

Поверхности вращения иих свойства

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке O1 — геометрическое место точек пространства, находящихся от точки O1 на расстоянии R. При этом прямоугольная система координат (СК) в пространстве OXYZ позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (x,y,z). Уравнением поверхности в прямоугольной СК OXYZ называется такое уравнение , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1)

Составим уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг OZ. Возьмем на поверхности точку M (x; y; z). Проведем через точку M плоскость, перпендикулярную OZ, обозначим точки пересечения с осью OZ и кривой L соответственно O1 (0; 0; z) и N (0; y1; z1). Отрезки O1M и O1N — радиусы одной и той же окружности (O1M = O1N). Но , а . Значит, ,. Т. к. точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют системе (1). Исключив координаты y1 и z1 точки N, получим уравнение поверхности вращения: . Аналогично, если кривая вращается вокруг оси OY, то уравнение примет вид ; если кривая вокруг оси OX — .

Рис. 1. Поверхность, образованная вращением кривой L вокруг оси OZ

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через точку P и пересекающими плоскую линию L, не проходящую через точку P. Линия L называется направляющей конуса, точка P — вершиной, прямая, описывающая поверхность — образующей.

Пусть направляющая L задана системой: (2)

Рис. 2. Коническая поверхность

Точка — вершина конуса, точка принадлежит поверхности. Образующая, проходящая через P и M, пересекает L в точке . Координаты точки N удовлетворяют системе (2). Канонические уравнения образующих, проходящих через точки P и N, имеют вид: . (3)

Исключив переменные из уравнений (2) и (3), получим уравнение конической поверхности, связывающее координаты .

  1. Эллипсоид. Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат: (4), где текущие координаты точки сферы. Сферой радиусаR называется множество точек пространства, расстояние от каждой из которых до центра равно R. Пусть сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Ox,Oy и Oz с коэффициентами деформации и .В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы M (X,Y,Z) перейдет в точку эллипсоида M′(x,y,z) причем: . Отсюда , . Подставляя эти формулы в уравнение (4), получим: или , где .

Рис. 3. Сфера и эллипсоид

Полученное уравнение связывает координаты точки M′ эллипсоида и является уравнением эллипсоида. Величины a,b,c называются полуосями; удвоенные величины 2a, 2b и 2c — осями и представляют его линейные размеры в направлениях деформации. Если a,b,c не равны между собой, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны, он называется эллипсоидом вращения, т. к. может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если a=b=c, то эллипсоид превращается в сферу.

Свойства эллипсоида:

1) Эллипсоид — ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Эллипсоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3) В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс.

  1. Однополостный гиперболоид. Поверхность, задаваемая уравнением, называется однополостным гиперболоидом. Название «гиперболоид» связано с тем, что среди сечений поверхности есть гиперболы. Например, сечения плоскостями x=0. Эти сечения представляются (в своих плоскостях) уравнениями:

, (x=0),(5)

(y=0).(6)

Поверхность представляет сплошную бесконечную трубку, вытянутую вдоль оси OZ. Плоскость z=hпри любом значении h дает в сечении с поверхностью эллипс с полуосями , (при этом a≠b):(z=h). (7)

Все эллипсы (7) подобны, вершины их лежат на гиперболах, задаваемых уравнениями (5) и (6); размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения от плоскости XOY. Сечение плоскостью XOY есть горловой эллипс:, который, вместе с гиперболами (5) и (6), называют главными сечениями.

Рис. 4. Однополостный гиперболоид

Свойства однополостного гиперболоида:

1) Однополостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Однополостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или гипербола.

4) Для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на его поверхности.

  1. Двуполостный гиперболоид. Поверхность, задаваемая уравнением, называется двуполостным гиперболоидом. Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечения определяется системой уравнений:

. (8)

Отсюда следует, что:

– если |h|<с, то плоскости z=h не пересекают поверхности;

– если |h|=с, то плоскости z=±c касаются поверхности в точках (0;0:с) и (0;0;-с);

– если |h|>с, то система (7) может быть представлена следующим образом:

Данные уравнения задают эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. Пересекая поверхность плоскостями YOZ (x=0) и XOZ (y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид: , . Поверхность — две бесконечные чаши.

Рис. 5. Двуполостный гиперболоид

Свойства двуполостного гиперболоида.

1) Двуполостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху.

2) Двуполостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , при получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или гипербола.

  1. Эллиптический параболоид. Поверхность, задаваемая уравнением где p>0, q>0 называется эллиптическим параболоидом. Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой . Если h<0, то плоскости z=h поверхности не пересекают; если h=0, то плоскость z=0 касается поверхности в точке (0; 0; 0); если h>0, то в сечение — эллипс, уравнение которого , z=h. При пересечении поверхности плоскостями XOZ и XOY получается параболы и . Поверхность имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Рис. 6. Эллиптический параболоид

Свойства эллиптического параболоида.

1) Эллиптический параболоид — неограниченная поверхность, т. к. из его уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.

2) Эллиптический параболоид обладает

– осевой симметрией относительно оси ;

– плоскостной симметрией относительно плоскостей и .

3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — парабола.

  1. Гиперболический параболоид. Поверхность, задаваемая уравнением , где p>0, q>0 называется гиперболическим параболоидом. Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую , z=h, которая при всех значениях h≠0 является гиперболой. При h>0 оси параллельны оси OX; при h<0 ― параллельны оси OY; при h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых и . При пересечении поверхности плоскостями, параллельными XOZ, получим параболы , ветви которых направлены вверх. При y=0 в сечении получается парабола с вершиной в начале координат и осью OZ. Пересекая поверхность плоскостями x=h, получим параболы , ветви которых направлены вниз. Поверхность имеет вид седла.

Рис. 7. Гиперболический параболоид

Свойства гиперболического параболоида.

1) Гиперболический параболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что — любое.

2) Гиперболический параболоид обладает

– осевой симметрией относительно оси ;

– плоскостной симметрией относительно плоскостей и

3) В сечении плоскостью, ортогональной , получается гипербола, а плоскостями ортогональными или парабола. Т.о. поверхность может быть получена перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости перпендикулярны.

4) Для каждой точки гиперболического параболоида, существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на поверхности.

  1. Конус второго порядка. Исследуем поверхность, задаваемую уравнением Пересечем поверхность плоскостями z=h. Линия пересечения будет определяться уравнением . При h=0 она вырождается в точку (0;0;0). При h≠0 в сечении будем получать эллипсы , z=h. Рассечем поверхность плоскостью YOZ. Получится линия , распадающаяся на две пресекающиеся прямые и . При пересечении поверхности плоскостью y=0 получим линию , также распадающуюся на две пересекающиеся прямые и .

Рис. 8. Конус второго порядка

Таким образом, поверхность имеет вид, изображенный на рисунке 8. Подобные поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические поверхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид.

Моделирование поверхностей второго порядка вСАПР «Компас»

КОМПАС-3D ― система автоматизированного проектирования (САПР), разработанная российской компанией «АСКОН». Она позволяет автоматизировать проектно-конструкторские работы, создавать трехмерные параметрические модели, подготавливать документацию. Система имеет простой интерфейс, эффективный и удобный набор управляющих команд, большой список библиотек, а также обладает возможностью компьютерного проектирования в соответствии с правилами оформления конструкторской и строительной документации, принятыми в России.

В системе КОМПАС-3D трехмерную модель можно построить с использованием двух технологий: моделирование твердых тел и поверхностное моделирование. Их совместное использование позволяет решать самые разнообразные конструкторские задачи. Построение трехмерной твердотельной модели заключается в последовательном выполнении операций объединения, вычитания и пересечения над объемными элементами, из которых и состоит большинство механических деталей.

Построение моделей поверхностей второго порядка в САПР «Компас» может осуществляться несколькими методами. Наиболее простой заключается в создании фигуры и вращения ее вокруг оси. Рассмотрим процесс построения эллипсоида.

Эллипсоид.Для начала необходимо создать эллипс. Затем провести центральную осевую линию двумя способами: вертикально и горизонтально. Следующим действием будет усечение половины эллипса вертикально и горизонтально. И наконец, с помощью функции вращения создаем эллипсоид с вертикальной или горизонтальной осью вращения.

вкнч.jpgу.jpg

Рис. 9. Эллипсоид с вертикальной и горизонтальной осью вращения

Если поверхность задается путем вращения некоторой кривой, то для ее построения в САПР «Компас» используется кинематический метод задания поверхности. Таким способом можно построить, например, параболоид или гиперболоид. Метод основывается на том факте, что парабола и гипербола являются кониками — т. е. кривыми, получаемыми при рассечении конуса плоскостью. Процесс создание моделей состоит из этапов:

  1. Построить ось вращения и образующую конуса.
  2. Применить операцию вращения. В результате получится конус.
  3. Рассечь конус плоскостью по параболе или гиперболе.
  4. Скопировать кривую, начертить ось и выполнить вращение.

Алгоритм построения 3D модели эллиптического параболоида:

  1. Создаем новый документ типа «Деталь».
  2. Выбираем рабочую плоскость, чертим ось вращения и образующую конуса (прямую, пересекающую ось). Применяем операцию «Вращение».
  3. Вводим две вспомогательные плоскости: первая — касательная к поверхности конуса, вторая — параллельная первой (операция — «Плоскость/Смещенная»).
  4. Пересекаем вторую плоскость с поверхностью конуса с помощью операции «Кривая пересечения». В качестве параметров указываем коническую поверхность и вспомогательную плоскость. Получаем искомую параболу.
  5. Вводим третью вспомогательную плоскость и проецируем на нее параболу.
  6. Включаем режим эскиза, вычерчиваем ось параболы, удаляем одну ветвь.
  7. Вызываем операцию «Вращение» и получаем искомый параболоид.

Скриншоты некоторых этапов построения модели параболоида в САПР «Компас», а также фотографии этапов 3D печати приведены ниже.

Рис. 10. 3D-модель эллиптического параболоида

Поверхности вращения имеют весьма широкое применение во многих областях техники и архитектуры. Например, форму параболоида имеют спутниковая антенна, рефлектор (отражатель), высокочувствительный направленный микрофон и т. д. Некоторые здания также создаются в форме поверхностей вращения. Примером усеченного эллипсоида служит небоскреб Swiss Re в центре Лондона. Здание имеет 40 этажей. Конструкция небоскреба выполнена в виде сетчатой оболочки с центральным опорным основанием. Он не имеет углов, что не позволяет ветровым потокам стекать вниз. Диаметр здания у основания составляет 49 метров, затем здание плавно расширяется, достигая максимального диаметра в 57 метров на уровне 17 этажа. Далее конструкция сужается, достигая минимального диаметра в 25 метров. Здание практически полностью стеклянное, его верхушка закрыта прозрачным куполом. Название небоскреба ― Башня Мэри-Экс.

Модель здания можно разработать с использованием САПР «Компас». Однако из-за очевидной архитектурной сложности процесс создания модели более сложный и включает много этапов. Ниже приведены фотографии 3D печати модели.

IMG_20170315_122927.jpgIMG_20170316_141741.jpg

800px-30_St_Mary_Axe,_'Gherkin'.JPGE:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\Фото\IMG_20170405_080225.jpg

Рис. 11. 3D-модель башни Мэри-Экс

Другимпримером может служить Шуховская башня (Шаболовская телевизионная башня) — гиперболоидная конструкция, выполненная в виде несущей стальной сетчатой оболочки. Расположена в Москве на улице Шухова. Построена в 1920–1922 годах по проекту академика В. Г. Шухова. Башня имеет сетчатую конструкцию, благодаря чему достигается минимальная ветровая нагрузка, представляющая главную опасность для высоких сооружений. По форме секции башни — это однополостные гиперболоиды вращения, сделанные из прямых балок, упирающихся в кольцевые основания. Ажурная конструкция сочетает в себе прочность и легкость: на единицу высоты Радиобашни Шухова израсходовано в три раза меньше металла, чем на единицу высоты Эйфелевой башни в Париже. Круглый конусный корпус башни состоит из 6 секций высотой 25 метров. Нижняя секция установлена на бетонном фундаменте диаметром 40 метров и глубиной 3 метра.

Алгоритм построения и печать 3D модели фрагмента Шуховской башни.

  1. Создаем новый документ типа «Деталь».
  2. Выбираем рабочую плоскость, чертим три окружности диаметрами 100, 80 и 60 с центром в начале координат.
  3. Чертим две касательные ко второй окружности, проходящие через общую точку, расположенную на первой окружности (инструменты «Отрезок» и «Касание»).
  4. Выравниваем полученные точки относительно вертикальной оси (оси OY) с помощью соответствующего инструмента.
  5. Строим дугу между полученными двумя точками на второй окружности.
  6. Применяем операцию «Вращение» к полученной фигуре.
  7. Выбираем одну из граней фигуры и переходим в режим «Эскиз».
  8. С помощью инструментов «Непрерывный ввод объектов», «Параллельность» и «Перпендикулярность» строим прямоугольник, одна из сторон которого является диагональю грани фигуры.
  9. Задаем ширину прямоугольника = 2.
  10. Повторяем этапы 8 и 9 для второй грани фигуры.
  11. С помощью операции «Вращение» (свойство «Результат операции» — «Новое тело»), примененной для прямоугольников, получим две пересекающиеся трубки.
  12. Скроем исходную фигуру.
  13. Создадим «Массив по концентрической сетке» из полученных стержней. Количество элементов массива = 10.
  14. В результате получим искомую модель.

Скриншоты некоторых этапов построения модели в САПР «Компас», а также фотографии этапов 3D печати приведены ниже.

N:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\3D модели\Гиперболоид (Шуховская башня)\Процесс моделирования Башни Шухова\2.jpgN:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\3D модели\Гиперболоид (Шуховская башня)\Процесс моделирования Башни Шухова\3.jpg

N:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\3D модели\Гиперболоид (Шуховская башня)\Процесс моделирования Башни Шухова\4.jpgN:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\3D модели\Гиперболоид (Шуховская башня)\Процесс моделирования Башни Шухова\5.jpg

N:\Лицей\Спецкурс\Рефераты\2016-2017\Лосева\3D модели\Гиперболоид (Шуховская башня)\Процесс моделирования Башни Шухова\6.jpg

лгп.jpg

Рис. 12. 3D-модель Шуховской башни

Заключение

В ходе проведенного исследования были изучены методы задания уравнений поверхности вращения и некоторые их свойства. Также были рассмотрены методы построения 3D моделей данных поверхностей с помощью САПР «Компас», описаны методики построения некоторых моделей. Кроме того, изучены возможности данной системы для решения поставленных задач. По результатам проведенной работы были созданы реальные 3D модели поверхностей с помощью технологии 3D печати.

Таким образом, можно сделать вывод, что изучение способов построенияповерхностей вращения, их свойств, а также методов построения 3D моделей с помощью САПР «Компас», позволяет рассмотреть некоторые вопросы математики, информатики с разных позиций, проследить взаимосвязь данных предметов, повысится уровень знаний в области применения средств ИКТ к решению математических задач. Все это непременно может помочь в дальнейшем получении профессии.

Литература:

  1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. ― М.: Астрель АСТ, 2006.
  2. Золотарёва Д. А., Кравцова К. Е. Разработка методических рекомендаций по моделированию параболоида и гиперболоида средствами программы Компас-3D. — Инженерная графика и трехмерное моделирование. Молодежная научно-практическая конференция: сборник научных докладов (16 декабря 2016г., Новосибирск). — Новосибирск: СГУГиТ, 2017.
  3. Кидрук М. КОМПАС-3D V10 на 100 %. — СПб.: Питер, 2009.
  4. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. ― М.: Айрис-Пресс, 2009.
  5. Талалай П. Г. Компьютерный курс начертательной геометрии на базе КОМПАС-3D. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010.
  6. Информационный портал Cubicprints [Электронный ресурс]. URL: http://www.cubicprints.ru/tutorials/kak-redaktirovat-3d-model-v-netfabb-Basic (Дата обращения: 10.02.2017г.)
Основные термины (генерируются автоматически): эллиптический параболоид, поверхность, плоскость, ось, XOY, уравнение, осевая симметрия, координата, XOZ, поверхность вращения, OXYZ.


Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Как известно, из всех поверхностей 2-го порядка только площадь эллиптических сечений выражается через их параметры. В связи с этим исследуем только положение плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу, площадь которого...

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости...

Исследование свойств поверхностей вращения... Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1).

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или...

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. 3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей кривой методом вспомогательных шаров.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность...

Построение графиков функций в полярных и декартовых...

Поскольку в графических координатах вертикальная ось направлена вниз, то Ygmin>Ygmax.

Для того чтобы построить координатные прямые, нам нужно найти координату точки О

Начальный угол нулевой (x = 0). Задаем цикл пока: пока x≤360 мы вычисляем уравнение в...

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Численный анализ уравнений движения экипажа показывает, что при больших значениях угловой скорости собственного вращения колеса, отклонения центра колеса

Оно расположено на оси симметрии пластинки и движется без проскальзывания. Два остальных колеса рояльные.

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу...

Как известно, из всех поверхностей 2-го порядка только площадь эллиптических сечений выражается через их параметры. В связи с этим исследуем только положение плоскостей, пересекающих тело, ограниченное поверхностью 2-го порядка, по эллипсу, площадь которого...

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости...

Исследование свойств поверхностей вращения... Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1).

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или...

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. 3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям...

Некоторые аспекты изучения модуля «Аналитическая геометрия»

Уравнением поверхности в пространстве Oxyz называется уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линейным алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Плоскости данных окружностей являются перпендикулярными к оси поверхности вращения.

На рис.2 изображен способ создания линии пересечения срезанного кругового конуса с поверхностью вращения с образующей кривой методом вспомогательных шаров.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки...

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Определение.Поверхности и называются изометричными, если существует одно-однозначное отображение поверхности на поверхность , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины [1]. Пусть -регулярное поверхность...

Построение графиков функций в полярных и декартовых...

Поскольку в графических координатах вертикальная ось направлена вниз, то Ygmin>Ygmax.

Для того чтобы построить координатные прямые, нам нужно найти координату точки О

Начальный угол нулевой (x = 0). Задаем цикл пока: пока x≤360 мы вычисляем уравнение в...

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Численный анализ уравнений движения экипажа показывает, что при больших значениях угловой скорости собственного вращения колеса, отклонения центра колеса

Оно расположено на оси симметрии пластинки и движется без проскальзывания. Два остальных колеса рояльные.

Задать вопрос