Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся | Статья в журнале «Юный ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 июня, печатный экземпляр отправим 30 июня.

Опубликовать статью в журнале

Авторы: , ,

Научные руководители: ,

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Опубликовано в Юный учёный №1 (10) февраль 2017 г.

Дата публикации: 24.01.2017

Статья просмотрена: 188 раз

Библиографическое описание:

Задачи и теоремы Эйлера глазами учащихся / А. Б. Шанкаева, Д. Б. Санджиев, С. А. Шараев [и др.]. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2017. — № 1 (10). — С. 50-53. — URL: https://moluch.ru/young/archive/10/738/ (дата обращения: 17.06.2021).



Леонард Эйлер написал около двух тысяч статей по различным наукам. Он обогатил практически каждую область классической и прикладной математики. Изобретательный ум Эйлера являлся отправной точкой для математических открытий, которые прославили многих людей. Например, французский математик, Жан Батист Фурье, является создателем математического приема, известного как анализ Фурье. Здесь базовые уравнения были первоначально открыты Леонардом Эйлером и несут название как формулы Эйлера-Фурье [3, с. 54].

В своих работах Эйлер интересовался областями исчислений, дифференциальных уравнений и рядами бесконечности. Вклад ученого в вычисление переменных является основой всех последующих открытий в этих областях.

Одни и те же задачи Эйлера на нахождение минимального или максимального значения трехчлена и упрощение выражений с радикалами, возможно решить разными способами.

Задача 1 [1, с. 47]: найти случаи, в которых значения трёхчлена становятся максимальными или минимальными.

Способ 1: выделим для решения задачи квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена: .

Так как , то квадратный трехчлен принимает минимальное значение -1 при х = -3.

Способ 2 [2, с. 47]: вершина параболы, ветви которой направлены вверх:

; .

Ясно, что вершина параболы будет давать нам минимальное значение функции: .

Способ 3: найдем критические точки функции:

:

Для график функции убывает.

Для график данной функции возрастает.

Точка х = -3 является для функции точкой минимума, значит минимальное значение данной функции .

Задача 2. Упрощение выражений с радикалами. Упростите выражение:

Способ 1: пусть , где а

Тогда

Таким образом, , или, откуда , , , так как .

Следовательно, .

Ответ: 1.

Способ 2: извлеките кубический корень .

Будем искать рациональные числа а и , такие, что .

Возведя полученное равенство в куб и прировняв коэффициенты при и рациональные слагаемые в обеих частях, получим систему:

Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2, получим, что . Поскольку , то имеем: ,

То есть число является корнем уравнения.

Легко установить, что одним из корней этого уравнения является 1, а других действительных корней оно не имеет, так как и дискриминант трехчлена меньше нуля. Таким образом, , т. е. и из написанной выше системы получаем, что .

Аналогично будем иметь: ; . Ответ: 1.

При рассмотрении различных типов задач выясняются особенности каждой задачи, приёмы ее решения, используются общие подходы по работе с любой задачей, а именно анализ условия, поиск способа решения, оформление решения, исследование решения. Только в таком случае мы являемся субъектами обучения и собственного развития.

Великий математик Эйлер дал подробное объяснение теории высших трансцендентных функций и представил новаторский подход к решению квадратных уравнений. Также он открыл технику расчёта интегралов с применением сложных пределов.

Он доказал малую теорему Ферма, тождества Ньютона, теорему Ферма о суммах двух квадратов, а также значительно продвинул доказательство теоремы Лагранжа о сумме четырёх квадратов. Он внёс дополнения в теорию совершенных чисел, над которой с увлечением трудились многие учёные.

Человечество обязано Эйлеру многими ценными изобретениями, усовершенствованиями и техническими теориями. Он заложил основы современной техники изготовления ахроматических зрительных приборов, которые дают изображения, свободные от искажающего рассеяния цветов благодаря подбору линз с различными показателями преломления. Он создал первую теорию расчета действия турбин. Заложил основы теории гироскопа — волчка, которая играет очень большую роль в современной технике. Но как не велики эти заслуги Эйлера, главным в его жизни была разработка проблем математики.

Литература:

  1. Галицкий М. П. Сборник задач по алгебре для 8–9 классов: Учеб. Пособие для учащихся школы и классов с углубленным изучением. — М.: Просвещение, 1992, 271 с.
  2. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7–9 классов. М.: Просвещение, 1991, 239 с.
  3. Юшкевич. Ю. А. Леонард Эйлер. М.: Знание, 1982, 256 с.
Основные термины (генерируются автоматически): квадратный трехчлен, минимальное значение, вершина параболы, упрощение выражений, задача, функция.


Похожие статьи

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

Рассмотрим решение некоторых задач. Задачи, связанные с определением того, является ли

Найти все значения , при каждом из которых касательная к графикам функций и в точках с

Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Чтобы найти нули функции, приравняем данный квадратный трехчлен к нулю и найдем его корни.

Рассмотренный метод «переброски» очень эффективен при решении задач и уравнений, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных...

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Очевидно, что обязательно подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Старший коэффициент параболы больше нуля, следовательно, допустимая область находится между корнями уравнения. Решим данное квадратное уравнение

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Например, если фазифицировать значения нефтенасыщенной толщины в скважине (как пример одного

Полученный результат в первую очередь будет зависит от функции принадлежности для каждого

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных...

Графики функций как средство выражения личностного творчества

Библиографическое описание: Пивоварова Т. Ю. Графики функций как средство выражения

График сплайна S. Задача 4. Найти все значения параметров a и b, при которых заданная

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Мы знаем, что в области значение выражения может быть отрицательным, положительным

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной

Лемма 1. Если в определенная функция относительно точки нечетная, тогда решение задачи...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных формах.

Самоконтроль и его место в обучении алгебре в 9 классе

Найти значение выражение при . В условии предлагаемой задачи содержится ошибка.

Например, найдём значение выражение при . Здесь все проблемы снимаются.

Решить следующие две задачи и сравнить их решение. Задача 1. Решить квадратное уравнение .

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен.

9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически

Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при...

Похожие статьи

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале...

Рассмотрим решение некоторых задач. Задачи, связанные с определением того, является ли

Найти все значения , при каждом из которых касательная к графикам функций и в точках с

Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от...

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

Чтобы найти нули функции, приравняем данный квадратный трехчлен к нулю и найдем его корни.

Рассмотренный метод «переброски» очень эффективен при решении задач и уравнений, он позволяет устно решать подавляющее большинство полных квадратных...

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Очевидно, что обязательно подкоренное выражение не должно быть отрицательным.

Старший коэффициент параболы больше нуля, следовательно, допустимая область находится между корнями уравнения. Решим данное квадратное уравнение

Решение задачи настройки функции принадлежности методом...

Например, если фазифицировать значения нефтенасыщенной толщины в скважине (как пример одного

Полученный результат в первую очередь будет зависит от функции принадлежности для каждого

Конкретный вид функций принадлежности определяется на основе различных...

Графики функций как средство выражения личностного творчества

Библиографическое описание: Пивоварова Т. Ю. Графики функций как средство выражения

График сплайна S. Задача 4. Найти все значения параметров a и b, при которых заданная

Построение графиков функций изучаемых величин способствует более полному пониманию...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Мы знаем, что в области значение выражения может быть отрицательным, положительным

Для решения задач поставленных для уравнений теплопроводности в полуограниченной

Лемма 1. Если в определенная функция относительно точки нечетная, тогда решение задачи...

О представлении функции многочленом, имеющим заданные...

Рассмотрена задача построения многочлена, приближающего заданную функцию с известными значениями ее самой и определенного набора ее производных на концах заданного отрезка. Получены явные формулы представления аппроксимирующего многочлена в различных формах.

Самоконтроль и его место в обучении алгебре в 9 классе

Найти значение выражение при . В условии предлагаемой задачи содержится ошибка.

Например, найдём значение выражение при . Здесь все проблемы снимаются.

Решить следующие две задачи и сравнить их решение. Задача 1. Решить квадратное уравнение .

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен.

9. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета становится уже практически

Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое значение при...

Задать вопрос