При инженерных расчётах часто возникает необходимость находить такие значения параметров конструкции, при которых определённые характеристики принимали бы оптимальные, то есть максимальные или минимальные значения. С этой целью нередко используются методы, разработанные в курсе математического анализа. Рассмотрим некоторые примеры решения задач.
Задача 1. Картина ВС прямоугольной формы высоты H(м) подвешена на стене таким образом, что ее нижний край С находится выше уровня объектива A фотокамеры на b (м) (рис. 1). На каком расстоянии x от стены ВК должна находиться фотокамера, чтобы угол обзора картины был наибольшим?
Решение. Пусть 
угол обзора картины. Из рис.1 видно, что 
, а из треугольников АКС и АКВ соответственно имеем:
(1)
Рис. 1
Используя соотношения (1), найдём выражение для тангенса угла обзора 
:
(2)
Из (2) для угла обзора получим
(3)
Заметим, что угол 
является функцией расстояния х от объектива фотокамеры до стеныподвеса картины. Применив методы математического анализа, исследуем полученную функцию на экстремумы, то есть определим её стационарные точки и их характер [1]. С этой целью вычислим производную функции 
Приравняв производную к нулю, получим
.
Показано, что при переходе через полученное значение 
производная меняет знак с плюса на минус, то есть указанная точка является точкой максимума. Это значит, что оптимальное значение расстояния от объектива фотоаппарата до стены, при котором угол обзора картины будет наибольшим, равно
(м). (4)
Подстановкой (4) в (3), получим значение наибольшего угла обзора 
.
Задача 2.При каком радиусе основания R и высоте H площадь боковой поверхности конуса заданного объёма V является наименьшей?
Решение. Обозначив образующую конуса через L (рис. 2), боковая поверхность S и объём конуса V запишутся в виде
.(5)
Рис. 2
С учётом (5), выразим высоту H через радиус R и объём V
(6)
Из треугольника РОС, для образующей L будем иметь
.(7)
Тогда площадь боковой поверхности, с учётом (7), запишется в виде функции от радиуса R
(8)
Поступим так же, как и в предыдущей задаче [2]:
.
Так как при переходе через точку 
производная меняет знак с минуса на плюс, то при 
значениеплощади боковой поверхности конуса будет минимальным.
Определим значение высоты H конуса при 
.(9)
Для более наглядного представления формы полученного оптимального конуса, вычислим отношение 
:
Таким образом, при фиксированном значении объёма, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть в 
раз больше радиуса основания.
Подставив найденное значение в (8), найдём минимальное значение площади боковой поверхности конуса
.
Заметим, что полученный результат позволяет значительно сократить расходы материала на изготовление конусообразной ёмкости заданного объёма.
Рассмотренные примеры решения прикладных задач показывают, что применение математических методов даёт возможность получить как решение этих задач, так и определённый экономический эффект при проектировании отдельных элементов конструкций.
Литература:
- Алимов Ш. А. Алгебра и начала математического анализа: учебник для общеобразовательных учреждений / [Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др.]. — 3 изд. — М.: Просвещение, 2016. — 464 с.
- Exponenta.ru[Электронный ресурс]: образоват. мат. сайт. — Режим доступа: http://www.exponenta.ru/. — Загл. с экрана.
