Расчет произвольно опертых пластин

Рассматриваются гармонические колебания двухслойных пластин с произвольными граничными условиями. Дается полный алгоритм решения задачи методом граничных интегральных уравнений. Получены фундаментальные динамические функции влияния перемещений и усилий.

Колебания тонких пластин могут быть значительно уменьшены с помощью демпфирующих покрытий [1,2]. С другой стороны, известно, что уравнения движения многослойных пластин с чередующимися мягкими и жесткими слоями также могут быть преобразованы к уравнениям для двухслойной пластинки [1]. Таким образом, теоретическое и экспериментальное изучение вибраций двухслойных пластин представляет собой важную задачу.

Система дифференциальных уравнений движения двухслойной пластинки в уточненной постановке с учетом сдвиговых деформаций в обоих слоях () приводится в [2]. Предположим, что для j=1 (поддерживающий слой)  В таком случае сдвиговые деформации учитываются только в демпфирующем покрытии(j=2).Система дифференциальных уравнений деформации пластинки принимает вид:

                                     (1)

 ()

где - оператор Лапласса,

j –индекс слоя(j=1,2), - индекс координатных осей(),

w,функции трансверсальных и осевых перемещений для точек на поверхности интерфейса;-функции сдвиговых деформаций для слоя с индексом (j);

                        (2)

 — модуль упругости,коэффициент Пуассона и толщина слоя с индексом (j); - распределенные нагрузки в плоскости интерфейса();-интенсивность трансверсальной нагрузки -распределенная моментная нагрузка; - функция сдвигов.

Рассеяние энергии в демпфирующем покрытии может быть учтено введением комплексного модуля упругости:

(- фактор потерь для демпфирующего покрытия).

Уравнения (1) могут быть преобразованы для описания колебаний различных частных моделей пластинки.

Если введенная в (2) функция f(z) является квадратичной, то имеем:

и (квадратичный закон распределения сдвигов [2]). Если функция f(z) =1(постоянняя):

(равномерное распределение сдвигов).

Предполагаем также, что:

Теперь введем в рассмотрение функции  [2]:

                                                                           (3)

Система (1) имеет пять уравнений.

Дифференцируем по  первое уравнение (1) при  и по то же самое уравнение при  а затем суммируем эти уравнения; далее используем ту же самую процедуру для четвертого и пятого уравнений системы (1). Таким образом, получим систему трех дифференциальных уравнений:

                                                                         (4)

где введены обозначения:

                      (5)

Система дифференциальных уравнений (4) может быть заменена одним дифференциальным уравнением:

                             (6)

Перейдем к полярной системе координат и представим функции, входящие в (6) функции в виде:

                                                (7)

Здесь- полярные координаты, — частота колебаний,

распределенные массовые плотности.

С учетом (7), уравнение (6) принимает вид:

                                                                    (8)

где

                                 (9)

Следуя [3], будем искать решение (8) в виде:

                                                                                                  (10)

где -константа, -радиус пластинки. -функция Бесселя индекса - характеристический параметр.

Подставляя (10) в уравнение (8), мы получаем характеристическое уравнение относительно параметра .

                                                                                    (11)

Решения (11) при (учете демпфирования) являются комплексными числами, для которых справедливы следующие соотношения:

где- соответственно модуль, действительная и комплексная части комплексного числа

С учетом этого, комплексный корень s₃, соответствующий не изгибным формам деформации, может быть отброшен.

Решение (10) в общей форме можно записать:

                      (12)

Здесь-соответственно функции Бесселя первого рода и модифицированные функции Бесселя;-произвольные постоянные; -характеристические числа.

В дальнейшем удобно ввести в рассмотрение функции, связанные с функциями деформаций соотношениями:

;;                                                      (13)

При подстановке (13) в (3) получим:

                                                                                                (14)

Следствием системы дифференциальных уравнений задачи типа (4) являются зависимости вида:

                                                                                              (15)

где  множители, зависящие от параметра : .

Как и в случае однослойной пластинки [3], решение для функций при сосредоточенном трансверсальном воздействии

на бесконечную двухслойную пластинку (для m=0) разыскиваем в виде комбинации сингулярных при цилиндрических функций.

С учетом (7.7) имеем:

;

                                                                             (16)

где С₁ –константа.

Справедливость соотношений (16) следует из представлений функций Y₀,K₀ при

                  

                                                                  (17)

; ()

Подстановка (17) в (16) приводит к взаимному уничтожению слагаемых, содержащих .

Следствием (16) являются соотношения, определяющие перемещения в координатной системе, связанной с направлениями нормали (n) и касательной к контуру пластинки (t) (рис. 1).

Рис. 1

Для упрощения преобразований введем функции:

,                                                                                (18)

, .

В таком случае соотношения(16) принимают вид:

                                                           (19)

Функции перемещений:

;;                         (20)

;

Рассмотрим загружение пластинки сосредоточенной силой

. Поперечная сила для осесимметричного случая записывается в виде:

,                                      (21)

где в случае осесимметричного загружения имеем:

                                        (22)

В случае учета сдвигов только в подкрепляющем слое(j=2) выражение (21) преобразуется к виду:

                           (23)

Подставим (17),(19), (20) в (23) и выполним предельный переход:

С учетом()получаем выражение для С₁:

           (24)

Для данного загружения имеем:

                                                               (25)

где

                                                                               (26)

Выражения (20) определяют фундаментальные функции

Остановимся на выводе функций влияния от действия кососимметричных динамических нагрузок, учитывая взаимосвязь функций перемещений и силовых факторов .

Рассмотрим загружение нагрузкой,расположенной в плоскости интерфейса:

;                                                                                   (27)

При получим предельный случай: действие сосредоточенной осевой единичной нагрузки:

;                                                                    (28)

Здесь  с учетом имеет вид [2]:

                              (29)

Выполняя предельный переход в (29), получим:

                                                                                      (30)

Для этого варианта единичного загружения получим:

                                      (31)

где                                                                         (32)

Выражения (20) определяют фундаментальные функции

Точно также, рассматриваем загружение распределенными сдвиговыми моментами

;                                                                               (33)

При имеем:

                                                                       (34)

Здесь

       (35)

В результате стандартных преобразований получим выражение для константы С₁ для этого случая:

                                                                                                         (36)

Для этого варианта единичного загружения получим:

                                       (37)

где                                                                         (38)

Выражения (20) определяют фундаментальные функции

Рассмотрим загружение бесконечной пластинки моментной динамической нагрузкой, распределенной по окружности, и изменяющейся по закону:

                                                                                (39)

Функции влияния для этого случая можно получить из соотношений для первого загружения, дифференцируя по нормали к контуру соответствующие случаю Р=1 функции. Отсюда ясно, что константы  для этого загружения остаются такими же по величине, как и в первом загружении,а выражения для функций влияния изменяются. Таким образом, для данного загружения можно записать:

                                       (40)

Выражения (20) определяют фундаментальные функции

Определенные таким образом константы C_ij образуют матрицу коэффициентов С и задают систему фундаментальных функций для перемещений.

Матрица коэффициентов С имеет вид:

С11	С12	С13	С14
С21	С22	С23	С24
С31	С32	С33	С34

                                                                                                                                       (41)

Здесь учтено C_i4=C_i1 при (i=1,2,3)

Функции перемещений, соответствующие каждому загружению, удобно представить в тензорной форме:

                                                                                                      (42)

где                                  (43)

В дальнейшем используем стандартную прямую формулировку задачи [3], основанную на принципе Бетти.

Обозначая: , мы можем

записать систему четырех интегральных уравнений задачи в виде одного тензорного уравнения, вида:

                                                                                                                                       (44)

Здесь звездочкой помечены основные динамические функции влияния для перемещений и усилий, расположенных на контуре двухслойной пластинки; -функции влияния гармонической внешней нагрузки, расположенной на пластинке.

Динамические функции влияния усилий на контуре пластинки определяются с учетом направления нормали к контуру.

Например, для функции влияния момента в направлении нормали к контуру можем записать:

                                      (45)

где определяются по известным формулам [2], выраженным в полярной системе координат, с помощью соотношений (20) для соответствующих загружений.

Окончательно для загружения j=1 имеем:

где                                  (46)

Для загружений j=2,3,4:

где

                                      (47)

Вид остальных операторов () имеет аналогичную структуру.

Дальнейший путь решения носит стандартный характер [5]. Контур пластинки аппроксимируется N граничными элементами. Для вычисления граничных и контурных интегралов используются квадратурные формулы. Получаем систему алгебраических уравнений относительно узловых усилий и перемещений на контуре пластинки.

Рис. 2 иллюстрирует применение рассматриваемой методики для расчета квадратной, шарнирно опертой по контуру двухслойной пластинки на действие сосредоточенной гармонической силы ,приложенной в центре пластинки(=0.9–отношение частоты внешнего воздействия к первой частоте собственных колебаний). Пластинка имеет следующие параметры:   -факторы потерь по гипотезе комплексных модулей упругости координатной линии X₁, проходящей через центр пластинки при различном числе узлов разбиения на стороне пластинки (а=1).

Рис. 2

Графики свидетельствуют о хорошем приближении к результатам, полученным в тригонометрических рядах. Динамические функции влияния для квадратной пластинки могут быть использованы в решении задач гашения колебаний пластин с помощью комбинированных средств виброзащиты, включающих демпфирующие покрытия и гасители колебаний.

Литература:

1.                   Nashif A., Johes D., Henderson J. Vibration damping. 1985,New York:John Wiley & Sons.

2.                   Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций М.: Машиностроение, -1980.-375 с.

3.                   Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960, -490 с.

4.                   Бенерджи, Прадип К, Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, — 494.