Алгоритм получения матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента | Статья в сборнике международной научной конференции

Библиографическое описание:

Николаев А. П., Сорокина Е. И. Алгоритм получения матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента [Текст] // Современные тенденции технических наук: материалы II Междунар. науч. конф. (г. Уфа, май 2013 г.). — Уфа: Лето, 2013. — С. 53-56. — URL https://moluch.ru/conf/tech/archive/74/3809/ (дата обращения: 19.08.2018).

В статье исследуются в трех вариантах алгоритмы получения матриц жесткости четырехугольного конечного элемента.

Ключевые слова: объемный конечный элемент, матрица жесткости, вектор узловых неизвестных.

Для расчета осесимметрично нагруженных тел вращения из несжимаемых материалов разработаны объемные конечные элементы с поперечным сечением в виде четырехугольника. Для выполнения численного интегрирования произвольный четырехугольник в системе координат r, z с узлами i, j, k, l отображался на квадрат с локальными координатами ξ, η, изменяющимися в пределах -1 ≤ ξ, η ≤ 1. Зависимость между координатами r, z и локальными координатами ξ, η определялась билинейными соотношениями

; ,                                                                         (1)

где  — матрицы-строки координат узлов четырехугольника.

Дифференцированием соотношений (1) определялись производные глобальных координат r,ξ, r,η, z,ξ, z,η и локальных координат ξ,r, η,r, ξ,z, η,z в глобальной системе координат.

Четырехугольный конечный элемент разрабатывался в трех вариантах.

1. Столбец узловых неизвестных содержит только перемещения и принимается в виде

;                                                           (2)

где

 — перемещения вдоль осей r и z соответственно в узловой точке m (m = i, j, k, Каждая составляющая перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные билинейными зависимостями (1).

Вектор-столбец внутренней точки конечного элемента  определяется в матричном виде выражением

,                                                                                                            (3)

где матрица [A] имеет вид

.

Деформации внутренней точки конечного элемента определяются матричным выражением

.                                                                      (4)

Гидростатическое давление σ0 принимается постоянным по площади четырехугольника.

2. Во втором варианте конечного элемента в каждом его узле в качестве узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные. Вектор узловых неизвестных в локальной системе координат имеет вид

,                                                                                               (5)

где

;

;

 — производные радиального и осевого перемещений в локальной системе координат.

Перемещения внутренней точки конечного элемента определяются через векторы узловых перемещений в локальной системе координат соотношениями

;,                                                                     (6)

где компонентами матрицы , содержащей функции формы, являются полиномы Эрмита третьей степени.

С использованием аппроксимирующих соотношений (6) формируется матричная зависимость (3) и (4).

Гидростатическое давление принимается постоянным по площади четырехугольника.

3. В третьем варианте конечного элемента перемещения аппроксимировались соотношениями второго варианта, а гидростатическое давление считалось изменяющимся в зависимости от узловых значений по билинейному закону

,                                                                                                   (7)

где

.

Для получения матрицы жесткости и векторов узловых усилий дискретных элементов при действии сил, распределенных по объему, используется равенство работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях

v,                                                                                        (8)

где

 — элементарный объем дискретного элемента;

 — вектор-строка составляющих поверхности сил.

С использованием матричной зависимости

,                                                           (9)

равенство (8) принимает вид

,                                                                          (10)

где

ds — элементарная площадка поперечного сечения элемента.

Объемная деформация ε0, входящая в (15), определяется выражением

.                                                      (11)

Принимая во внимание (3), (4), (9), (10) и (11) выражение (12) представим в виде

                             (13)

Выполняя минимизацию функционала (13) по компонентам вектора  и по компонентам узловых неизвестных гидростатического давления , получим систему уравнений

;

,                                                                                                                 (14)

где

;

;

.

Систему (14) можно представить в традиционной конечно-элементной формулировке

,                                                                                                         (15)

где

 — модифицированная матрица жесткости конечного элемента;

 — вектор узловых сил конечного элемента.

 — вектор узловых неизвестных конечного элемента.

При получении матриц жесткости в первом и втором вариантах конечных элементов матрица [β] соотношения (14) представляет собой столбец {β}.

Модифицированная матрица жесткости [Кн] имеет размеры 9×9 — в первом варианте конечного элемента, 25×25 — во втором варианте и 28×28 — в третьем варианте.

В качестве примера определено напряженно-деформированное состояние защемленной по торцам цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давление интенсивности q=, при следующих исходных данных: внутренний радиус R=0,5 м; толщина стенки оболочки h=0,05 м; модуль упругости материала Е = 2 · 105; коэффициент Пуассона υ = 0,5. расчет выполнялся в трех вариантах.

В первом варианте использовался конечный элемент с узловыми неизвестными в виде радиального и осевого перемещения υ. Гидростатическое давление σ0 принималось постоянным по площади четырехугольника.

Во втором варианте расчет выполнен с использованием конечного элемента, узловыми неизвестными которого являлись перемещения и их первые производные. Гидростатическое давление σ0 принималось постоянным по площади сечения объемного конечного элемента.

В третьем варианте расчета использовался элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных. Гидростатическое давление распределялось в поперечном сечении объемного конечного элемента по линейному закону.

Анализ результатов показал хорошую сходимость вычислительного процесса и совпадение результатов по вариантам.

Сравнительными расчетами установлено, что наилучшие результаты получаются при использовании конечного элемента с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных, а также гидростатических давлений (т. е. в третьем варианте).

Основные термины (генерируются автоматически): конечный элемент, гидростатическое давление, неизвестная, площадь четырехугольника, перемещение, объемный конечный элемент, локальная система координат, осевое перемещение, матричная зависимость, поперечное сечение.

Похожие статьи

Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

конечный элемент, гидростатическое давление, неизвестная, локальная система координат, объемный конечный элемент, площадь четырехугольника, перемещение, матричная зависимость, осевое перемещение...

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

гидростатическое давление, треугольный конечный элемент, конечный элемент, площадь четырехугольника, поперечное сечение, объемный конечный элемент, неизвестная, координата, компонент вектора...

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

Ключевые слова: оболочка, объемный треугольный конечный элемент, несжимаемый материал, напряжения, деформации, перемещения, двумерный полином, матрица.

Решение задач гидродинамики с помощью метода конечных...

Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными... Приведен расчет объемного конечного элемента четырехугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации перемещений.

Расчет однопролетной балки | Статья в журнале «Молодой ученый»

Ключевые слова: объемный конечный элемент, матрица жесткости, вектор узловых неизвестных. Вектор-столбец внутренней точки конечного элемента определяется в матричном виде выражением.

Расчёт фундаментных плит методом конечных элементов

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде... Приводятся расчет объемного конечного элемента треугольной формы поперечного. то на основании (8) между векторами и можно сформировать матричную зависимость.

Расчёт стержня с распределенными продольными связями

Получить зависимость распределения продольных сил по длине стержня и вычислить перемещение его концевого сечения.

Эта система статически неопределимая. Так как неизвестной является функция N(z) или u(z), то для ее определения необходимо составить не...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

Внутри каждого элемента неизвестные функции перемещений с составляющими.

где — узловые значения составляющих перемещений; — специальным образом подобранные функции координат со следующими свойствами

Исследование напряженно-деформированного состояния...

Тип конечного элемента определяется его геометрической формой, правилами, определяющими зависимость между перемещениями узлов конечного элемента и узлов системы, физическим законом...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

конечный элемент, гидростатическое давление, неизвестная, локальная система координат, объемный конечный элемент, площадь четырехугольника, перемещение, матричная зависимость, осевое перемещение...

Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного...

гидростатическое давление, треугольный конечный элемент, конечный элемент, площадь четырехугольника, поперечное сечение, объемный конечный элемент, неизвестная, координата, компонент вектора...

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными...

Ключевые слова: оболочка, объемный треугольный конечный элемент, несжимаемый материал, напряжения, деформации, перемещения, двумерный полином, матрица.

Решение задач гидродинамики с помощью метода конечных...

Четырехугольный конечный элемент с узловыми неизвестными... Приведен расчет объемного конечного элемента четырехугольной формы поперечного сечения при различных вариантах аппроксимации перемещений.

Расчет однопролетной балки | Статья в журнале «Молодой ученый»

Ключевые слова: объемный конечный элемент, матрица жесткости, вектор узловых неизвестных. Вектор-столбец внутренней точки конечного элемента определяется в матричном виде выражением.

Расчёт фундаментных плит методом конечных элементов

Треугольный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде... Приводятся расчет объемного конечного элемента треугольной формы поперечного. то на основании (8) между векторами и можно сформировать матричную зависимость.

Расчёт стержня с распределенными продольными связями

Получить зависимость распределения продольных сил по длине стержня и вычислить перемещение его концевого сечения.

Эта система статически неопределимая. Так как неизвестной является функция N(z) или u(z), то для ее определения необходимо составить не...

Осесимметричная динамическая задача о нагружении...

Внутри каждого элемента неизвестные функции перемещений с составляющими.

где — узловые значения составляющих перемещений; — специальным образом подобранные функции координат со следующими свойствами

Исследование напряженно-деформированного состояния...

Тип конечного элемента определяется его геометрической формой, правилами, определяющими зависимость между перемещениями узлов конечного элемента и узлов системы, физическим законом...

Задать вопрос