Алгоритмы формирования матрицы жесткости треугольного конечного элемента (краткий обзор)

Разработаны алгоритмы получения матрицы жесткости объемного конечного элемента, поперечное сечение которого является треугольником. Произвольная точка треугольника с узлами, обозначенными латинскими буквами i, j, k, определяется координатами r и z. Для выполнения численного интегрирования треугольник с узловыми координатами ri, rj, rk, zi, zj, zk отображается на прямоугольный треугольник, локальные координаты которого ξ и η изменяются от нуля до единицы.

Связь между глобальными координатами r, z и локальными координатами ξ, η определяется линейными соотношениями

;.(1)

Дифференцированием (1) определяются соответствующие производные.

Разработаны алгоритмы получения матриц жесткости треугольного конечного элемента в трех вариантах.

1. Компоненты вектора узловых неизвестных принимаются в виде перемещений, а гидростатическое давление считается постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников.

Каждая составляющая вектора перемещения внутренней точки конечного элемента аппроксимируется через узловые неизвестные линейными соотношениями (1)

;,(2)

где

; — матрицы-строки узловых неизвестных.

2. Компонентами вектора узловых неизвестных принимаются перемещения и их первые производные

.(3)

Для аппроксимации полей перемещений внутренних точек треугольного конечного элемента через узловые неизвестные используются выражения

; ,(4)

где

.

Функции формы Gi(ξ,η имеют вид

;

;

;

;

;

;

;

.(5)

Гидростатическое давление принималось постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников.

3. В третьем варианте перемещения аппроксимировались соотношениями (4), а гидростатическое давление считалось изменяющимся по линейному закону в зависимости от вектора узловых значений .

Модифицированные матрицы жесткости треугольного конечного элемента имеют размеры: 7×7 — в первом варианте конечного элемента; 19×19 — во втором варианте и 21×21 — в третьем.

В качестве примера определено напряженно-дефромированное состояние цилиндрической оболочки, рассмотренной в третьей главе. Использовался объемный конечный элемент с треугольным сечением в двух вариантах.

1. В первом варианте за узловые неизвестные конечного элемента принимались перемещения, а гидростатическое давление считалось постоянным по площади четырехугольника, состоящего из двух треугольников.
2. Во втором варианте расчета исследовался треугольный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений, их первых производных и гидростатического давления. Гидростатическое давление изменялось по площади треугольника по линейному закону.

Анализ численных результатов показал хорошую сходимость вычислительного процесса и практическое совпадение с результатами, полученными при использовании объемных конечных элементов с поперечным сечением в виде четырехугольника.

Литература:

1.                Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред/ Оден Дж. Пер. с англ.- М.: Мир, 1976.- 464 с.
2.                Самуль В. И. Основы теории упругости и пластичности/ Самуль В. И. — М.: «Высшая школа, 1970.- 288 с.
3.                Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций/ Постнов В. А., Хархурим И. Я. -Л.: Судостроение, 1974, 344 с