Применение системы уравнений Юла — Уолкера для имитации изотропных случайных полей

Рассмотрена возможность использования двумерных систем уравнений Юла — Уолкера для расчета коэффициентов корреляции по заданной корреляционной функции. Выполнено сравнение для трехточечных и восьмиточечных моделей.

Ключевые слова: модели изображений, оценивание параметров, уравнения Юла — Уолкера

 

Широкое распространение различных систем регистрации земной поверхности обеспечивает человека огромным количеством информации и, вместе с тем, требует разработки качественно новых алгоритмов обработки получаемых данных. Такими данными, в частности, являются данные дистанционного зондирования Земли из космоса. Вообще говоря, спутниковые снимки могут быть описаны в четырехмерном пространстве: первая координата и вторая координата — собственно пространственные координаты; третья — время, т. е. имеются последовательности изображений; четвертая — номер спектрального диапазона, т. к. съемка происходит в различных частотных диапазонах. В связи с этим желательно, чтобы разрабатываемые алгоритмы вместе с высокой эффективностью работы сочетали бы в себе и быстродействие. Возникает задача цифровой обработки многомерных сигналов [1].

Вместе с тем, на начальном этапе исследования подобных многомерных массивов данных допустимо упрощение, заключающееся в переходе к двумерным сигналам. Действительно, зачастую предлагаются модели изображений, в которых функция яркости является функцией двух переменных: пространственных координат по осям X и Y соответственно. В их числе авторегрессионные модели [2,3]. Основным преимуществом таких моделей является удобное математическое описание, что позволяет достаточно быстро исследовать их свойства. Тем не менее, для описания пространственно-неоднородного материала авторегрессионные модели являются малоприменимыми. Решение этой проблемы может быть получено с переходом к дважды стохастическим моделям изображений [4–6]. С помощью авторегрессионных моделей достаточно хорошо описываются анизотропные случайные поля (СП), однако их использование для описания изотропных СП вызывает трудности.

Таким образом, цель данной работы — определение таких параметров авторегрессионных моделей, которые бы позволяли получить СП, близкие по характеристикам к изотропным. При этом предлагается использовать системы уравнений Юла — Уолкера, т. к. с их помощью по заданной корреляционной функции (КФ) могут быть найдены коэффициенты корреляции.

В начале рассмотрим, например, модель Хабиби

,         (1)

где  и  — корреляционные параметры по строке и столбцу;  — дисперсия формируемой модели;  — случайная величина, математическое ожидание которой равно нулю, а дисперсия — единице.

Запишем ковариационную функцию модели (1)

.          (2)

Анализ выражения (2) показывает, что имитируемое СП является анизотропным, а оценка корреляционных параметров может быть успешно произведена по отдельным осям.

Для описания изотропного СП будем исходить из предположения о том, что модель состоит из нескольких точек. Соответственно, сколько точек, столько и коэффициентов корреляции. Представим модель в виде

.           (3)

Здесь коэффициенты  уже не представляют собой корреляционные параметры по строке и по столбцу, а дисперсия случайной величины  зависит от значений коэффициентов .

Для полной реализации модели (3) необходимо несколько начальных условий. Получим их из значений ковариационной функции изотропного СП

.     (4)

Или, выполняя нормировку выражения (4), запишем его как

.

Далее необходимо построить и решить систему уравнений Юла — Уолкера [7]. При этом необходимо обобщить ее одномерную запись на двумерный случай.

Пусть имеется модель

 , (5)

где m — порядок авторегрессии,  — случайная величина с гауссовым распределением,  — длина последовательности.

С помощью подбора коэффициентов  можно получить гауссовские случайные последовательности , , с разнообразными корреляционными свойствами. Показано [7], что для значений КФ можно использовать соотношение:

,         (6)

Подстановка в (6) значений k = 1, 2, …, m дает известную систему уравнений Юла — Уолкера, которая, например, для систем второго порядка примет вид:

Решение этой системы позволяет найти коэффициенты  уравнения авторегрессии (5) по, заданным заранее или оцененным на основе эксперимента, значениям R_x(1), R_x(2), …, R_x(m) корреляционной функции случайного процесса.

Аналогичную связь корреляционных параметров и значений КФ легко записать также для двумерного процесса или изображения.

Для увеличения числа коэффициентов запишем модель в следующем виде

, ,

где  — реализация СП (изображения); - коэффициенты корреляции для элементов, отстающих друг от друга по осям i и j на k и l пикселей соответственно;  — двумерная случайная последовательность независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним  и дисперсией ; m_i и m_j — порядки авторегрессий; M₁ и M₂ — размеры изображения.

Тогда выражение для расчета значений КФ

, .

С помощью статистического моделирования в Matlab сравним результаты для трехточечной и восьмиточечной моделей. При этом КФ изотропного СП рассчитаем для коэффициента . Начальные условия в этом случае

.

Тогда, решая систему уравнений, находим вектора коэффициентов корреляции

-           — для трехточечной модели;

-           для восьмиточечной модели.

Используя полученные коэффициенты, выполним реализацию модели (размер 200x200). Затем по полученной модели рассчитаем ее ковариационную функцию. Будем сравнивать значения экспериментальной ковариационной функции со значениями теоретической функции изотропного СП. Результаты имитации представлены в таблице 1 (трехточечная модель) и таблице 2 (восьмиточечная модель)

Таблица 1

Сравнительная характеристика КФ трехточечной модели и изотропного СП

КФ трехточечной модели						КФ изотропного СП
i j	1	2	3	4	5	i j	1	2	3	4	5
1	0.930	0.687	0.467	0.303	0.190	1	0.930	0.892	0.850	0.809	0.770
2	0.687	0.655	0.542	0.411	0.296	2	0.892	0.865	0.831	0.795	0.759
3	0.467	0.542	0.523	0.453	0.365	3	0.850	0.831	0.804	0.774	0.741
4	0.303	0.411	0.453	0.440	0.392	4	0.809	0.795	0.774	0.748	0.720
5	0.190	0.296	0.365	0.392	0.381	5	0.770	0.759	0.741	0.720	0.696

 

Таблица 2

Сравнительная характеристика КФ восьмиточечной модели и изотропного СП

КФ восьмиточечной модели						КФ изотропного СП
i j	1	2	3	4	5	i j	1	2	3	4	5
1	0.930	0.892	0.713	0.507	0.347	1	0.930	0.892	0.850	0.809	0.770
2	0.892	0.865	0.751	0.598	0.459	2	0.892	0.865	0.831	0.795	0.759
3	0.713	0.751	0.714	0.621	0.514	3	0.850	0.831	0.804	0.774	0.741
4	0.507	0.598	0.621	0.586	0.521	4	0.809	0.795	0.774	0.748	0.720
5	0.347	0.459	0.514	0.521	0.494	5	0.770	0.759	0.741	0.720	0.696

 

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

-          применение уравнений Юла — Уолкера для двумерного случая позволяет получить СП с корреляционными свойствами, близкими по форме к свойствам изотропных СП;

-          убывание статистической связи в таких моделях по строке и по столбцу в целом происходит быстрее, чем по диагонали;

-          точность, полученных в результате имитации, моделей увеличивается при переходе от трехточечной модели к восьмиточечной. Дисперсии ошибки результатов таблицы 1 и таблицы 2:  и  соответственно.

На рис. 1 представлены, полученные при моделировании, изображения.

 

                                           а                                                                 б

Рис. 1 Моделирование свойств изотропных СП с помощью трехточечной (а) и восьмиточечной (б) моделей

 

Таким образом, предложен способ формирования изотропных СП на основе авторегрессионных моделей с коэффициентами, рассчитанными из уравнений Юла — Уолкера. При этом, чем больше коэффициентов в модели, тем точнее будет приближение к заданной КФ.

 

Литература:

 

1.         Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. — М.: Мир, 1988, 488 с.

2.         Васильев К. К., Ташлинский А. Г., Крашенинников В. Р., Статистический анализ последовательностей многомерных изображений // Наукоемкие технологии, 2013, № 5, с. 5–11

3.         Васильев К. К., Дементьев В. Е. Авторегрессионные модели многомерных изображений // Наукоемкие технологии, 2013, т. 14, № 15, с. 12–15

4.         Васильев К. К., Дементьев В. Е., Андриянов Н. А. Оценивание параметров дважды стохастических случайных полей // Радиотехника. — 2014. — № 7, с. 103–106

5.         Андриянов Н. А., Дементьев В. Е. Формирование временных последовательностей дважды стохастических моделей изображений // Современные проблемы проектирования, производства и эксплуатации радиотехнических систем: Сборник научных трудов девятой Всероссийской научно-практической конференции (с участием стран СНГ), г. Ульяновск, 1–2 октября 2015 г. — Ульяновск, УлГТУ, 2015. — с. 89–93.

6.         Андриянов Н. А. Идентификация параметров дважды стохастических авторегрессионных моделей случайных процессов / Н. А. Андриянов, К. К. Васильев, В. Е. Дементьев // 16-я Международная конференция “Цифровая обработка сигналов и ее применение — DSPA-2014”, Москва, Россия. Доклады, 2014. Т. 1. c. 109 -113.

7.         Васильев К. К. Методы обработки сигналов: учебное пособие / К. К. Васильев. — Ульяновск, 2001. — 80 с.