Методы приближения функций параболическими сплайнами

Значительное место при обработке результатов наблюдений занимают задачи интерполяции и аппроксимации данных измерений, заданных на дискретных сетках (обычно в форме таблиц отсчетов). Теория интерполяции функций полиномами целых неотрицательных степеней         

P(x) = a₀+ a₁x + a₂x²+ … + a_mx^m                                                                               (1)

где a_i — коэффициенты полинома (i = 0, 1, …, m), m — степень полинома, дает нам один из наиболее широких классов математических моделей процессов.

Вместе с тем для многих традиционных задач построения полиномов высоких степеней m, интерполирующих одной «глобальной» формулой заданные функции в узлах отрезка конечной длины, характерны малоприятные явления, заключающиеся в быстром росте величин ошибок между узлами интерполяции с ростом степени полиномов. Они ведут к тому, что отсутствует сходимость интерполирующих полиномов к функции.

Оценки точности приближения функций кусочно-полиномиальными интерполянтами зависят от дифференциальных свойств интерполируемых функций, от их гладкости и от способа разбиения на малые интервалы полного отрезка [a,b], на котором задана функция f(x). Создается сетка узлов интерполяции

a£ x₀< x₁< … <x_i< … <x_n£ b,                                                                                  (2)

которая является равномерной, если шаг интерполяции h выбирается по формуле

h= x_i+1 — x_i= const,                                                                                                       (3)

и становится неравномерной, если разбиение отрезка производится на интервалы произвольной длины.

Оценки максимальных значений ошибок интерполяции кусочными полиномами различных степеней в литературе по численному анализу получены в результате исследования остаточных членов формул для полиномов, построенных в соответствии с методами Ньютона и Лагранжа. Если метрика задана в пространстве С^(m), то имеют место следующие неравенства для кусочных полиномов различных степеней [3,8]:

1) для полиномов нулевой степени (кусочно-постоянных функций):

                                                                    (4)

2) для полиномов 1-й степени (ломаных или кусочно-линейных функций):

                                                                  (5)

3) для полиномов 2-й степени (кусочно-квадратических функций):

                                                            (6)

4) для полиномов 3-й степени (кусочно-кубических функций):

                                                            (7)

В случае не равноотстоящих узлов неравенства (4) — (7) также пригодны для оценки точности интерполяции. Отличие состоит в том, что в правые части выражений подставляется максимальное значение шага h_max.

Недостатком методов интерполяции кусочными полиномами является отсутствие гладкости интерполянтов в некоторых точках, поскольку имеют место разрывы производных в узлах. Приведем здесь математическое определение понятия гладкой функции [3].

Функция f(x) называется гладкой на отрезке [a,b], если она непрерывна на этом отрезке и имеет на нем непрерывную производную f’(x).

Наряду с этим определением с целью подчеркнуть способность функций к многократному непрерывному дифференцированию, употребляется термин «степень гладкости». Он означает величину порядка наивысшей производной, которая непрерывна на данном отрезке.

Введем еще несколько необходимых определений:

Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она определена и непрерывна всюду на [a,b], за исключением, быть может, конечного числа точек x_i(a< x₁<x₂< …< x_n< b), в которых существуют пределы f справа и слева. Таким образом, кусочно-непрерывная на [a,b] функция непрерывна на каждом из интервалов (x_i, x_i+1).

Функция f(x) называется кусочно гладкой на отрезке [a,b], если она кусочно-непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную f’(x) на этом отрезке.

Частным случаем кусочно-гладкой функции является непрерывная кусочно гладкая на отрезке [a,b] функция. Она представляет собой функцию, которая непрерывна на [a,b], и кроме того, существует разбиение отрезка на частичные отрезки [x_i,x_i+1], при котором функция является гладкой на каждом из этих отрезков.

Понятие гладкости тесно связано с понятием кривизны и радиуса кривизны. Если функция f(x) в окрестности точки x имеет непрерывную производную и в самой точке вторую производную, то радиус кривизны подчиняется следующему соотношению [6]:

.                                                                                   (8)

Кривизной радиуса R называется число 1/R. При малых значениях f’(x) (f’<<1) радиус приближенно равен R(x)@1/f”(x).

Сплайны как класс кусочных функций вследствие ряда преимуществ перед другими методами аппроксимации находят все более широкое применение при разработке аппаратных и программных средств анализа и восстановления сигналов, расширяя рамки традиционных подходов к приближению функций [3,4].

К этим преимуществам относятся:

-        устойчивость сплайнов относительно локальных возмущений, в отличие от полиномиальной интерполяции;

-        хорошая сходимость сплайн-интерполяции в отличие от интерполяции многочленами;

-        экстремальные свойства сплайнов. Сплайны обеспечивают значения функционалов, доставляющими минимальную гладкость функций в гильбертовом пространстве и в пространстве ограниченных функций.

-        построение интерполяционных сплайнов сводится к решению ленточных (квазидиагональных) систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), для которых в численном анализе разработаны эффективные методы и алгоритмы решений.

Понятие «сплайн» происходит от английского слова «spline», что в чертежном деле означает в переводе «рейка, гибкая линейка». Если разбить отрезок [a,b] оси абсцисс точками a=x₀<x₁<…<x_n=b, называемыми узлами сетки, на интервалы [x_i,x_i+1], то определение сплайна можно привести в следующей форме:

полиномиальным сплайном степени m называется функция S_m(x), обладающая следующими свойствами [7–10]:

1) функция S_m(x) непрерывна на отрезке [a,b] вместе со всеми своими производными до некоторого порядка r;

2) на каждом интервале [x_i,x_i+1] функция S_m(x) совпадает с алгебраическим полиномом P_m,i(x) степени m:

S_m(x) = P_m,i(x) = a_o,i + a_1,i(x-x_i) + a_2,i(x-x_i)² +…+ a_m,i(x-x_i)^m                                         (9)

Разность между степенью сплайна и наивысшим порядком r (m-r целое число) непрерывной на отрезке [a,b] производной называется дефектом сплайна [3].

 

Литература:

 

1.                  Агевич С. Н. Сплайн-Виленкина-Крестенсона функции в представлении сигналов./Научное приборостроение. 2002, Т. 12, № 1, С.79–89.

2.                  Алгоритмы и программы восстановления зависимостей /Под.ред. В. Н. Вапника. -М.: Наука, 1984. — 816 с.

3.                  Ахмед Н., Рао К. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. -М.: Связь, 1980. — 248 с.

4.                  Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

5.                  Верлань А. Ф., Абдусаттаров Б. Б., Акбаров Ш. А. Алгоритмические и структурные методы повышения быстродействия специализированных устройств при реализации интегральных моделей нелинейных динамических объектов // Электронное моделирование. — 1987. — № 6. — С. 42–44.

6.                  Зайнидинов Х. Н., Алгоритмы быстрых спектральных преобразований и их применение для восстановления сигналов. // Актуальные проблемы радиотехники, электроники и связи. (Секция вычислительной техники). Тезисы докл. научн. — техн. конференции. Санкт-Петербург, 1992 С.

7.                  Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Хамдамов У. Р. Программный комплекс для обработки одномерных и многомерных геофизических сигналов в кусочно — полиномиальных базисах.// Совместный выпуск по материалам респ. науч. конф. «Современное состояние и пути развития информационных технологий» 11–13 октября 2006, г.Ташкент, с.205–207

8.                  Касымов С. С., Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Аппаратно — ориентированный алгоритм вычисления коэффициентов в кусочно — квадратических базисах // ДАН РУЗ. 2003. № 3, -С. 18–21.

9.                  Касымов С. С., Зайнидинов Х. Н., Рахимов Б. С. Применение базисных сплайнов для предварительной обработки экспериментальных данных // Тезисы докл. XVI — Международная научная конф., Санкт — Петербург, 2003.

10.              Малоземов В. Н., Певный А. Б. Дискретные периодические B-сплайны // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№ 22). С. 14–19.

11.              Микропроцессорных комплект БИС серии К 1815 для цифровой обработки сигналов: Справочник /А. И. Белоус, О. В. Подрубный, В. М. Журба; под ред. А. И. Сухопарова. — М.: Радио и связь, 1992. — 256 с.

12.              Мусаев М. М., Ходжаев Л. К. Спектральный метод полиномиальной аппроксимации для цифровой обработки сигналов.// Электронное моделирование. — 1987. -N6, — С. 30–33.

13.              Ракощиц В. С., Козлов А. В., Можаев И. А. и др. Специализированные микропроцессоры, реализующие быстрые преобразования // Цифровая обработка сигналов: сб. статьей. — М.: Наука, 1981. — С. 206–217.

14.              Рахимов Б. С. Применение кусочно — постоянных, кусочно — линейных и кусочно — квадратических базисных функций Уолша для спектральной обработки сигналов. // Тезисы докл. сб. науч. статьей., Ташкент, -С 319–320.

15.              Рахимов Б. С. Проектирование спецпроцессов для обработки сигналов на основе матричной диаграммы занятности.// Научно — технический журнал Ферганского политехнического института. 2003, № 4, — С 31–34.

16.              Рахимов Б. С. Кусочно — полиномиальные методы на основе функций Уолша.// Актуальные вопросы в области технических и социально-экономических наук. Межвузовский сб. научн. трудов. Ташкент 2006, вып.1., — С. 42–43.

17.              Смолов В. Б., Свиньин С. Ф., Зенцов В. А. Аппроксимация системами кусочно-полиномиальных функций в задачах цифровой обработки сигналов. //Изв.АН СССР, Техническая кибернетика, 1982. — N2. -С. 202–209.

18.              Kasymov S. S., Zaynidinov H. N., Rahimov B. S. Methods of the organization of parallel computing structures and processes on the basics of basic splines // Proceedings of the 1^st Seminar «The opportunities for Application of Information Technologies for Development of Education and Economic Growth». Tashkent, july 3–5, 2003., p. 97–98.