Вероятностная оценка ковариационной матрицы для фильтра Кальмана при полярных системах координат | Статья в сборнике международной научной конференции

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 6 февраля, печатный экземпляр отправим 10 февраля.

Опубликовать статью в журнале

Библиографическое описание:

Дарбинян, А. А. Вероятностная оценка ковариационной матрицы для фильтра Кальмана при полярных системах координат / А. А. Дарбинян, А. Р. Акопян. — Текст : непосредственный // Исследования молодых ученых : материалы XII Междунар. науч. конф. (г. Казань, июль 2020 г.). — Казань : Молодой ученый, 2020. — С. 1-3. — URL: https://moluch.ru/conf/stud/archive/378/15976/ (дата обращения: 27.01.2021).



При измерении позиции объекта радаром возникает вопрос о точности измерения. Чтобы минимизировать ошибку измерения используется Фильтр Калмана. Для этого необходимо чтобы измерение было бы выполнено в Декартовых системах координат, но большинство радаров измеряют позицию в полярных или сферических системах координат, и возникает вопрос о линеаризации модели измерения. Ранее для этого была использована формула Тейлора. В этой же статье будет рассмотрен метод минимизации ошибки линеаризации.

Ключевые слова: фильтр, Калман, полярные, сферические, модификация.

1. Обозначения

— n-мерное вещественное векторное пространство

— Множество всех непрерывных функций на множестве [5]

и — Мат. Ожидание и дисперсия случайной величины [8]

— Ковариационна матрица случайного вектора [7]

— След квадратной матрицы [6]

— транспонированная матрицы [6]

— Единичная матрица [6]

Допустим имеем некоторый движущийся объект в с заданной моделью:

,(1)

где k-я позиция вектора состояния, - вещественная матрица называемая матрицей перехода, вещественная матрица и есть — мерный Гауссовский случайный вектор т. ч. и .

Допустим что некоторое устройство измеряет данный объект с заданной моделью:

,(2)

где измерение k-той позиции, есть матрица и есть -мерный Гауссовский случайный вектор т. ч. . и . Рассмотрим оценку вектора состояния на основе измерений

(3)

Где и вещественная матрица.

Теорема 1 (см [1] или [2]) Если взять матрицу равной

Где определяется рекурсивно

Тогда о есть оценка (3) будет оптимальной.

Как можно заметить ковариационная матрица (т. е. ) играет роль в формуле матрицы . Рассмотрим двумерную модель движения [4]: Пусть Т-время между измерениями. Рассмотрим модел состояния в виде

,где . ,где .

. .

. .

Также модел измерения в виде

, где и . где и .

.

Также Обозначим

Как можно заметить — модель движения объекта является моделью линейно движущегося объекта со случайным ускорением, но измерение выполняется в полярных систем координат. Проблема заключается в линеаризации и нахождении ковариационной матрицы. Применив формулу Тейлора и отбросив остаточный член получилась следующая оценка ковариационной матрицы [4]

где .(4)

2. Приближение в полярных системах координат

Рассмотрим множество функций

Данное пространство является векторным [6]. Также определим скалярное произведение.

.

Найдем линейные оценку для в виде

(5)

Так чтобы

Рассмотрим пространство — множество всех многочленов со степенью не выше чем [3]. есть подпространство , Таким образом наша задача эквивалентна задаче о нахождении и т.ч.

Так как есть базиз в и пространство есть Гильбертово пространство [6, 3], мы можем применить метод неопределенных коэффицентов

(6)

Решив уравнение, имеем

= (7)

Векторы образуют базис в . Кроме того

Следовательно система векторов образует базис в [6], следовательно

(8)

(8)

Можем заметить что уравнения (8) и (6) одинаковы, следовательно

Повторив тот же процесс для y имеем

Таким образом мы доказали теорему.

Теорема 2 Оценки и

Будут иметь наименьшие значения для и среди линейных оценок.

Представив в матричном виде

(2.6)

нетрудно заметить, что оценка (1.4) является частным случаем формулы (2.6) когда значение близка к нулю.

3. Практическое наблюдение при полярных координатах

Ковариационные матрицы (1.4) и (2.6) были использованы при алгоритме фильтрации Kальмана на симуляции при различных значениях .

Далее можете видеть результат данной компьютерной симуляции, где

= при использовании ковариационной матрицы (1.4), а — при использовании (2.6)․ Если - то ковариационная матрица эффективенее.

Как видно из полученных результатов, новая ковариационная матрица в большинстве случаев лучше прежней.

Литература:

  1. Kalman, R.E. (1960). «A new approach to linear filtering and prediction problems». Journal of Basic Engineering. 82 (1): 35–45. doi:10.1115/1.3662552. Archived from the original (PDF) on 2008–05–29. Retrieved 2008–05–03.
  2. Kalman, R.E.; Bucy, R.S. (1961). «New Results in Linear Filtering and Prediction Theory»
  3. Hakobyan Y. R. Basics of Numerical Analysis (2005)
  4. Ramachandra K. V. (2000) «Kalman Filtering Techniques for Radar Tracking» 1st Edition
  5. Дарбинян А. А., Акопян А. Р. (2019) “Модификация фильтра Калмана для полярных и сферических систем координат” Вестник РАУ
Основные термины (генерируются автоматически): ковариационная матрица, вещественная матрица, случайный вектор, заданная модель, измерение, оценка, полярная система координат.

Ключевые слова

модификация, фильтр, Калман, полярные, сферические

Похожие статьи

Алгоритм определения неизмеряемых координат объекта...

Выходной вектор системы у(kT)разделим на два вектора: вектор измеряемых выходных координат уИ [kT], в который включим все m координат, измеряемых

где и — соответственно вектор и матрица, получающиеся при исключении строк. Решение системы запишем в виде.

Применение системы уравнений Юла — Уолкера для имитации...

изотропное СП, модель, случайная величина, коэффициент корреляции, система уравнений, заданная корреляционная функция, результат имитации, модель изображений, ковариационная функция...

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Описание нестационарных случайных процессов спомощью модели спеременными параметрами.

Параметры модели . Рис. 1. Сравнительная характеристика ковариационных функций. Таким образом, представлены выражения для поиска ковариационной функции...

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Матрицу поворота (матрица направляющих косинусов) из связанной системы координат OXYZ (OBJ) в нормальную систему

Вектор скорости в прямоугольной связанной с Землёй системе координат получаем путём пересчёта вектора скорости относительно Земли в связанной с...

Разработка математической модели управления посадкой...

, где - оценка вектора состояния на момент времени (k+1); - вектор предсказанных оценок на момент времени (k+1) по данным на шаге k

Для инициации работы алгоритма необходимо задать начальные значения матрицы ковариации ошибок оценивания , начальный вектор...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Матрицу, элементы которой подчиняются такому принципу будем называть матрицей комбинаторного типа.

В случае совместности данной системы, можно говорить о существовании гиперплоскости с заданными свойствами.

Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся...

В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена

Априорная корреляционная матрица ошибок оценивания является диагональной. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и...

Оценка точности определения координат акустически активного...

Зададим матрицу координат УЗ датчиков: (4). Для оценки точности определения координат акустически активного объекта разностно-дальномерным методом измерения воспользуемся оценкой погрешности косвенных измерений координат по заданной погрешности прямых...

Распознавания для вариантных и инвариантных образов

В статье рассматриваются вопросы распознавания для вариантных и инвариантных образов. А также такие вопросы как, выделение признаков с помощью моментов, приложение инвариантных моментов, логарифмически-полярные преобразования и дискретное преобразование Фурье.

Похожие статьи

Алгоритм определения неизмеряемых координат объекта...

Выходной вектор системы у(kT)разделим на два вектора: вектор измеряемых выходных координат уИ [kT], в который включим все m координат, измеряемых

где и — соответственно вектор и матрица, получающиеся при исключении строк. Решение системы запишем в виде.

Применение системы уравнений Юла — Уолкера для имитации...

изотропное СП, модель, случайная величина, коэффициент корреляции, система уравнений, заданная корреляционная функция, результат имитации, модель изображений, ковариационная функция...

Описание нестационарных случайных процессов с помощью...

Описание нестационарных случайных процессов спомощью модели спеременными параметрами.

Параметры модели . Рис. 1. Сравнительная характеристика ковариационных функций. Таким образом, представлены выражения для поиска ковариационной функции...

Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...

Матрицу поворота (матрица направляющих косинусов) из связанной системы координат OXYZ (OBJ) в нормальную систему

Вектор скорости в прямоугольной связанной с Землёй системе координат получаем путём пересчёта вектора скорости относительно Земли в связанной с...

Разработка математической модели управления посадкой...

, где - оценка вектора состояния на момент времени (k+1); - вектор предсказанных оценок на момент времени (k+1) по данным на шаге k

Для инициации работы алгоритма необходимо задать начальные значения матрицы ковариации ошибок оценивания , начальный вектор...

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Матрицу, элементы которой подчиняются такому принципу будем называть матрицей комбинаторного типа.

В случае совместности данной системы, можно говорить о существовании гиперплоскости с заданными свойствами.

Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся...

В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена

Априорная корреляционная матрица ошибок оценивания является диагональной. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и...

Оценка точности определения координат акустически активного...

Зададим матрицу координат УЗ датчиков: (4). Для оценки точности определения координат акустически активного объекта разностно-дальномерным методом измерения воспользуемся оценкой погрешности косвенных измерений координат по заданной погрешности прямых...

Распознавания для вариантных и инвариантных образов

В статье рассматриваются вопросы распознавания для вариантных и инвариантных образов. А также такие вопросы как, выделение признаков с помощью моментов, приложение инвариантных моментов, логарифмически-полярные преобразования и дискретное преобразование Фурье.