Вероятностная оценка ковариационной матрицы для фильтра Кальмана при полярных системах координат
Авторы: Дарбинян Арман Араикович, Акопян Александр Рубенович
Рубрика: 1. Математика
Опубликовано в
XII международная научная конференция «Исследования молодых ученых» (Казань, июль 2020)
Дата публикации: 02.07.2020
Статья просмотрена: 112 раз
Библиографическое описание:
Дарбинян, А. А. Вероятностная оценка ковариационной матрицы для фильтра Кальмана при полярных системах координат / А. А. Дарбинян, А. Р. Акопян. — Текст : непосредственный // Исследования молодых ученых : материалы XII Междунар. науч. конф. (г. Казань, июль 2020 г.). — Казань : Молодой ученый, 2020. — С. 1-3. — URL: https://moluch.ru/conf/stud/archive/378/15976/ (дата обращения: 23.04.2024).
При измерении позиции объекта радаром возникает вопрос о точности измерения. Чтобы минимизировать ошибку измерения используется Фильтр Калмана. Для этого необходимо чтобы измерение было бы выполнено в Декартовых системах координат, но большинство радаров измеряют позицию в полярных или сферических системах координат, и возникает вопрос о линеаризации модели измерения. Ранее для этого была использована формула Тейлора. В этой же статье будет рассмотрен метод минимизации ошибки линеаризации.
Ключевые слова: фильтр, Калман, полярные, сферические, модификация.
1. Обозначения
— n-мерное вещественное векторное пространство
— Множество всех непрерывных функций на множестве [5]
и — Мат. Ожидание и дисперсия случайной величины [8]
— Ковариационна матрица случайного вектора [7]
— След квадратной матрицы [6]
— транспонированная матрицы [6]
— Единичная матрица [6]
Допустим имеем некоторый движущийся объект в с заданной моделью:
,(1)
где k-я позиция вектора состояния, - вещественная матрица называемая матрицей перехода, вещественная матрица и есть — мерный Гауссовский случайный вектор т. ч. и .
Допустим что некоторое устройство измеряет данный объект с заданной моделью:
,(2)
где измерение k-той позиции, есть матрица и есть -мерный Гауссовский случайный вектор т. ч. . и . Рассмотрим оценку вектора состояния на основе измерений
(3)
Где и вещественная матрица.
Теорема 1 (см [1] или [2]) Если взять матрицу равной
Где определяется рекурсивно
Тогда о есть оценка (3) будет оптимальной.
Как можно заметить ковариационная матрица (т. е. ) играет роль в формуле матрицы . Рассмотрим двумерную модель движения [4]: Пусть Т-время между измерениями. Рассмотрим модел состояния в виде
,где . ,где .
. .
. .
Также модел измерения в виде
, где и . где и .
.
Также Обозначим
Как можно заметить — модель движения объекта является моделью линейно движущегося объекта со случайным ускорением, но измерение выполняется в полярных систем координат. Проблема заключается в линеаризации и нахождении ковариационной матрицы. Применив формулу Тейлора и отбросив остаточный член получилась следующая оценка ковариационной матрицы [4]
где .(4)
2. Приближение в полярных системах координат
Рассмотрим множество функций
Данное пространство является векторным [6]. Также определим скалярное произведение.
.
Найдем линейные оценку для в виде
(5)
Так чтобы
Рассмотрим пространство — множество всех многочленов со степенью не выше чем [3]. есть подпространство , Таким образом наша задача эквивалентна задаче о нахождении и т.ч.
Так как есть базиз в и пространство есть Гильбертово пространство [6, 3], мы можем применить метод неопределенных коэффицентов
(6)
Решив уравнение, имеем
= (7)
Векторы образуют базис в . Кроме того
Следовательно система векторов образует базис в [6], следовательно
(8)
(8)
Можем заметить что уравнения (8) и (6) одинаковы, следовательно
Повторив тот же процесс для y имеем
Таким образом мы доказали теорему.
Теорема 2 Оценки и
Будут иметь наименьшие значения для и среди линейных оценок.
Представив в матричном виде
(2.6)
нетрудно заметить, что оценка (1.4) является частным случаем формулы (2.6) когда значение близка к нулю.
3. Практическое наблюдение при полярных координатах
Ковариационные матрицы (1.4) и (2.6) были использованы при алгоритме фильтрации Kальмана на симуляции при различных значениях .
Далее можете видеть результат данной компьютерной симуляции, где
= при использовании ковариационной матрицы (1.4), а — при использовании (2.6)․ Если - то ковариационная матрица эффективенее.
Как видно из полученных результатов, новая ковариационная матрица в большинстве случаев лучше прежней.
Литература:
- Kalman, R.E. (1960). «A new approach to linear filtering and prediction problems». Journal of Basic Engineering. 82 (1): 35–45. doi:10.1115/1.3662552. Archived from the original (PDF) on 2008–05–29. Retrieved 2008–05–03.
- Kalman, R.E.; Bucy, R.S. (1961). «New Results in Linear Filtering and Prediction Theory»
- Hakobyan Y. R. Basics of Numerical Analysis (2005)
- Ramachandra K. V. (2000) «Kalman Filtering Techniques for Radar Tracking» 1st Edition
- Дарбинян А. А., Акопян А. Р. (2019) “Модификация фильтра Калмана для полярных и сферических систем координат” Вестник РАУ
Похожие статьи
Алгоритм определения неизмеряемых координат объекта...
Выходной вектор системы у(kT)разделим на два вектора: вектор измеряемых выходных координат уИ [kT], в который включим все m координат, измеряемых
где и — соответственно вектор и матрица, получающиеся при исключении строк. Решение системы запишем в виде.
Применение системы уравнений Юла — Уолкера для имитации...
изотропное СП, модель, случайная величина, коэффициент корреляции, система уравнений, заданная корреляционная функция, результат имитации, модель изображений, ковариационная функция...
Описание нестационарных случайных процессов с помощью...
Описание нестационарных случайных процессов спомощью модели спеременными параметрами.
Параметры модели . Рис. 1. Сравнительная характеристика ковариационных функций. Таким образом, представлены выражения для поиска ковариационной функции...
Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...
Матрицу поворота (матрица направляющих косинусов) из связанной системы координат OXYZ (OBJ) в нормальную систему
Вектор скорости в прямоугольной связанной с Землёй системе координат получаем путём пересчёта вектора скорости относительно Земли в связанной с...
Разработка математической модели управления посадкой...
, где - оценка вектора состояния на момент времени (k+1); - вектор предсказанных оценок на момент времени (k+1) по данным на шаге k
Для инициации работы алгоритма необходимо задать начальные значения матрицы ковариации ошибок оценивания , начальный вектор...
Использование матриц комбинаторного типа для построения...
Матрицу, элементы которой подчиняются такому принципу будем называть матрицей комбинаторного типа.
В случае совместности данной системы, можно говорить о существовании гиперплоскости с заданными свойствами.
Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся...
В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена
Априорная корреляционная матрица ошибок оценивания является диагональной. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и...
Оценка точности определения координат акустически активного...
Зададим матрицу координат УЗ датчиков: (4). Для оценки точности определения координат акустически активного объекта разностно-дальномерным методом измерения воспользуемся оценкой погрешности косвенных измерений координат по заданной погрешности прямых...
Распознавания для вариантных и инвариантных образов
В статье рассматриваются вопросы распознавания для вариантных и инвариантных образов. А также такие вопросы как, выделение признаков с помощью моментов, приложение инвариантных моментов, логарифмически-полярные преобразования и дискретное преобразование Фурье.
Похожие статьи
Алгоритм определения неизмеряемых координат объекта...
Выходной вектор системы у(kT)разделим на два вектора: вектор измеряемых выходных координат уИ [kT], в который включим все m координат, измеряемых
где и — соответственно вектор и матрица, получающиеся при исключении строк. Решение системы запишем в виде.
Применение системы уравнений Юла — Уолкера для имитации...
изотропное СП, модель, случайная величина, коэффициент корреляции, система уравнений, заданная корреляционная функция, результат имитации, модель изображений, ковариационная функция...
Описание нестационарных случайных процессов с помощью...
Описание нестационарных случайных процессов спомощью модели спеременными параметрами.
Параметры модели . Рис. 1. Сравнительная характеристика ковариационных функций. Таким образом, представлены выражения для поиска ковариационной функции...
Расчет параметров при оценке характеристик комплексированной...
Матрицу поворота (матрица направляющих косинусов) из связанной системы координат OXYZ (OBJ) в нормальную систему
Вектор скорости в прямоугольной связанной с Землёй системе координат получаем путём пересчёта вектора скорости относительно Земли в связанной с...
Разработка математической модели управления посадкой...
, где - оценка вектора состояния на момент времени (k+1); - вектор предсказанных оценок на момент времени (k+1) по данным на шаге k
Для инициации работы алгоритма необходимо задать начальные значения матрицы ковариации ошибок оценивания , начальный вектор...
Использование матриц комбинаторного типа для построения...
Матрицу, элементы которой подчиняются такому принципу будем называть матрицей комбинаторного типа.
В случае совместности данной системы, можно говорить о существовании гиперплоскости с заданными свойствами.
Регулярные алгоритмы синтеза приспосабливающихся...
В этой модели вектор измерения является одномерным, т.е. скалярной величиной, а сама последовательность измерений ограничена
Априорная корреляционная матрица ошибок оценивания является диагональной. Сейдж Э. Теория оценивания и ее применение в связи и...
Оценка точности определения координат акустически активного...
Зададим матрицу координат УЗ датчиков: (4). Для оценки точности определения координат акустически активного объекта разностно-дальномерным методом измерения воспользуемся оценкой погрешности косвенных измерений координат по заданной погрешности прямых...
Распознавания для вариантных и инвариантных образов
В статье рассматриваются вопросы распознавания для вариантных и инвариантных образов. А также такие вопросы как, выделение признаков с помощью моментов, приложение инвариантных моментов, логарифмически-полярные преобразования и дискретное преобразование Фурье.