Статистическое моделирование на ЭВМ дискретных случайных величин средствами языка программирования R | Статья в сборнике международной научной конференции

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 10 октября, печатный экземпляр отправим 14 октября.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: 4. Информатика

Опубликовано в

XI международная научная конференция «Исследования молодых ученых» (Казань, июнь 2020)

Дата публикации: 01.06.2020

Статья просмотрена: 3 раза

Библиографическое описание:

Дмитриев, И. А. Статистическое моделирование на ЭВМ дискретных случайных величин средствами языка программирования R / И. А. Дмитриев. — Текст : непосредственный // Исследования молодых ученых : материалы XI Междунар. науч. конф. (г. Казань, июнь 2020 г.). — Казань : Молодой ученый, 2020. — С. 5-8. — URL: https://moluch.ru/conf/stud/archive/374/15897/ (дата обращения: 29.09.2020).



В статье рассматривается моделирование случайных величин, вычисление параметров случайных величин по выборке и изучение свойства состоятельности выборочных оценок средствами языка программирования «R».

Ключевые слова: моделирование, случайная величина, язык R.

Пользуясь средствами языка программирования «R«, рассмотрим процесс реализации на ЭВМ и исследования на точность алгоритма моделирования случайной величины, распределенной по геометрическому закону G(p):

(1)

где — заданный параметр распределения.

Дискретная случайная величина (ДСВ) ξ с геометрическим законом распределения есть число испытаний Бернулли до первого успеха (включая первый успех), если вероятность успеха в каждом испытании равна р [1, с. 22].

Метод моделирования ДСВ ξ с законом распределения G(p) основан на следующей теореме [2, c. 55]:

Теорема. Если R — биномиальная случайная величина (БСВ), то случайная величина

(2)

где [z] — целая часть z, имеет распределение (1).

Реализуем на языке программирования «R» моделирование n независимых случайных чисел, имеющих геометрическое распределение:

> n = 100; # количество независимых случайных чисел

> p = 0.5; # заданный параметр распределения

> eta = с( ); # вектор независимых случайных чисел

> geo = function(n, p) # функция для моделирования случайной величины

+ { R = runif(n);

+ for (i in 1:n) { eta[i] <- floor( log( R[i] ) / log( 1 - p ) ); }

+ return (eta);}

> ksi = geo(n,p); # моделирование случайной величины

Построим полигон относительных частот и полигон распределения

вероятностей при различных объемах выборок (n = 100, n = 1000, n = 10000). Для решения данной задачи используем следующий программный код:

> n1= table(ksi); # распределение частот случайных величин

> otn = n1/n; # распределение относительных частот

> plot(otn, "b", pch=19, col="red", xlab="Случайная величина",ylab="Относительная частота", lty=1); # графическое отображение

> x <- (min(ksi):max(ksi)); # вектор независимых случайных чисел

> y <- dgeom(x,p); # вектор теоретической плотности распределения

> lines(x,y,"b", pch=19,col="blue", lty=2);

Графические результаты приведены на рис. 1–3. На их основании можно утверждать, что с увеличением объёма выборки график полигона относительных частот стремится к полигону распределения вероятностей.

Аналогично с увеличением объема выборки, график эмпирической функции распределения также стремится к теоретической функции распределения. Графический результат для объёма выборки n = 10000 приведён на рис. 4.

Рис. 1. Графики полигона относительных частот и теоретического полигона распределения вероятностей, n=100

Рис. 2. Графики полигона относительных частот и теоретического полигона распределения вероятностей, n=1000

Рис. 3. Графики полигона относительных частот и теоретического полигона распределения вероятностей, n=10000

Рис. 4. Графики теоретической и эмпирической функции распределения, n=15000

Для построения графиков эмпирической и теоретической функций распределения используем следующий программный код:

> y1 <- pgeom(x,p); # вектор теоретической функции распределения

> plot(x, y1, col="black", xlab="Случайная величина", ylab="Функция распределения"); # графическое отображение

> for(i in (min(ksi):max(ksi)))

+ { y <- pgeom(i,p); lines(c(i,i+1),c(y,y),"l")}

> k <- 0; for (i in (min(ksi):max(ksi)))

+{x11<-c(i:(i+1)); k<-k+otn[i+1]; y11<-c(k,k); lines(x11,y11,col="blue");}

Будем использовать следующий программный код для вычисления теоретических и выборочных математического ожидания и дисперсии:

> vmo = mean(ksi); # выборочное мат. ожидание

> mteor = (1-p)/p; # теоретическое мат. ожидание

> vd = var(ksi); # выборочная дисперсия

> dteor = (1 - p) / ( p*p ); # теоретическая дисперсия

Чтобы убедиться в состоятельности выборочной оценки математического ожидания, реализуем средствами языка программирования «R» решение следующих задач: построить график стремления выборочной оценки параметра распределения к параметру распределения по вероятности с увеличением объема выборки n; построить линию параметра; построить доверительные границы, используя неравенство Чебышева. Реализацию решения выполняет следующий программный код:

> mx<-c(); for (j in (1:n)) { mx[j]=mean(rgeom(j,p)); }

> plot((1:n), mx, 'l', xlab='n', ylab='выборочное среднее');

> a1=c(1,n);b1=c(mteor, mteor); lines(a1,b1, col='red');

>pu=mteor+sqrt((1-p)/((1:n)*(p*p)*(1-0.95))); lines((1:n), pu, col='green');

>pu=mteor-sqrt((1-p)/((1:n)*(p*p)*(1-0.95))); lines((1:n), pu, col='green');

Графический результат для объёма выборки n = 15000 приведён на рис. 5. На его основании можно утверждать, что с увеличением объёма выборки выборочная оценка математического ожидания стремится по вероятности к теоретическому математическому ожиданию распределения.

Для реализации решения задачи статистического моделирования на ЭВМ дискретных случайных величин средствами языка программирования «R» на примере геометрического распределения были использованы следующие встроенные функции языка:

runif(n) — моделирование n равномерно распределенных случайных величин от 0 до 1;

floor(x) — служит для возврата целой части числа x;

log(x) — вычисление натурального логарифма числа x;

sqrt(x) — вычисление квадратного корня числа x;

mean(x) — вычисление математического ожидания вектора х;

var(x) — вычисление дисперсии вектора x;

dgeom(x,p) — вычисление теоретической плотности распределения;

pgeom(x,p) — вычисление теоретической функции распределения;

rgeom(n,p) — моделирование n независимых случайных величин, распределенных по геометрическому закону.

Рис. 5. График сходимости выборочной оценки к параметру распределения, n=15000.

Литература:

  1. Лобач В. И. Имитационное и статистическое моделирование: Практикум для студентов мат. и экон. спец. / В. И. Лобач, В. П. Кирлица, В. И. Малюгин, С. Н. Сталевская. — Минск: БГУ, 2004. — 189 с.
  2. Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. — Минск: Университетское, 1987. — 304 с.
  3. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. — М.: Статистика, 1980. — 95 с.
Основные термины (генерируются автоматически): Случайная величина, выборочная оценка, график полигона, программный код, теоретический полигон распределения вероятностей, язык программирования, графический результат, графическое отображение, математическое ожидание, теоретическая функция распределения.

Похожие статьи

Статистическое моделирование на ЭВМ непрерывных случайных...

Графический результат для объёма выборки n = 2000 приведён на рис. 5. На его основании можно утверждать, что с увеличением объёма выборки выборочная оценка математического ожидания стремится по вероятности к теоретическому математическому ожиданию...

Шаблон Excel для проверки законов распределения данных...

В статье рассматривается процедура создания шаблона Excel и опыт его применения для автоматического построения гистограмм и кривых Гаусса по результатам данных экспериментальных наблюдений с одновременной оценкой согласия по критерию Пирсона в...

Вычисление статистических показателей с использованием...

При проведении экспериментов или опытов получаются случайные величины, появление которых предсказать невозможно, и они чаще всего подчиняются нормальному закону распределения (закону Гаусса).

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Приведено математическое описание случайной величины — длительности раскроя сырья на лесообрабатывающем станке. Значения случайной величины могут быть получены в результате статистических наблюдений в производственных условиях или на имитационных...

Оценка параметров распределения амплитуд в управляющих...

; . Здесь «теоретический» закон распределения случайной амплитуды будет иметь вид. , а теоретические вероятности попадания

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина. На этом важном факте следует...

Особенности анализа характеристик видеотрафика в системе АМС

В большинстве случаев, поток характеризуется функцией распределения временных интервалов между соседними заявками.

Интерфейс основного окна программы состоит из трех блоков: панель с потоками, график и панель настройки отображение графика.

Математическое моделирование композитов по...

Если наиболее вероятным значением искомой величины A принять , то законом распределения случайных ошибок будет нормальный закон Гаусса с плотностью вероятностей. , где m — математическое ожидание

Технологии WolframAlpha в системе подготовки бакалавра...

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина. На этом важном факте следует акцентировать внимание студентов и только после этого переходить к построению соответствующего вычислительного процесса.

Методы математической статистики в технических исследованиях

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому, используется

В случае нормального распределения вероятность того, что случайная величина примет

- X7- отношение математического ожидания цензурированных случайных величин к...

Определение значимости угроз в модели угроз безопасности при...

Плотность распределения этой случайной величины имеет вид дельта-функции

График обратной функции распределения для модели с «жесткой» оценкой имеет вид

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина.

Похожие статьи

Статистическое моделирование на ЭВМ непрерывных случайных...

Графический результат для объёма выборки n = 2000 приведён на рис. 5. На его основании можно утверждать, что с увеличением объёма выборки выборочная оценка математического ожидания стремится по вероятности к теоретическому математическому ожиданию...

Шаблон Excel для проверки законов распределения данных...

В статье рассматривается процедура создания шаблона Excel и опыт его применения для автоматического построения гистограмм и кривых Гаусса по результатам данных экспериментальных наблюдений с одновременной оценкой согласия по критерию Пирсона в...

Вычисление статистических показателей с использованием...

При проведении экспериментов или опытов получаются случайные величины, появление которых предсказать невозможно, и они чаще всего подчиняются нормальному закону распределения (закону Гаусса).

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Приведено математическое описание случайной величины — длительности раскроя сырья на лесообрабатывающем станке. Значения случайной величины могут быть получены в результате статистических наблюдений в производственных условиях или на имитационных...

Оценка параметров распределения амплитуд в управляющих...

; . Здесь «теоретический» закон распределения случайной амплитуды будет иметь вид. , а теоретические вероятности попадания

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина. На этом важном факте следует...

Особенности анализа характеристик видеотрафика в системе АМС

В большинстве случаев, поток характеризуется функцией распределения временных интервалов между соседними заявками.

Интерфейс основного окна программы состоит из трех блоков: панель с потоками, график и панель настройки отображение графика.

Математическое моделирование композитов по...

Если наиболее вероятным значением искомой величины A принять , то законом распределения случайных ошибок будет нормальный закон Гаусса с плотностью вероятностей. , где m — математическое ожидание

Технологии WolframAlpha в системе подготовки бакалавра...

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина. На этом важном факте следует акцентировать внимание студентов и только после этого переходить к построению соответствующего вычислительного процесса.

Методы математической статистики в технических исследованиях

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому, используется

В случае нормального распределения вероятность того, что случайная величина примет

- X7- отношение математического ожидания цензурированных случайных величин к...

Определение значимости угроз в модели угроз безопасности при...

Плотность распределения этой случайной величины имеет вид дельта-функции

График обратной функции распределения для модели с «жесткой» оценкой имеет вид

Величина вероятности зависит от того, какое распределение вероятностей имеет случайная величина.