Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (трисекция угла) | Статья в сборнике международной научной конференции

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 17 августа, печатный экземпляр отправим 21 августа.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Научный руководитель:

Рубрика: 1. Математика

Опубликовано в

VI международная научная конференция «Исследования молодых ученых» (Казань, январь 2020)

Дата публикации: 15.12.2019

Статья просмотрена: 11 раз

Библиографическое описание:

Кодзоева А. А. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (трисекция угла) [Текст] // Исследования молодых ученых: материалы VI Междунар. науч. конф. (г. Казань, январь 2020 г.). — Казань: Молодой ученый, 2020. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/conf/stud/archive/357/15510/ (дата обращения: 30.01.2020).



Рассматриваются примеры трисекции угла. Объясняется как решать задачи о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки.

Ключевые слова: угол, циркуль, линейка, трисекция угла.

Задача о трисекции угла наряду с еще двумя известными задачами на построение: удвоением куба и квадратурой угла, пришла ещё с Древней Греции. В течении нескольких тысячелетий эти три задачи привлекали внимание многих математиков, уже тогда они понимали, что решить их используя исключительно циркуль и линейку невозможно, и доказали это значительно позднее. По сравнению с двумя другими задачами, задача о трисекции угла является менее известной. Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника — интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол

,т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Теперь же рассмотрим методы решения данной задачи.

Методы решения

Прежде чем рассмотреть все методы решения, выясним как возникла эта проблема естественным образом. Возможно, задача впервые появилась, при изучении того, как делить угол пополам с помощью циркуля и линейки.

Для этого достаточно построить ромб, и провести диагональ , которая поделит пополам .

Метод первый (метод, который был известен Гиппократу)

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла CAB проведем прямую CDперпендикулярно прямой AB, пересекающую ее в точке https://pandia.ru/text/78/024/images/image006_22.gif. Построим прямоугольник CDAF. Продлим FC до точки https://pandia.ru/text/78/024/images/image005_24.gif, и пусть AE пересекает CD в точке https://pandia.ru/text/78/024/images/image021_6.gif. Если точка https://pandia.ru/text/78/024/images/image005_24.gif выбрана так, что HE=2AC, то угол EAB составляет 1/3 угла CAB.

Чтобы убедиться в этом, обозначим через https://pandia.ru/text/78/024/images/image025_5.gif середину HE, так что HG=GE=AC. Так как угол ECH прямой, то CG=HG=GE. Кроме того, \angle EAB=\angle CEA=\angle ECG. Поскольку AC=CG, \angle CAG=\angle CGA. Но \angle CGA= \angle GEC + \angle ECG =2\angle CEG=2\angle EAB, что, собственно, нам и требовалось.

Метод второй (решение при помощи спирали Архимеда)

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки L которая равномерно движется вдоль луча OA с началом в O, в то время как сам луч OA равномерно вращается вокруг O.

Эта кривая получается следующим образом. Пусть луч ОА равномерно вращается вокруг точки О, а точка L равномерно движется по этому лучу, причем в начальном положении она находится в точке О. Тогда точка L движется по спирали Архимеда. Пусть угол АОВ нужно разделить в заданном отношении. Рассмотрим часть спирали Архимеда, полученную при вращении луча от начального положения ОА до положения ОВ. Пусть Р—точка, которая делит OL в отношении 1:2, где L — точка пересечения луча ОВ и спирали, Q — точка пересечения спирали и окружности радиуса ОР с центром О. Из определения спирали следует, что LOQ: QOA = LP:QO = LP: PO= 1:2, т. е. OQ —искомый луч и LOQ=BOA/3.

Метод третий (решение сиспользованием гиперболы)

В своей работе под названием “Математическое собрание” Папп приводит два решения нашей проблемы, и обе они включают в себя рисование гиперболы.

Первый показывает, что если прямая AB фиксирована, то геометрическое место точек https://pandia.ru/text/78/024/images/image045_3.gif таких, что 2\angle PAB=\angle PBA является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус https://pandia.ru/text/78/024/images/image047_3.gif и директрису, которая является серединным перпендикуляром AB. Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла AOB. Проведем окружность с центром в точке https://pandia.ru/text/78/024/images/image049_3.gif через точки https://pandia.ru/text/78/024/images/image003_33.gif и https://pandia.ru/text/78/024/images/image047_3.gif. Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом https://pandia.ru/text/78/024/images/image047_3.gif и директрисой — серединным перпендикуляром к AB. Пусть она пересечет окружность в точке https://pandia.ru/text/78/024/images/image045_3.gif. Тогда PO отделяет треть угла AOB.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, 2\angle PAB=\angle PBA. Но 2\angle PAB=\angle POB, и 2\angle PBA=\angle POA (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому 2\angle POB=\angle POA, что и требовалось.

Гаусс заявил, что проблемы удвоения куба и трисекции угла не могут быть решены с помощью циркуля и линейки, но он не привел никаких доказательств этому. В своей работе 1837 года Ванцель первым доказал эти результаты. Позднее Чарльз Штурм улучшил эти доказательства, но он не опубликовал их.

Заключение

После написания этой статьи, я узнала много нового и интересного о знаменитых классических задачах древности, познакомилась с историей возникновения данных задач, методами их решения.

неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.

Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделала следующие выводы:

– возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

– подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий;

– неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам:

Изучив весь этот материал, я поняла, что все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Но, несмотря на это, интерес к этим классическим задачам не пропадает и сегодня. Многие современные математики пытаются их решить и по сей день.

Литература:

  1. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. — 80 с. (Популярные лекции по математике; Вып. 62).
  2. История математики с древнейших времён до начала ХIХ столетия. В трёх томах. Том I. Под редакцией А. П. Юшкевича.– М.: Наука. — 353 с.
  3. В. Прасолов. Три классические задачи на построение. Москва «Наука», 1992.
  4. П. Савин. Математика. Энциклопедия для детей. Москва «Аванта +», 1998.
Основные термины (генерируются автоматически): задача, трисекция угла, LOQ, помощь циркуля, метод решения, линейка, угол, начальное положение, правильный девятиугольник, правильный семиугольник.

Ключевые слова

угол, циркуль, линейка, трисекция угла

Похожие статьи

Об одном практическом способе построения трисекции угла...

Несмотря на то что, построения трисекции угла при помощи линейки и циркуля является древнейшей задачей геометрии, еще она не потеряла своей актуальности для энтузиастов науки.

Технология «интерактивный гексагон», или Шестиугольное...

Применение интерактивных методов на практике способствует возникновению и дальнейшему развитию всё новых способов организации учебной деятельности, а технология шестиугольного обучения способствует этому в полной мере.

Применение различных способов решения геометрических задач...

Из свойства биссектрисы угла треугольника найдем

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор

Выяснение того, кто каким методом решил и чей способ решения наиболее оптимален, может вызвать большой интерес учеников.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Поэтапно-вычислительный метод решения задачи. Данный способ заключается в

Для решения данной задачи этим способ необходимо найти координаты середины SM и

Из измерительных инструментов у него есть только линейка, но зато он может взять несколько...

Замечательные точки | Статья в журнале «Юный ученый»

Об одном практическом способе построения трисекции угла... Пусть дан некоторий угол α. На основани выше преведенного свойства угла

Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С. Убедиться в правильности решения можно измерив данный и искомый угол с помощью...

Методическая разработка интегрированного урока. Тема урока...

С помощью рук постройте (покажите) прямой угол, острый угол, тупой угол. Учитель литературы: Ребята, как вы думаете, что я делаю

Несмотря на то что, построения трисекции угла при помощи линейки и циркуля является древнейшей задачей геометрии, еще она не...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Рис. 1. Углы. Так же с помощью данной программы можно реализовать и визуализировать задачи на построение с помощью циркуля и

Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

Метод разложения Адомиана и метод вариационных итераций...

Решения задач Коши строились с помощью метода разложения Адомиана и метода вариационных итераций.

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение...

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...

Похожие статьи

Об одном практическом способе построения трисекции угла...

Несмотря на то что, построения трисекции угла при помощи линейки и циркуля является древнейшей задачей геометрии, еще она не потеряла своей актуальности для энтузиастов науки.

Технология «интерактивный гексагон», или Шестиугольное...

Применение интерактивных методов на практике способствует возникновению и дальнейшему развитию всё новых способов организации учебной деятельности, а технология шестиугольного обучения способствует этому в полной мере.

Применение различных способов решения геометрических задач...

Из свойства биссектрисы угла треугольника найдем

Теперь, как и в предыдущих способах стороны можно найти с помощью теоремы Пифагор

Выяснение того, кто каким методом решил и чей способ решения наиболее оптимален, может вызвать большой интерес учеников.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Поэтапно-вычислительный метод решения задачи. Данный способ заключается в

Для решения данной задачи этим способ необходимо найти координаты середины SM и

Из измерительных инструментов у него есть только линейка, но зато он может взять несколько...

Замечательные точки | Статья в журнале «Юный ученый»

Об одном практическом способе построения трисекции угла... Пусть дан некоторий угол α. На основани выше преведенного свойства угла

Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С. Убедиться в правильности решения можно измерив данный и искомый угол с помощью...

Методическая разработка интегрированного урока. Тема урока...

С помощью рук постройте (покажите) прямой угол, острый угол, тупой угол. Учитель литературы: Ребята, как вы думаете, что я делаю

Несмотря на то что, построения трисекции угла при помощи линейки и циркуля является древнейшей задачей геометрии, еще она не...

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках...

Рис. 1. Углы. Так же с помощью данной программы можно реализовать и визуализировать задачи на построение с помощью циркуля и

Провести окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

Метод разложения Адомиана и метод вариационных итераций...

Решения задач Коши строились с помощью метода разложения Адомиана и метода вариационных итераций.

Решения нелинейных волновых уравнений методом... краевая задача, начальное приближение, итерационная формула, точное решение, уравнение...

Решение задач с применением метода геометрических...

Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач...