Использование анализа размерностей в разделе «Молекулярно-кинетическая теория. Законы идеального газа»

В работах [1-2] были представлены примеры использования анализа размерностей (далее АР) в геометрии и механике на уровне, доступном ученикам средней школы. Предлагаемую работу можно рассматривать как продолжение указанных работ. Здесь представлен пример использования АР в разделе «Молекулярно-кинетическая теория. Законы идеального газа».

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Задача №МКТ1. Найти формулу давления идеального газа в сосуде (формулу основного уравнения молекулярно-кинетической теории).

Механической моделью идеального газа в рамках молекулярно-кинетической теории (далее МКТ) может служить замкнутое в сосуде ограниченное множество абсолютно упругих одинаковых точечных физических объектов (молекул).

Сосуд – это абсолютно упругая оболочка.

Сосуд может иметь дополнительные свойства, отраженные в условиях конкретной задачи.

Исходя из этой модели, давление на стенки сосуда есть следствие абсолютно упругого взаимодействия молекул газа со стенками сосуда. Следовательно, можно попытаться составить перечень физических параметров, от которых может зависеть давление.

1. Давление газа (p) может зависеть от концентрации (n) молекул – числа молекул в единице объема.

Логично предположить, что давление газа тем больше, чем больше молекул в сосуде заданного объема.

2. Естественным было бы и предположение о зависимости давления газа от массы молекулы (m₁).

Было бы логичным предположить, что чем больше масса молекул, тем больше будет давление при прочих постоянных величинах.

3. Предположим, что давление газа зависит от осредненной скорости (v) молекул газа.

Логично предположить, что при увеличении скоростей молекул газа давление газа будет возрастать при равных прочих величинах.

Указанные соображения (предположения) носят качественный характер. Они основаны на логике и интуиции исследователя (в данном случае ученика). Тем не менее, они позволяют поставить задачу в обобщенной форме: найти функциональную зависимость давления газа от концентрации молекул, их массы и скорости:

p = f (n, m₁, v). (1)

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для того, чтобы выявить функциональную зависимость (1), воспользуемся известным алгоритмом анализа размерностей (далее АР), представленным в работах [2-4].

За определяемый физический параметр примем давление газа. Тогда определяющими физическими параметрами будут служить: концентрация молекул, их масса и осредненная скорость.

Искомую функциональную зависимость будем искать в виде степенного одночлена:

p = K n^x m₁^y v^z, (ИФ2)

К = Сonst,

[К] = 1. (3)

Здесь и далее ИФ – итоговая формула.

За базисную систему размерностей примем систему LTM.

L – размерность длины, T– размерность времени, M – размерность массы, К – безразмерная постоянная величина.

Формулы размерностей концентрации, массы и скорости в системе LTM имеют вид:

[p] = L^-1 T^-2M; [n] = L^-3; [m₁] = M; [v] = L T^-1. (4)

Используя (2) и (3), составим уравнение размерностей:

L^-1T^-2M = L^-3х M^у L^zT^-z. (5)

После упрощения уравнение размерностей (5) примет вид

L^-1T^-2M= L^-3х+zT^-zM^у. (6)

Приравнивание показателей степеней при одинаковых основаниях обеих частей уравнения размерностей (6) дает систему линейных уравнений

-3х+z = -1

у = 1 (7)

-z = -2.

Решение системы (7) есть решение уравнения размерностей (6). Решая систему (7), получим:

х = у = 1, z = 2. (8)

Подставляя (8) в (ИФ2), получим итоговую формулу

р = K n m₁ v². (ИФ9)

Мы получили с точностью до постоянного безразмерного множителя (К) выражение (ИФ9), называемое основным уравнением МКТ.

Эксперимент и решение задачи иными методами дают для одноатомного газа следующее значение К:

К = (ИФ10)

1. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Давление газа, используя (ИФ9), можно выразить и так:

р = Kρv² (ИФ11)

ρ = nm₁= m / V, (12)

m = nm₁V = N m₁, (13)

где ρ – плотность газа, m – масса газа, V – объем газа (сосуда), N – число молекул газа.

Формулу (ИФ11) можно получить, если решать эту же задачу анализом размерностей, предполагая, что параметрами, определяющими давление, являются плотность газа (ρ) и осредненная скорость молекул (v).

Из (ИФ11) и (12) получим

p = Kmv² / V. (14)

Эту формулу можно записать иначе

p = K₁mv² / (2V), (15)

К₁ = 2K = , (16)

p = K₁Е/V= K₁U/V= K₁= K₁ (ИФ17)

где Е – суммарная кинетическая энергия молекул газа,

– объемная плотность суммарной кинетической энергии молекул газа, – объемная плотность внутренней энергии идеального газа, К₁ – безразмерная постоянная (равная для одноатомного газа).

Определение. Суммарная кинетическая энергия молекул газа (Е) называется внутренней энергией газа (U).

Е = U. (18)

Из (ИФ17) и (18) следует

pV = K₁Е = K₁U (ИФ19)

Из формулы (ИФ17) следует теорема 1, а из (ИФ19) – теорема 2.

Теорема 1. Давление идеального газа пропорционально объемной плотности суммарной кинетической энергии молекул газа (или объемной плотности внутренней энергии идеального газа).

Теорема 2. Произведение давления идеального газа на его объем пропорционально суммарной кинетической энергии молекул газа (или внутренней энергии идеального газа).

1. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ФОРМУЛЫ (ИФ19)

1. Если предположить, что суммарная кинетическая энергия (Е) молекул газа данной массы (m) величина постоянная, то формула (ИФ19) примет вид

pV = const₁. (ИФ20)

1. Если объем газа (V) данной массы газа (m) величина постоянная, то формула (ИФ19) примет вид

p/Е = const₂. (ИФ21)

1. Если давление газа (р) данной массы газа (m) величина постоянная, то формула (ИФ19) примет вид

V/Е = ( )^-1 = = const₃. (ИФ22)

В этом случае объемная плотность () суммарной кинетической энергии всех молекул газа есть величина постоянная.

Постоянные const₁ – const₃ имеют размерности левых частей формул.

Из трех термодинамических макроскопических параметров газа (объем, давление и температура), измеряемых простейшими приборами, в формулах (ИФ20-ИФ22) явным образом не содержится лишь температура.

Однако температура содержится в указанных формулах косвенно. Это можно установить, если поставить вопрос: «А не связана ли суммарная кинетическая энергия (Е) всех молекул газа с температурой газа?». На постановку этого вопроса указывает качественный анализ частных случаев формулы (ИФ19) – формул (ИФ20-22).

При этом следующие два предположения представляются вполне логичными.

Предположение П1. Предположим, что осредненная кинетическая энергия молекул газа (Е₁) есть функция абсолютной температуры (Т)

Е₁ = = = f (Т). (П1)

Предположение П2. Предположим, что эта функция – степенная и простейшая.

Т. е.

Е₁ = const₄ Т, (П2)

где const₄ – константа, имеющая размерность, удовлетворяющую требованиям АР.

Для того, чтобы формула (П2) удовлетворяла предельному случаю

Е₁ = 0 → Т = 0, (23)

необходимо, чтобы температура (Т) являлась «абсолютной температурой», измеряемой по шкале Кельвина.

Константа (const₄) определяется формулой Больцмана (для одноатомного газа):

Е₁= = k ·Т, (24)

где k – постоянная Больцмана (Дж/К – в системе SI).

Формула размерности постоянной Больцмана в системе размерностей LTMT^°.

[k] = L²T^-2M/T^°, где T^°-1 – размерность температуры, измеряемой в кельвинах.

Из (24) получим выражение для константы (const₄):

const₄ = k. (25)

Для двухатомного газа выражение для константы (const₄) таково:

const₄ = k. (26)

С учетом предположений П1 и П2 понятие «осредненной скорости» молекул обретает конкретный смысл: это средняя квадратичная скорость всех молекул.

v = (Σv_i² /N)^0.5, (27)

где i – текущий номер молекулы; суммирование производится по числу (N) всех молекул газа.

В этом случае замена скоростей молекул на среднеквадратичную скорость не приведет к изменению суммарной кинетической энергии всех молекул газа, т. е. кинетическая энергия рассматриваемой системы абсолютно упругих частиц не изменится.

Предположения П1 и П2 (и соответствующие им формулы П1 и П2) отражают физический смысл понятия «абсолютная температура»: абсолютная температура – это осредненная кинетическая энергия молекул газа.

Из формул (П1), (П2), (24), (25) следует формула внутренней энергии для одноатомного газа

Е = U = N Е₁ = N k Т. (28)

Заметим, что для двухатомного газа аналогичная формула такова

Е = U = N Е₁ = N k Т. (29)

Подставляя (28) в формулы (ИФ19-ИФ22), получим

p V / Т = const, (ИФ19.1)

p V = const, (ИФ20.1)

p / Т = const, (ИФ21.1)

V / Т = const, (ИФ22.1)

где const – константы, имеющие размерности левых частей формул.

Формулы (ИФ19.1 – ИФ22.1) есть выражение законов идеального газа с позиций МКТ.

Полученные формулы законов идеального газа представлены в таблице.

Д. И. Менделеев придал формуле (ИФ19.1) более содержательный вид, установив физический смысл константы правой части (см. формулу 19.2):

p V / Т = ν R = const (ИФ19.2)

ν = m / M, (30)

где ν – число молей газа, m – масса газа, М – молярная масса газа,

R – универсальная газовая постоянная.

Отметим, что все формулы, представленные в таблице, справедливы для любого идеального газа: одноатомного, двухатомного, трехатомного. Специфика газа, определяемая его химическим составом, в формуле (ИФ19.2) отражена его молярной массой (М).

Заметим, что формула (ИФ11) представляет собой частный случай уравнения Бернулли для идеальной жидкости, если положить К= . В этом случае буква (v) означает скорость молекул в поперечном сечении струи. При этом предполагается, что скорости всех молекул в поперечном сечении струи одинаковы. В этой формуле давление, обозначенное буквой p, в аэродинамике называется динамическим давлением.

Таким образом, АР позволяет выявлять аналогии между формулами различных разделов физики. Часто эти аналогии имеют глубокий физический смысл. При этом выявляется новый уровень обобщения. В таких случаях АРП служит звеном, укрепляющим связи между разделами физики.

Литература:

1. Неграш А. С., Мазейкина М.Ю. Использование анализа размерностей в геометрии /А.С. Неграш, М.Ю. Мазейкина// Педагогическое мастерство: материалы междунар. заоч. науч. конф. (г. Москва, апрель 2012 г.). – М.: Буки-Веди, 2012. – С.165-169.

2. Неграш А. С., Мазейкина М.Ю. Использование алгоритма анализа размерностей физических величин в школе / А.С. Неграш, М.Ю. Мазейкина// Молодой учёный. – 2012. – №6. – С. 411 – 417

3. Дешковский А., Койфман Ю. Метод размерностей в решении задач //ФПВ. – 2002. – № 2. – С. 71–81.

4. Неграш, А. С. Алгоритм решения задач физики анализом размерностей с использованием линейной алгебры / Неграш, А.С., Мазейкина М.Ю. // Бюллетень лаборатории математического, естественнонаучного образования и информатизации: Реценз. сб. науч. тр.–М.: Научная книга. – 2012. Том III. - С. 232-235.