Моделирование процесса нефтедобычи численными методами | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №16 (96) август-2 2015 г.

Дата публикации: 15.08.2015

Статья просмотрена: 132 раза

Библиографическое описание:

Григорян Л. А., Тимофеева Е. Ф. Моделирование процесса нефтедобычи численными методами // Молодой ученый. — 2015. — №16. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/96/21572/ (дата обращения: 22.08.2018).

В статье рассматриваются различные численные методы решения задачи непоршневого вытеснения нефти водой. Произведен анализ результатов расчетов для двумерной фильтрации.

Ключевые слова: двухфазнаяфильтрация, модель Баклея — Леверетта, модифицированный попеременно-треугольный метод.

 

Для рационального освоения нефтяных месторождений большое значение имеют знание современных гидродинамических методов получения информации и научных основ установления оптимального режима эксплуатации скважин. Создано множество методов и алгоритмов изучения процесса фильтрации, т. е. процесса протекания жидкостей в среде [1]. Статья посвящена исследованию различных численных методов решения задачи фильтрации и разработке достаточно точных и эффективных вычислительных алгоритмов.

Постановка задачи и разностная схема. Рассмотрим классическую модель двухфазной фильтрации Баклея-Леверетта [1], которая наиболее точно описывает задачу нефтедобычи с помощью дифференциальных уравнений гидродинамики [2]:

,                                                 (1)

,                                    (2)

водонасыщенность;  давление;

относительные фазовые проницаемости для нефти и воды соответственно; мощность пласта; пористость пласта; вязкость нефти и воды соответственно; проницаемость пласта;  функция Баклея―Леверетта

                                                       (3)

для  будем использовать полиномы второго порядка

,                                                         (4)

где  предельные значения водонасыщенности [2].

В области G с границей Г рассмотрим граничные условия. Если граница непроницаемая то  Если граница проницаемая, рассмотрим граничные условия 1 и 2 рода:

при совместном движении фаз , где  потоки нефти и воды, удовлетворяющие условиям:

 

При заданном отборе или давлении

Для суммарного потока, вытекающего через границу, граничное условие для насыщенности имеет вид

 где  водонасыщенность на границе области в данный момент времени.

- начальное условие.                                  (5)

Итак, для уравнений (1), (2) построена задача Коши (1)-(5).

Решение задачи (1)-(5) будем искать в прямоугольной области . В области построим равномерную пространственную сетку

неравномерную временную сетку

где величина временного шага, определяемая из условий устойчивости и пространственно-временную сетку .

Получим консервативную разностную схему интегро-интерполяционным методом [7,8,10].

                          (6)

где  — функция принимает значение 0, если узел сетки  расположен вне скважины, , в случае если узел расположен на скважине

,  (7)

где  — функция принимает значение 0, если узел сетки  расположен вне скважины, , в случае если узел расположен на нагнетательной скважине, то ,а в случае эксплуатационной скважины:

Символы определяются из условий [9]:

                                                  (8)

Коэффициенты уравнения (6) и (7) получим, используя интегро-интерполяционный метод:

                                      (9)

Численная реализация задачи. При численной реализации разностной задачи основной объем вычислительной работы приходится на решение системы (6). Если перейти к более подробным пространственным сеткам вычислительные затраты для нахождения давления растут и превышают 90 % для последовательных алгоритмов решения задачи. Применим усовершенствованный модифицированный попеременно-треугольный метод, имеющий высокую скорость сходимости в случае сильно неоднородных пластов и применения подробных пространственных сеток [3,5,6].

Представим систему (6) в стандартном виде:

                                                                               (10)

, ,                                                                                                 (11)

, ,  — граница прямоугольника ,  — равномерная сетка,  — множество граничных узлов сетки.

Коэффициентами уравнений (10) и (6) связаны равенством:

где

сетка ω — равномерная, покрывающая область G.

Сеточные функции в равенствах (6) и (10) задаются следующим образом

Рассмотрим смещенные сетки

Запишем сеточную задачу (11), в операторном виде [7]:

                                                                         (12)

 

Схема итерационного двухслойного модифицированного попеременно-треугольного метода имеет вид [3,4,5]:

                                                                         (13)

где                                 (14)

  Оценки для постоянных Δ и δ, входящих в неравенства:

, .                                                                                  (15)

имеют следующий вид

, δ =1,                                              (16)

где                                                      (17)

,

 — решение краевой задачи:

,  — решение краевой задачи:

                                                          (18)

Выражение для функции , имеет вид

                                                             (19)

Поскольку , то  и при использовании чебышевского ускорения [8] для числа итераций справедлива оценка: , . Аналогично «стандартному» варианту МПТМ отсюда имеем оценку .

Заключение. Численные эксперименты показали заметное уменьшение числа итераций по сравнению со «стандартным» алгоритмом модифицированного попеременно-треугольного метода, за счет учета функции источников [3].

 

Литература:

 

1.         Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. — Новосибирск: Наука, 1988. — 166 с.

2.         Коновалов А. Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременно-треугольным переобусловливателем // Дифференциальные уравнения. —2004.—Т. 40, № 7. — С. 953–963.

3.         Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода // Сибирский математический журнал. —2002. —Т. 43, № 3. — С. 552–572.

4.         Сухинов А. И. Модифицированный попеременно-треугольный метод для задач теплопроводности и фильтрации // Вычислительные системы и алгоритмы. — 1984. — С.52–59.

5.         Сухинов А. И., Чистяков А. Е. Адаптивный попеременно-треугольный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. —2012. —Т. 24, № 1. — С. 3–20.

6.         Сухинов А. И., Шишеня А. В. Повышение эффективности попеременно-треугольного метода на основе уточненных спектральных оценок // Математическое моделирование. —2012. —Т.24, № 11. — С. 10–22.

7.         Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. —656 с.

8.         Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. —592 с.

9.         Григорян Л. А. Моделирование фильтрации двухфазной жидкости методом конечных элементов. Вестник. Северо-Кавказский федеральный университет. Ставрополь: СКФУ,-2013. -№ 2-С.13–16.

10.     Григорян Л. А. Математическое моделирование задачи разработки нефтяных месторождений. / Л. А. Григорян, Е. Ф. Тимофеева // Естественные и математические науки в современном мире / Сборник статей по материалам ХVIII международной научно-практической конференции. Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. 218 с.

Основные термины (генерируются автоматически): краевая задача, модифицированный попеременно-треугольный метод, узел сетки, функция, интегро-интерполяционный метод.


Ключевые слова

двухфазная фильтрация, модель Баклея — Леверетта, модифицированный попеременно-треугольный метод.

Похожие статьи

Модульный анализ сеточных методов решения...

...интегро-интерполяционные схемы, методы коллокаций); тип сеток (равномерные или неравномерные, регулярные или не регулярные, треугольные, четырехугольные и т. д.); вид сеточных шаблонов, т. е. совокупности узлов, участвующих в отдельных уравнениях...

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Ключевые слова: многомерная интерполяция на хаотической сетке узлов.

Задача интерполяции является одной из основных задач численных методов.

Требуется найти интерполяционную функцию. , (1). такую, что выполнялись условия интерполяции

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрена задача интерполяции функции, заданной на регулярной сетке, для случая

Метод, сводящий многомерную интерполяцию к последовательности одномерных, возможен, но

Необходимо построить интерполяционную функцию F(x), где x = {x1, x2,…, xn} – вектор...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

система уравнений, момент времени, уравнение, функция, метод сеток, собственное значение матрицы, вариационный метод, краевая задача, тригонометрический ряд, зависимость функций.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

, ; ... , . Приведенные выражения дают решение задачи для двух первых слоев сетки.

Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи

Методы решения задачи кластеризации и прогнозирования в электронном архиве.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Метод Зейделя обеспечивает движение по узлам слева направо, начиная с первого слоя сетки по переменной .

Организация вычислений решения краевой задачи для линейного...

Методы/узлы.

Основные термины (генерируются автоматически): MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Методы математического описания контуров лекал швейных...

Традиционно для математического описания контуров криволинейных участков лекал используются методы интерполяции и аппроксимации.

Каждый узел (участок кривой) выражаем через функцию.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Модульный анализ сеточных методов решения...

...интегро-интерполяционные схемы, методы коллокаций); тип сеток (равномерные или неравномерные, регулярные или не регулярные, треугольные, четырехугольные и т. д.); вид сеточных шаблонов, т. е. совокупности узлов, участвующих в отдельных уравнениях...

Явные формулы многомерной интерполяции | Статья в журнале...

Ключевые слова: многомерная интерполяция на хаотической сетке узлов.

Задача интерполяции является одной из основных задач численных методов.

Требуется найти интерполяционную функцию. , (1). такую, что выполнялись условия интерполяции

Многомерная интерполяция сеточной вектор-функции

Рассмотрена задача интерполяции функции, заданной на регулярной сетке, для случая

Метод, сводящий многомерную интерполяцию к последовательности одномерных, возможен, но

Необходимо построить интерполяционную функцию F(x), где x = {x1, x2,…, xn} – вектор...

О численных методах решения эволюционных уравнений на...

система уравнений, момент времени, уравнение, функция, метод сеток, собственное значение матрицы, вариационный метод, краевая задача, тригонометрический ряд, зависимость функций.

Программирование разностного метода решения одной задачи...

, ; ... , . Приведенные выражения дают решение задачи для двух первых слоев сетки.

Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи

Методы решения задачи кластеризации и прогнозирования в электронном архиве.

Численная реализация разностного метода решения одной...

В данной работе рассматривается проблема решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.

Метод Зейделя обеспечивает движение по узлам слева направо, начиная с первого слоя сетки по переменной .

Организация вычислений решения краевой задачи для линейного...

Методы/узлы.

Основные термины (генерируются автоматически): MATHCAD, функция, точное решение, система, элемент метода, линейная система уравнений, краевая задача, вычисление значений, вспомогательная функция, математическая система.

Методы математического описания контуров лекал швейных...

Традиционно для математического описания контуров криволинейных участков лекал используются методы интерполяции и аппроксимации.

Каждый узел (участок кривой) выражаем через функцию.

Задать вопрос