Особенности методической деятельности учителя при формировании комбинаторных и вероятностных представлений младших школьников

В статье рассмотрены методические аспекты формирования первоначальных стохастических представлений младших школьников. Выявлены основные направления и особенности методической деятельности учителя начальной школы при формировании первоначальных комбинаторных и вероятностных представлений.

Ключевые слова: стохастика, элементы теории вероятностей, элементы комбинаторики.

В настоящее время становится необходима профессиональная подготовка учителей начальных классов к формированию у младших школьников первоначальных стохастических представлений. В модели профессионального развития основной акцент переносится на становление умения видеть, осознавать и оценивать различные проблемы, конструктивно разрешать их в соответствии со своими ценностными ориентациями, рассматривать любую трудность как стимул к дальнейшему развитию [1].

С точки зрения, формировании личности, необходимость развития у школьников вероятностной интуиции и логического мышления становится актуальной задачей. Логико-стохастический содержательный блок в математике наиболее приближен к тем жизненным ситуациям, с которыми учащийся уже имеет дело и будет неизбежно сталкиваться в будущем, поэтому именно в нем заложен значительный потенциал для формирования универсальных учебных действий. Система обучения стохастике направлена на познание окружающего мира средствами математики, общеинтеллектуальное, общекультурное развитие качеств мышления и качеств личности младшего школьника, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе, для динамичной адаптации его к этому обществу, то есть на формирование у субъекта обучения в процессе изучения математики ключевых компетенций [2].

Изучение и анализ работы учителей по внедрению стохастической содержательно-методической линии в процесс обучения начальной школы позволяют сделать вывод, что основные причины трудностей кроются в недостатках их профессионально-педагогической подготовки [3, с.95].

Проблема нашей работы связана с выявлением методических условий формирования первоначальных комбинаторных и вероятностных представлений младших школьников.

Эффективность подготовки учителей начальных классов в области формирования у младших школьников первоначальных стохастических представлений, будет достигнута, если подготовка построена на общих теоретических основаниях как система непрерывного образования, одной из целей которой является формирование профессиональной компетентности учителя начальных классов в указанной области [4]. Модель формирования профессиональной компетентности будущих учителей начальной школы отражает характерные свойства, связи и отношения методической системы в доступной для анализа форме и обеспечивает переход теоретической сущности исследуемой проблемы в практическую действительность [5–7].

В содержании стохастической содержательно-методической линии выделяют три направления, методикой работы над которыми должен владеть будущий учитель: подготовка младших школьников в области комбинаторики, формирование первоначальных представлений о случайных событиях, формирование умений, связанных с представлением, сбором данных и их интерпретацией.

Методическая деятельность учителя ориентирована на достижение младшим школьником итоговых результатов обучения, отраженных в требованиях к уровню знаний, умений и навыков выпускника начальной школы. Приступая к обучению стохастике, учитель нацеливает свою деятельность на достижение такого уровня.

Комбинаторные задачи выступают как одно из средств реализации методической концепции развивающего обучения младших школьников математике, органически вписываясь в логику построения содержания курса. В начальной школе задачи комбинаторного характера решают «неформальным» методом, при котором на первый план выходит процесс составления различных вариантов. В практической деятельности человеку приходиться не только определять число возможных вариантов выбора, но и непосредственно составлять все эти варианты. Владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

В процессе решения задач с элементами комбинаторики младшие школьники вначале приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов, а затем, на основе этого опыта, осуществляют систематический перебор всех возможных вариантов, используя для решения комбинаторных задач таблицы и графы, учащиеся фактически переводят вербальные модели в схематические.

Методическую работу по формированию навыков решения заданий с элементами комбинаторики следует проводить систематически. В учебниках материал располагается поурочно, поэтому каждое занятие наполнено достаточным количеством заданий разного уровня сложности. Поэтому мы предлагаем уделять внимание заданиям комбинаторного и вероятностного характера на внеклассных занятиях, например, на занятиях математического кружка, то есть вне рамок урока математики.

Проведенный анализ программы Л. Г. Петерсон «Математика» позволил разработать примерный план внеклассных занятий, направленный на осуществление инноваций в области пропедевтики основных понятий и фактов комбинаторики и теории вероятностей в начальной школе, в случае, если обучение ведется по другим программам.

В ходе педагогической практики были разработаны и проведены с учащимися четвертого класса внеклассные мероприятия, посвященные решению комбинаторных и вероятностных задач по мотивам мультфильмов и сказок. Все подобранные задания были интересны и не вызывали особой трудности при решении. Приведем пример методической работы для некоторых заданий комбинаторного характера.

Приведем пример методической работы над заданием комбинаторного характера с использованием «дерева возможностей».

Задание 1. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 составь нечетные двузначные числа, так чтобы цифры в записи числа не повторялись. Расположи их в порядке убывания.

Работа над заданием.

- Прочитайте задание. Что требуется сделать? (Составить двузначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6.)

- Какими должны быть составленные нами числа? (Нечетными.)

- Какие двузначные числа являются четными? (Четными являются те двузначные числа, в разряде единиц которых находится четная цифра.)

- Какие двузначные числа являются нечетными? (Нечетными являются те двузначные числа, в разряде единиц которых находится нечетная цифра.)

- Среди предложенных нам цифр есть нечетные? (Да. Это цифры 1, 3 и 5.)

- Значит, какие цифры мы можем поставить в разряд единиц? (Цифры 1, 3 и 5.)

- Какое значение может принимать количество десятков? (2, 4, 6)

- Составьте самостоятельно «дерево возможностей».

После самостоятельной работы проверяем выполнение. (У доски работает ученик.)

- Пользуясь «деревом возможностей», скажите, какие числа получим, если количество десятков будет равно 2? (21, 23, 25.)

Рассуждая аналогично, получаем числа: 41, 43, 45, 61, 63, 65.

- Что в задании требуется сделать с полученными числами? (Расположить их в порядке убывания.)

- Какое число будет первым в ряду: наибольшее или наименьшее? (Первым будет наибольшее число — 65.) Учитель на доску прикрепляет карточку с числом 65.

- Какое число следующее? Почему? (63, так как 63 меньше 65 и больше всех оставшихся чисел.) На доске появляется карточка с числом 63.

Аналогично рассуждая, получаем ряд чисел: 65, 63, 61, 45, 43, 41, 25, 23, 21.

На оборотной стороне каждой карточки находится буква. Перевернув карточки, получаем слово…? (Алеша Попович). Показ фрагмента мультфильма.

Метод перебора доступен младшим школьникам и позволяет накапливать опыт решения конкретных задач, что послужит основой для дальнейшего обобщения и систематизации первоначальных стохастических представлений.

Чтобы сформировать у школьников первоначальные вероятностные представления, необходимо не только знакомить их с реальными явлениями стохастической структуры, но и организовать изучение свойств этих явлений, это создаст благоприятные условия для успешного изучения в математических моделей случайных явлений.

Методическая деятельность учителя по формированию первоначальных вероятностных представлений младших школьников предусматривает два этапа. Первый направлен на формирование на интуитивном уровне представлений об опыте и понятий случайного события и его вероятности. Второй этап состоит в том, что младшим школьникам предлагают игры, в которых можно качественным образом сравнивать вероятности некоторых событий.

Пример методической работы над заданием вероятностного характера.

Задание . Путешественники  отправляются  в лес, где  князь был  схвачен  и  привязан  вокруг  дерева  (показ  фрагмента ). Интересно, убьют  князя  или  нет ? Узнаем, решив  следующую  задачу: «В  мешке  имеется  3 красных, 3 белых  и  3 зел ёных  шара. Сколько  шаров  нужно  вытянуть  из  мешка, чтобы  наверняка  иметь  шары  тр ёх  цветов ?»

Работа над  заданием.

Учащиеся  путем  экспериментирования  должны  прийти  к  следующим  выводам:

Если  вынуть  7, 8, 9 шаров, наверняка  будут  шары  тр ёх  цветов. Если  вынуть  3, 4, 5 или  6 шаров, то  возможно, но  необязательно  будут  шары  тр ёх  цветов. Если  вынуть  1 или  2 шара, то  невозможно  получить  шары  3 цветов. Молодцы, справились  и  с  этим заданием, теперь  мы  сможем  посмотреть, что  же  будет  с  князем  (показ  фрагмента ).

Задание.На  корабле  Соловей-Разбойник  играет  в  кубики  с  купцом  на  похищенного  коня  (показ  фрагмента  мультфильма ). Если сумма  выпавших  очков  будет  четной, выигрывает  Соловей-Разбойник, а  если  же  сумма  выпавших  очков  окажется  нечетной, выигрывает  купец  и  забирает  лошадь. Кубики  решили  подбросить 11 раз. У  кого  шансов  выиграть  больше ?

Работа над  заданием.

— Прочитайте  задачу  еще  раз. Во  что  играли  купец  и  Соловей-Разбойник ? (Они  подбрасывали  два  игральных  кубика  и  подсчитывали  сумму  выпавших  очков.)

— Для  чего  они  это  делали ? (Чтобы  узнать, кому  достанется  конь.)

— В каком  случае  победит  купец ? (Если  сумма  выпавших  очков  будет  нечетной.)

— Тогда  при  каких  условиях  победителем  становится  Соловей-Разбойник ? (Когда  количество  очков  будет  четным.)

— Что нам  требуется  узнать  в  задаче ? (У  кого  больше  шансов  выиграть ?)

— Чтобы  ответить  на  вопрос  задачи, что  нам  нужно  знать ? (Число  событий, удовлетворяющих  условиям, при  которых  выигрывает  купец  и  Соловей-Разбойник.)

— Когда  количество  выигрышных  вариантов  будет  известно, как  узнаем, у  кого  больше  шансов  выиграть ? (Шансов  больше у  того, у  кого  количество  выигрышных  вариантов  будет  больше.)

— Чему  может  равняться  сумма  выпавших  очков ? (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.)

— Почему  мы  не  включаем  1? (Так  как  подбрасывают  два  игральных  кубика. На  каждом  кубике  самое  меньшее количество  очков  — 1. Если  на  каждом  кубике  выпадет  по  1, их  сумма  будет  равна  2. Значит, самое  меньшее  количество  очков,  в  сумме,  равно  2, а  1 подбрасывая  два  игральных  кубика  получить  нельзя.)

— Каким  будет  событие  - сумма  выпавших  очков  равна  1 - достоверным  или  невозможным ? (Невозможным.)

— Какие  еще  события  невозможны  при  подбрасывании  двух  игральных  кубиков ? Почему? (Количество  выпавших  очков  больше  12. Это  событие  невозможно, потому  что  12 — это  наибольшее  количество  очков, которые  могут выпасть  при  подбрасывании  двух  игральных  кубиков.)

— Подсчитаем  количество  событий, при  которых  выиграет  Соловей-Разбойник. Какое  условие  должно  выполняться ? (Количество  выпавших  очков  будет  четным.)

— Какое  количество  очков  удовлетворяет  этому  условию ? (2, 4, 6, 8, 10, 12.)

— Подсчитаем  количество  способов, которыми можно  получить  четную сумму  очков. Заполним  таблицу  на  доске.

— Подсчитаем  число  событий, при  которых  выиграет  Соловей  Разбойник. Чему  оно  равно ? (Ответ  18.)

— Итак, существует  18 выигрышных  комбинаций  для  Соловья-Разбойника. Подсчитаем  количество  событий, при  которых  победителем окажется  купец. Какое  условие  должно  выполняться? (Сумма  выпавших  очков  должна  быть  нечетной.)

— Какие  значения  суммы  удовлетворяют  заданному  условию ? (3, 5, 7, 9, 11.)

— Заполним  таблицу.

— Пользуясь  таблицей, подсчитаем  количество  событий, при  которых  выигрывает  купец. Чему  оно  равно ? (18 способов.)

— Итак, количество  выигрышных  комбинаций  для  Соловья-Разбойника  равно  18, и  для  купца  тоже  18. У  кого  же  больше  шансов выиграть ? Почему ? (Шансы  на  выигрыш   равны, потому что  количество  выигрышных  комбинаций  равно.) Ответ: шансы  равны.

Задание.Конь Юлий в поисках богатства оказывается у дерева «Казино». Показ фрагмента мультфильма. После чего учитель предлагает младшим школьникам ответить на вопрос: может ли при таких условиях Юлий выиграть и предлагает ответить на вопрос: колько сущетсвует способов выбора одного числа от 1 до 10?

Задание не представляет трудности для учащихся: 10. Можно задать учащимся вопрос: какова вероятность выигрыша при этих условиях? Всего чисел десять, и только один вариант благоприятствует выигрышу Юлия. Таким образом, 1 к 10. Целесообразно провести беседу о вреде азартных игр.

Работа над комбинаторными и вероятностными задачами на ступени начального общего образования развивает у младших школьников образное и логическое мышление, умения решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правил; решать задачи с элементами теории вероятностей практическим путем при проведении каких-либо экспериментов; умения использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; воспитывает интерес к математике, стремление использовать математические знания в повседневной жизни.

Литература:

1.                  Проценко Е. А., Трофименко Ю. В., Семенова Г. А. Методические аспекты обучения младших школьников элементам математической статистики. Молодой ученый. 2014. № 11. С. 404–408.

2.                  Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Методические аспекты обучения младших школьников стохастике. Молодой ученый. 2013. № 11. С. 633–637.

3.             Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Формирование профессиональной компетентности будущих учителей начальной школы при обучении стохастике. Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2013. № 1. С. 094–100.

4.                  Проценко, Е. А. Теоретические и методические основы изучения комбинаторики в начальной школе / Е. А. Проценко, Г. А. Семенова. -Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2008. 128 с.

5.                  Проценко, Е. А. Использование информационных технологий как средства организации самостоятельной работы студентов//Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. -2006. -№ S16. -С. 77–81.

6.                  Проценко, Е. А. Применение компьютерных средств обучения в процессе преподавания комбинаторики//Вестник Московского городского педагогического университета. -2006. -№ 6. -С. 167–170.

7.                  Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Методические аспекты обучения младших школьников комбинаторике. Молодой ученый. 2014. № 67. С. 633–637.