О методике применения теоремы о пределе последовательности | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: , ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (91) июнь-1 2015 г.

Дата публикации: 30.05.2015

Статья просмотрена: 19 раз

Библиографическое описание:

Алиев С. Д., Намазов Ф. М., Алиева А. Г. О методике применения теоремы о пределе последовательности // Молодой ученый. — 2015. — №11. — С. 1-4. — URL https://moluch.ru/archive/91/19559/ (дата обращения: 17.07.2018).

В этой работе дается ряд примеров, изложение которых подчеркивает значимость теоремы Вейерштрасса о пределе последовательности.

Как известно, уравнения типа

,                                                                                                (1)

где  — некоторое вещественное число, решаются следующим образом: возведя в квадрат обе части равенства (1), получим

.

Так как второе слагаемое совпадает с левой частью исходного уравнения, то

.

Отсюда, находим единственное решение уравнения (1):

.

Пользуясь некоторыми понятиями начал анализа, решим уравнение (1) иным способом. Для этого, сначала, рассмотрим последовательность , где

.

Докажем, что последовательность  монотонна и ограничена. В курсе алгебры и начал анализа учащиеся знакомятся с теоремой Вейерштрасса: если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Очевидно, что

,

т. е. последовательность  возрастает. Далее находим

.

Из неравенства

,

учитывая, что  и , получаем

,

т. е. последовательность  ограничена.

Таким образом, доказано, что последовательность  сходится. Воспользуемся еще раз равенством:

.                                                                                                                 (2)

Если , то . Переходя к пределу в равенстве (2), получим:

.

Отсюда

.

Так как предел возрастающей последовательности с положительными членами не может быть отрицательным числом, то

.                                                                                               (3)

Пользуясь (3), уравнение (1) перепишем в виде

и находим единственное решение уравнения (1):

,

.

Теперь покажем, что последовательность , где

                                                                   (4)

сходится, и вычислим ее предел.

Равенство (4) запишем так:

.                                                                                    (5)

В силу (3), имеем

.

Учитывая это равенство в (5), получим:

.

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Какое из чисел больше:

или

?

Решение. На первый взгляд кажется, что , так как для образования числа  берутся все числа натурального ряда больше 5 и единица, а для образования числа  используется только число 6. Однако если вычислить  по формуле (3) при  получим:

.

Число  оценим следующим образом:

.

Таким образом, .

Пример. Построить график функции:

. (6)

Решение. Легко видеть, что при , то . Если же , то по формуле (3) имеем:

.

Из этой формулы получим, что при .

Функция, заданная по формуле (6), получена с помощью арифметических операций над аргументом, извлечения корня и перехода к пределу. Однако эта функция разрывна в начале координат.

Выше мы рассматривали примеры на применение теоремы о пределе монотонной и ограниченной последовательности, отправляясь от функции . Понятно, что все рассмотренные результаты легко переносятся и на случай, когда исходной будет функция  при .

Рассмотрим интересный пример, при решении которой не будем пользоваться формулой (3). При решении этого примера постараемся показать гармонию чисел и форм, геометрическое изящество математических объектов. А.Пуанкаре отмечал, что «всем истинным математикам знакомо настоящее эстетическое чувство» [1, стр.67]. В качестве задачи, иллюстрирующей эти положения рассмотрим следующий

Пример. Проверить истинность неравенства:

.

Решение. Посмотрим, что произойдет с неравенством при изменении данных, а именно, если мы прибавим 5 к последнему числу в первом слагаемом (к 20), 4 к последнему числу во втором слагаемом (к 12) и 6 к последнему числу в третьем слагаемом (к 30). Тогда, после извлечения всех корней, получиться 5+4+6=15. Следовательно, без добавочного увеличения левая часть данного выражения действительно меньше 15.

Самостоятельное решение школьниками таких задач ведет к возникновению эмоционального удовлетворения. Это удовлетворение тем сильнее, чем больше усилий было затрачено на поиск решения. «Тот, кто хоть раз изведал благородную радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать» [2, стр.153]. Стремление вновь испытать «радость творческого достижения» приводит к выработке совершенно особого отношения к творческим неудачам: ошибки не воспринимаются как поражение, а являются своеобразным «источником напряженной мысли и воли» [2, стр.153].

 

Литература:

 

1.                  Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982, 144 с.

2.                  Хинчин А. Я. Педагогические статьи /А. Я. Хинчин/ Под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963, 204 с.

Основные термины (генерируются автоматически): последнее число, единственное решение уравнения, образование числа, последовательность, предел, решение, творческое достижение, формула.


Похожие статьи

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что...

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Таким математическим методом решения данных задач считается метод инварианта.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет.

Программа внеурочной деятельности по математике «Математика...

- Развивать исследовательские навыки при решении задач занимательной арифметики, задач на последовательности, софизмы, ребусы, шифры

- Приобретают знания и навыки в решении нестандартных, в том числе олимпиадных задач.

Уравнения в целых числах.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы

В3 = ( ). Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x). Первое приближение корня определяется по формуле: = 1.5.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что...

О применении метода непрерывного начисления процентов

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при . Второй замечательный предел вводит такое понятие как число e.

Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Таким математическим методом решения данных задач считается метод инварианта.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет.

Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале...

Понятие числовой последовательности и её предел является одним из наиболее трудных понятий, вводимых в курс математики лицее.

К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост...

Программа внеурочной деятельности по математике «Математика...

- Развивать исследовательские навыки при решении задач занимательной арифметики, задач на последовательности, софизмы, ребусы, шифры

- Приобретают знания и навыки в решении нестандартных, в том числе олимпиадных задач.

Уравнения в целых числах.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители . Выпишем все делители числа 91: , , , . Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно...

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы

В3 = ( ). Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x). Первое приближение корня определяется по формуле: = 1.5.

Формирование креативности учащихся основной школы...

Она имеет не единственное решение, содержит ловушку с единицами измерения, сюжетная линия нестандартная.

Задача 2. Какое число равно своей половине? Хотя многие и назовут уровень данной задачи творческим, но вряд ли они окажутся полностью правы, для её...

О применении метода непрерывного начисления процентов

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при . Второй замечательный предел вводит такое понятие как число e.

Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом

Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале...

Понятие числовой последовательности и её предел является одним из наиболее трудных понятий, вводимых в курс математики лицее.

К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост...

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители . Выпишем все делители числа 91: , , , . Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно...

Формирование креативности учащихся основной школы...

Она имеет не единственное решение, содержит ловушку с единицами измерения, сюжетная линия нестандартная.

Задача 2. Какое число равно своей половине? Хотя многие и назовут уровень данной задачи творческим, но вряд ли они окажутся полностью правы, для её...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что...

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Таким математическим методом решения данных задач считается метод инварианта.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет.

Программа внеурочной деятельности по математике «Математика...

- Развивать исследовательские навыки при решении задач занимательной арифметики, задач на последовательности, софизмы, ребусы, шифры

- Приобретают знания и навыки в решении нестандартных, в том числе олимпиадных задач.

Уравнения в целых числах.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы

В3 = ( ). Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x). Первое приближение корня определяется по формуле: = 1.5.

Периодические решения разностного уравнения третьего порядка

Введение ипостановка задачи. Исследованиеасимптотического поведения решений линейного разностного уравнения третьего порядка.

Определение 2. Решение уравнения (1) называется предельным k-циклом, если существуют последовательности и такие, что...

О применении метода непрерывного начисления процентов

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при . Второй замечательный предел вводит такое понятие как число e.

Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом

Об использовании метода инварианта, основанного на идее...

Таким математическим методом решения данных задач считается метод инварианта.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как хочет.

Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале...

Понятие числовой последовательности и её предел является одним из наиболее трудных понятий, вводимых в курс математики лицее.

К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост...

Программа внеурочной деятельности по математике «Математика...

- Развивать исследовательские навыки при решении задач занимательной арифметики, задач на последовательности, софизмы, ребусы, шифры

- Приобретают знания и навыки в решении нестандартных, в том числе олимпиадных задач.

Уравнения в целых числах.

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители . Выпишем все делители числа 91: , , , . Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно...

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы

В3 = ( ). Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x). Первое приближение корня определяется по формуле: = 1.5.

Формирование креативности учащихся основной школы...

Она имеет не единственное решение, содержит ловушку с единицами измерения, сюжетная линия нестандартная.

Задача 2. Какое число равно своей половине? Хотя многие и назовут уровень данной задачи творческим, но вряд ли они окажутся полностью правы, для её...

О применении метода непрерывного начисления процентов

Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при . Второй замечательный предел вводит такое понятие как число e.

Тогда решение задачи будет выглядеть следующим образом

Экономические задачи на уроках математики | Статья в журнале...

Понятие числовой последовательности и её предел является одним из наиболее трудных понятий, вводимых в курс математики лицее.

К числу приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии и др., анализ таких процессов, как рост...

Диофантовы уравнения: от древности до наших дней

Решение.Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители . Выпишем все делители числа 91: , , , . Проведем исследование: заметим, что для любых целых чисел и число , следовательно...

Формирование креативности учащихся основной школы...

Она имеет не единственное решение, содержит ловушку с единицами измерения, сюжетная линия нестандартная.

Задача 2. Какое число равно своей половине? Хотя многие и назовут уровень данной задачи творческим, но вряд ли они окажутся полностью правы, для её...

Задать вопрос