Автор: Варыгина Мария Петровна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №11 (91) июнь-1 2015 г.

Дата публикации: 04.06.2015

Статья просмотрена: 30 раз

Библиографическое описание:

Варыгина М. П. Вычислительный алгоритм для численного моделирования микрополярных упругих ортотропных стержней // Молодой ученый. — 2015. — №11. — С. 19-22.

Введение

Микрополярная (моментная) модель [1], предназначенная для описания напряженно-деформированного состояния композитов, гранулированных, порошкообразных сред, является основной моделью механики сплошных сред, учитывающей микроструктуру материала. Особую актуальность математические модели материалов со структурой получили в последнее время в связи с развитием микро- и нанотехнологий. В модели микрополярной среды кроме поступательного движения, которое характеризуется перемещением u, рассматриваются независимые повороты частиц , а наряду с тензором напряжений с компонентами , , , ,  вводится несимметричный тензор моментных напряжений с компонентами , .

Вопросы численной реализации моментной модели в изотропном случае рассматриваются в [2–4]. В настоящей работе приводится вычислительный алгоритм для численного моделирования микрополярных ортотропных упругих стержней.

Математическая модель

Уравнения плоской динамической задачи, описывающие поведение ортотропного упругого стержня высотой 2h и длиной a, имеют вид [5, 6]:

                           (1)

Здесь ρ – плотность среды; I – мера инерции среды при вращении; A11, A12, A22, A77, A78, A88, B66, B44  – феноменологические параметры упругости для ортотропной среды.

На основе гипотез, предложенных в работе [5], в предположении малости высоты стержня по сравнению с его длиной (2h<<a) и представлении перемещений и поворота в виде

с учетом обозначений

система уравнений (1) динамического изгиба микрополярных ортотропных упругих стержней с независимыми полями перемещений и вращений приводится к виду:

           

                                                                    (2)

          

Здесь     

Систему уравнений (2) можно записать в матричной форме

                                                                                                             (3)

относительно вектор-функции U, включающей в себя компоненты линейной и угловых скоростей частиц, а также компоненты тензоров напряжений:

Матрицы-коэффициенты системы A и B симметричны, матрица Q антисимметрична:

где     Ненулевые компоненты матриц  и :

   

    

При выполнении неравенств, гарантирующих неотрицательность упругой энергии:

        

матрица A положительно определена, и система уравнений (3) является гиперболической по Фридрихсу. Для такой системы выполняется закон сохранения энергии

из которого следует корректность постановки задачи Коши и краевых задач с диссипативными граничными условиями. Характеристические свойства системы описываются уравнением

корни которого, скорости волн, равны:

    

Полную систему левых собственных векторов образуют 6 векторов, соответствующих ненулевым собственным числам: , , , и один вектор для .

Начальные данные краевой задачи предполагают задание вектор-функции U при . Граничные условия могут быть сформулированы в терминах скоростей или напряжений:

 или ,    или ,    или .

Вычислительный алгоритм

Алгоритм численного решения задачи основан на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным и времени. Для системы уравнений общего вида (3) процедура расщепления состоит из трех этапов. На первом этапе решается одномерная задача в направлении x на интервале . На четвертом этапе к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений применяется схема Кранка-Николсон второго порядка точности с полным шагом по времени. Третий этап – повторный пересчет задачи в направлении x на интервале .

Процедура расщепления приводит к одномерным системам:

                                                                                                (4)

                                                             (5)

                                                  (6)

Искомое значение . Рассматриваемый метод двуциклического расщепления имеет второй порядок точности по пространственным переменным и времени, если на его этапах используются схемы второго порядка, и обеспечивает устойчивость численного решения при выполнении условия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви.

К каждой из одномерных задач (4), (6) применяется явная монотонная разностная схема Годунова типа "предиктор-корректор", устойчивая при выполнении условия Куранта-Фридрихса-Леви. На втором этапе метода расщепления в (5) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применяется неявная разностная схема Кранка-Николсон [7]:

где m – номер шага по времени.

Численное решение представлено на рис. 1. На левой границе стержня действует Λ-образный импульс моментного напряжения L13, начальные данные нулевые. Длительность импульса – 10 шагов по времени, размер сетки – 1000 ячеек, пройдено 1000 шагов по времени. Физические параметры для расчетов были выбраны согласно [5]: ρ = 1114 кг / м3, I = 5.31e-6 кг / м,A0 = 5.2e6 Па,A77 = 4.6e6 Па, A88 = 4.8e6 Па,  A78 = 0.4e6 Па, B66 = 300 Н. Длина стержня a варьировалась: a = 0.1 м (рис. 1, слева), a = 0.2 м (рис. 1, справа), h = / 40. Результаты расчетов показывают, что при фиксированном времени угловая скорость и моментное напряжение представляют собой осциллирующие функции.

Рис. 1. Линии уровня моментного напряжения L13: a = 0.1 м (слева), a = 0.2 м (справа)

 

Для верификации работы численного алгоритма использовалось аналитическое решение задачи о распространении монохроматической волны в стержне, полученное в работах [5, 6].

Заключение

Динамическая модель микрополярных ортотропных упругих стержней с независимыми полями перемещений и вращений приведена к симметричной гиперболической по Фридрихсу форме, позволяющей эффективно применять вычислительные алгоритмы. Для численного решения разработан вычислительный алгоритм, основанный на методе двуциклического расщепления с применением схемы Годунова и Кранка-Николсон. Выполнены численные расчеты полей скоростей и напряжений в задаче о действии импульсной Λ-образной нагрузки.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14-01-00130).

 

Литература:

1.       Cosserat E., Cosserat F. Theorie de Corps Deformables // Chwolson's Traite Physique. 2nd ed. – Paris, 1909. – P. 953–1173.

2.       Варыгина М.П., Садовская О.В. Параллельный вычислительный алгоритм для решения динамических задач моментной теории упругости // Вестник Красноярского госуниверситета, 2005. – Вып. 4. – С. 211–215.

3.       Варыгина М.П., Киреев И.В., Садовская О.В., Садовский В.М. Программное обеспечение для анализа волновых движений в моментных средах на многопроцессорных вычислительных системах // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. акад. М.Ф. Решетнева, 2009. – Вып. 2 (23). – С. 104–108.

4.       Sadovskii V., Sadovaskaya O. and Varygina M. Numerical solution of dynamic problems in couple-stressed continuum on multiprocessor computer systems // International Journal of Numerical Analysis and Modeling, Series B, 2011. – V. 2, No. 2-3. – P. 215–230.

5.       Маргарян Л.М., Саркисян С.О. Математическое моделирование динамики микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких балок // Известия Национальных наук Армении, 2012. – Т. 65, №1. – С. 17–28.

6.       Маргарян Л.М. Построение прикладных моделей динамических состояний микрополярных упругих ортотропных стержней и их сравнительный анализ // Автореферат дисс. канд. физ.-мат. н., Ереван, 2012. – 36 с.

7.       Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608 с.

Основные термины (генерируются автоматически): упругих ортотропных стержней, микрополярных упругих ортотропных, ортотропных упругих стержней, микрополярных ортотропных упругих, двуциклического расщепления, методе двуциклического расщепления, численного моделирования микрополярных, вычислительный алгоритм, обыкновенных дифференциальных уравнений, численного решения, моделирования микрополярных ортотропных, пространственным переменным, моделирования микрополярных упругих, численного решения задачи, модель микрополярных ортотропных, этапе метода расщепления, метод двуциклического расщепления, тензор моментных напряжений, схема Кранка-Николсон, состояний микрополярных упругих.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос