Авторы: Феклистов Сергей Викторович, Нестерова Лариса Юрьевна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (90) май-2 2015 г.

Дата публикации: 18.05.2015

Статья просмотрена: 794 раза

Библиографическое описание:

Феклистов С. В., Нестерова Л. Ю. Обобщенный закон ассоциативности. Таблица Кэли // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 33-37.

В статье рассматривается вопрос об определении свойств бинарной операции (в частности, ассоциативность) некоторой конечной алгебры, заданной таблицей Кэли.

Ключевые слова: алгебра, таблица Кэли, тест ассоциативности.

The article discusses the issue of determining the properties of binary operations (in particular, associativity) of some finite algebra given by the Cayley table.

Keywords: algebra, Cayley table, test of associativity

 

В данной статье рассмотрим вопрос, касающийся свойств бинарной операции некоторой конечной алгебры [4], заданной так называемой таблицей Кэли [1, 3]. По этой таблице требуется определить, ассоциативна ли данная бинарная операция или нет. Для определения ассоциативности бинарной операции можно воспользоваться тестом ассоциативности по Лайту [3]. В дальнейшем покажем, как работает данный метод.

Рассмотрим алгебру с одной бинарной операцией . Такую алгебру называют группоидом [2, 3].

Помимо замкнутости (то есть отображения  группоид может обладать и другими свойствами, например (в скобках указаны принятые названия полученных алгебр):

-          наличие симметричных элементов (квазигруппа);

-          наличие нейтрального и симметричных элементов (лупа);

-          ассоциативность (полугруппа);

-          ассоциативность с нейтральным элементом (моноид);

-          ассоциативность с нейтральным и симметричными элементами (группа или ассоциативная петля);

-          коммутативность, ассоциативность с нейтральным и симметричными элементами (абелева группа) [1, 4].

Пусть дана полугруппа . Сформулируем теорему, которая обобщает закон ассоциативности. Суть этого обобщенного закона в том, что если рассмотреть композицию любой конечной последовательности элементов полугруппы, то скобки в выражении можно расставлять любым образом или вовсе их убрать, то есть, например, будет иметь место:  и т. д.

Теорема: Пусть  — полугруппа и  — последовательность элементов из . Пусть , где , и , ,…, , тогда  [4].

Таблица Кэли [1, 3] — это таблица, которая используется для описания структуры конечного группоида . Пусть , тогда таблица Кэли имеет следующий вид (таблица 1):

Таблица 1

*

...

 

Где на пересечении-строки и -столбца находится элемент . При этом следует иметь ввиду, что в общем случае , так как свойство коммутативности бинарной операции группоида не требуется.

Таблицы Кэли впервые появились в статье Кэли «On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation " [5] в 1854 году. В этой статье это были просто таблицы, используемые в иллюстративных целях. Называть таблицами Кэли их стали позже в честь их создателя.

По таблице Кэли можно определить коммутативность, ассоциативность, идемпотентность бинарной операции и минимальное порождающее множество конечного группоида. А также нейтральный, обратимые, симметричные элементы и идемпотенты.

Приведем способ определения ассоциативности бинарной операции, используя тест ассоциативности по Лайту. Пусть дан конечный группоид  и фиксированный элемент . Введем на  две новые бинарные операции  следующим образом:  и , получим группоиды . Строим таблицы Кэли данных группоидов и сравниваем их соответствующие компоненты. Если , то повторяем это для другого элемента и т. д. И если для любого  выполняется , то бинарная операция ассоциативна.

Прежде чем определять ассоциативность конечного группоида , желательно выяснить, имеет ли группоид минимальное порождающее множество. Если имеется порождающее множество , отличное от множества , то достаточно применить тест ассоциативности по Лайту к элементам множества , так как все остальные элементы из  есть композиция элементов из .

Рассмотрим пример:

Пусть дан группоид  и . Структура данного группоида определяется следующей таблицей Кэли:

Таблица 2

*

a

b

c

d

e

a

a

a

a

d

d

b

a

b

c

d

d

c

a

c

b

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

Видно, что  — порождающее множество группоида , так как

Проверим ассоциативность для элемента , используя тест ассоциативности по Лайту. Рассмотрим группоиды  и , причем , . Построим для них таблицы Кэли.

Строку  из таблицы 2 заносим в новую таблицу 3 в заглавную строку, и заполняем в соответствии с таблицей 2, причем заглавный столбец такой же как и в таблице 2. Затем заглавную строку  в таблице 3 меняем на строку , а также меняем операцию  на . В итоге получим таблицу Кэли для группоида  (таблица 4):

Таблица 3

 

a

c

b

d

d

a

a

a

a

d

d

b

a

c

b

d

d

c

a

b

c

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

Таблица 4

a

b

c

d

e

a

a

a

a

d

d

b

a

c

b

d

d

c

a

b

c

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

Столбец  из таблицы 2 заносим в новую таблицу 5 в заглавный столбец, и заполняем в соответствии с таблицей 2, причем заглавная строка такая же как и в таблице 2. Затем заглавный столбец  в таблице 5 меняем на столбец , а также меняем операцию  на . В итоге получим таблицу Кэли для группоида  (таблица 6):

Таблица 5

a

b

c

d

e

a

a

a

a

d

d

c

a

c

b

d

d

b

a

b

c

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

Таблица 6

a

b

c

d

e

a

a

a

a

d

d

b

a

c

b

d

d

c

a

b

c

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

Сравнивая таблицы 4 и 6, видно, что их соответствующие компоненты совпадают, то есть . Это и означает, что , то есть операция ассоциативна относительно элемента .

Аналогично можно показать, что .

Таким образом, группоид  есть полугруппа. И для нее, в силу теоремы, выполняется также обобщенный закон ассоциативности.

Можно, однако, при установлении ассоциативности группоида при помощи теста ассоциативности по Лайту, использовать немного упрощенный вариант, который уже не предполагает построение группоидов  [3]. Вернемся к рассмотренному ранее примеру. В таблице 3 вместо заглавного столбца  запишем столбец  из таблицы 2. Получим таблицу 7:

Таблица 7

a

c

b

d

d

a

a

a

a

d

d

c

a

c

b

d

d

b

a

b

c

d

d

d

d

d

d

a

a

e

d

e

e

a

a

 

И проверяем, совпадают ли строки таблицы 7 со строками таблицы 2 (совпадение столбцов следует из построения таблицы 3), то есть проверяем совпадение, например, строки  в таблице 7 со строкой  в таблице 2 и т. д. Если все строки совпадают, то группоид ассоциативен относительно элемента . Аналогичное проделывает для элемента .

Таким образом, для проверки ассоциативности бинарной операции любого конечного группоида достаточно построить таблицу, аналогичную таблице 7, и сравнить соответствующие строки полученной таблицы и исходной таблицы Кэли группоида. Тест ассоциативности по Лайту позволяет просто и быстро (в отличие от обычного перебора всех возможных вариантов) проверить ассоциативность бинарной операции данного конечного группоида с заданной таблицей Кэли. Нетрудно заметить, что этот тест применим для квазигруппы и лупы, так как эти алгебры есть частный случай группоида.

 

Литература:

 

1.         Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп — М.: Наука, 1967. — 225 с.

2.         Глухов М. М. Елизаров В. П. Нечаев А. А. Алгебра Учебник в 2-х т. Т1 — М.: Гелиос АРВ, 2003–336 с.

3.         Клиффорд А. Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп том 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 286 с.

4.         Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.

5.         Cayley, Arthur. «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ", Philosophical Magazine, Vol. 7 (1854), pp. 40–47.

Основные термины (генерируются автоматически): бинарной операции, таблицей Кэли, ассоциативности бинарной операции, конечного группоида, определения ассоциативности бинарной, свойств бинарной операции, Таблица Кэли, таблицы Кэли, таблицу Кэли, закон ассоциативности, тест ассоциативности, таблицы Кэли группоида, проверки ассоциативности бинарной, таблицы Кэли данных, следующей таблицей Кэли, таблица Кэли, с заданной таблицей Кэли, Обобщенный закон ассоциативности, в статье Кэли «On, таблице Кэли.

Ключевые слова

алгебра, таблица Кэли, тест ассоциативности.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос