Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра с жидкостью, находящейся в упругой среде | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №10 (90) май-2 2015 г.

Дата публикации: 09.05.2015

Статья просмотрена: 12 раз

Библиографическое описание:

Ядгаров У. Т. Исследование дисперсионного уравнения двухслойного цилиндра с жидкостью, находящейся в упругой среде // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 369-371. — URL https://moluch.ru/archive/90/14896/ (дата обращения: 12.12.2018).

Рассмотрим собственные колебания в упругой среде, содержащей двухслойный цилиндрический слой в цилиндрической системе координат (r,z,θ). Обозначим через Vpi, Vsi, ri, μi, li (i =0,1,2,3) соответственно скорость продольной и поперечной волны, плотность и модуль упругости. Рассмотрим задачу о распространении свободных волн, возникающих в такой системе. Уравнения движения среды для продольных φi и поперечных ψi потенциалов представляется в виде:

                                                     (1)

В уравнениях (1) следует положить =0, если в затрубном пространстве находится жидкость. Соответствующие напряжения srr, tir и смещения u r, u z, определяются через потенциалы j, y равенствами

                                                                          (2)

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле:

Если жидкость заменена упругой средой, то на контакте двух сред ставятся следующие условия:

Решения уравнений (1), удовлетворяющих условию конечности среды на оси r=0 и условиям убывания на бесконечности, выражаются через модифицированные функции Бесселя.

На границе контакта слоев (r = r2) ставится условие скользящего контакта (непрерывны нормальные составляющие напряжений и смещений, отсутствуют касательные составляющие напряжений) и контакт между внешним слоем и окружающей средой жесткий (непрерывны нормальные и тангенциальные составляющие напряжений и смещений). Дисперсионное уравнение записывается в виде:

D(к, h)=0.                                                                                                                      (4)

Оно представимо в виде определителя, у которого элементы dij (), отличные от нуля, имеют следующий вид:

Остальные элементы также записываются в аналогичном виде. Здесь

в двухслойном цилиндре V определяет скорость обобщенной волны по двухслойному цилиндру. Фазовая скорость волны определятся величиной реальной части корня, то есть Vj = ReV; величины мнимой части корня связаны с затуханием c на единице расстояния зависимостью

.

Дисперсионное уравнение (4) решается методом Мюллера. Значение левой части на каждой итерации метода Мюллера определяется методом Гаусса с выделением главного элемента. Нами были составлены программы и проведены расчеты дисперсии и затухания волны Лэмба для моделей скважин, описываемых граничными условиями (3а) и (3b). Исходя из физической постановки задачи, будем считать, что поглощением обладают буровая жидкость, цемент, тампонажная смесь, поглощением же в материале колонны и в окружающей среде будем пренебрегать. Переход к системе с поглощением был сделан посредством введения комплексных параметров сред. Численные результаты получены при следующих значениях параметров:

Vp0 =1500 м/c; Vp0 =1500 м/c; Vp2 =1500 м/c;

Vp3 =5300 м/c; Vs1 =2900 м/c; Vs2 =2000 м/c;

Vs3 =2000 м/c; ρ0 =1 г/cм3; ρ1 =8 г/cм3;

Ρ2 =3 г/cм3; ρ4 =4 г/cм3; r1 =0,05 м; r2 =0,06 м; r3 =0,067 м.

Результаты расчетов представлены в табл. 1. Видно, что фазовая скорость слабо зависит от волнового числа.

Таблица 1

Изменение фазовой скорости V (м/c) в зависимости от волнового числа α/a.

α/a

1

2

3

4

5

1

1450,121

1450,024

1451,01

1456,28

1450,82

2

1456,3

1456,09

1456,013

1456,72

1455,3

3

1462,24

1462,50

1462,03

1462,4

1461,9

 

Из анализа значений фазовой скорости выявлено, что разница между скоростями осесимметричных и не осесимметричных волн первой моды мала для всех значений волнового числа, кроме близких к нулю (область очень длинных волн), а минимумы части первой моды для всех значений n совпадают, так что и в данном случае первая резонансная скорость может быть определена из решения соответствующей осесимметричной задачи. Так при γ>250 получено С=0,31 (3ρ/G). Как показали расчеты, наименьший вклад дает поглощение продольной волны (рис. 1).

Рис. 1. Зависимости фазовой скорости от волнового числа.

 

Из результатов выясняется, что сжимающие контактные напряжения имеют место в некоторой окрестности приложения каждой силы. С удалением от точки приложения силы по окружности напряжения для всех рассмотренных случаев меняют знак. Это является следствием предположения двухсторонних характеров связи между оболочкой и заполнителем.

 

Литература:

 

1.    Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно неоднородных средах и конструкциях. — Ташкент; Фан, 1992. — 250 с.

Основные термины (генерируются автоматически): волновое число, фазовая скорость, упругая среда, двухслойный цилиндр, дисперсионное уравнение, напряжение, окружающая среда.


Похожие статьи

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного...

волновое число, фазовая скорость, двухслойный цилиндр, упругая среда, дисперсионное уравнение, напряжение, окружающая среда.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

С фазовая скорость волн; плотности материала; функции Бесселя и Ханкеля нулевого и первого порядки [1]. Дисперсионное уравнение (1) решается методом Мюллера. Рассмотрим собственный колебания двухслойный цилиндрической оболочке находящиеся в упругой...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

где - фазовая скорость волн. Предположим,что обе среды характеризуются малым

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Из рисунка видно что, с увеличением волновых чисел дисперсионные кривые приближаются к асимтотике.

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном...

Решение волнового уравнения (2) для цилиндра и окружающей его среды записывается в виде

Основные термины (генерируются автоматически): волновое уравнение, дисперсионное уравнение.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде

Уравнения плоской деформации теории упругости имеют вид: где U и w — компоненты смещения

(2). где k — волновое число, — комплексная частота; С = СR+iCI — комплексная фазовая скорость.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными краями.

Анализ уравнения, описывающего динамическое...

Для разупрочняющейся среды упругое напряжение находится по формуле .

Используя общее уравнение монохроматической волны , получим дисперсионное уравнение для (3) при

Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты.

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

Постановка задачи. На N-слойный цилиндр падают нестационарные волны напряжения и , фронт которых параллелен продольной оси цилиндра [1] (рис.1). Требуется

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными...

Подставляя (6) в (7) получим следующее дисперсионное уравнение: (8). где: В таблице приведено изменение фазовой скорости (с/с0) от длины волны.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде.

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

. Можно ввести также понятия фазовых скоростей распространения собственных и

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости).

Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно недородных средах и конструкциях.

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного...

волновое число, фазовая скорость, двухслойный цилиндр, упругая среда, дисперсионное уравнение, напряжение, окружающая среда.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

С фазовая скорость волн; плотности материала; функции Бесселя и Ханкеля нулевого и первого порядки [1]. Дисперсионное уравнение (1) решается методом Мюллера. Рассмотрим собственный колебания двухслойный цилиндрической оболочке находящиеся в упругой...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

где - фазовая скорость волн. Предположим,что обе среды характеризуются малым

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Из рисунка видно что, с увеличением волновых чисел дисперсионные кривые приближаются к асимтотике.

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном...

Решение волнового уравнения (2) для цилиндра и окружающей его среды записывается в виде

Основные термины (генерируются автоматически): волновое уравнение, дисперсионное уравнение.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде

Уравнения плоской деформации теории упругости имеют вид: где U и w — компоненты смещения

(2). где k — волновое число, — комплексная частота; С = СR+iCI — комплексная фазовая скорость.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными краями.

Анализ уравнения, описывающего динамическое...

Для разупрочняющейся среды упругое напряжение находится по формуле .

Используя общее уравнение монохроматической волны , получим дисперсионное уравнение для (3) при

Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты.

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

Постановка задачи. На N-слойный цилиндр падают нестационарные волны напряжения и , фронт которых параллелен продольной оси цилиндра [1] (рис.1). Требуется

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными...

Подставляя (6) в (7) получим следующее дисперсионное уравнение: (8). где: В таблице приведено изменение фазовой скорости (с/с0) от длины волны.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде.

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

. Можно ввести также понятия фазовых скоростей распространения собственных и

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости).

Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно недородных средах и конструкциях.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного...

волновое число, фазовая скорость, двухслойный цилиндр, упругая среда, дисперсионное уравнение, напряжение, окружающая среда.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

С фазовая скорость волн; плотности материала; функции Бесселя и Ханкеля нулевого и первого порядки [1]. Дисперсионное уравнение (1) решается методом Мюллера. Рассмотрим собственный колебания двухслойный цилиндрической оболочке находящиеся в упругой...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

где - фазовая скорость волн. Предположим,что обе среды характеризуются малым

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Из рисунка видно что, с увеличением волновых чисел дисперсионные кривые приближаются к асимтотике.

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном...

Решение волнового уравнения (2) для цилиндра и окружающей его среды записывается в виде

Основные термины (генерируются автоматически): волновое уравнение, дисперсионное уравнение.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде

Уравнения плоской деформации теории упругости имеют вид: где U и w — компоненты смещения

(2). где k — волновое число, — комплексная частота; С = СR+iCI — комплексная фазовая скорость.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными краями.

Анализ уравнения, описывающего динамическое...

Для разупрочняющейся среды упругое напряжение находится по формуле .

Используя общее уравнение монохроматической волны , получим дисперсионное уравнение для (3) при

Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты.

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

Постановка задачи. На N-слойный цилиндр падают нестационарные волны напряжения и , фронт которых параллелен продольной оси цилиндра [1] (рис.1). Требуется

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными...

Подставляя (6) в (7) получим следующее дисперсионное уравнение: (8). где: В таблице приведено изменение фазовой скорости (с/с0) от длины волны.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде.

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

. Можно ввести также понятия фазовых скоростей распространения собственных и

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости).

Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно недородных средах и конструкциях.

Исследование дисперсионного уравнения двухслойного...

волновое число, фазовая скорость, двухслойный цилиндр, упругая среда, дисперсионное уравнение, напряжение, окружающая среда.

Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

С фазовая скорость волн; плотности материала; функции Бесселя и Ханкеля нулевого и первого порядки [1]. Дисперсионное уравнение (1) решается методом Мюллера. Рассмотрим собственный колебания двухслойный цилиндрической оболочке находящиеся в упругой...

Распространение нормальных волн в скважине | Статья в журнале...

где - фазовая скорость волн. Предположим,что обе среды характеризуются малым

Рис.1. Зависимость фазовой скорости от волновых чисел.

Из рисунка видно что, с увеличением волновых чисел дисперсионные кривые приближаются к асимтотике.

Распространение поперечных волн в бесконечно длинном...

Решение волнового уравнения (2) для цилиндра и окружающей его среды записывается в виде

Основные термины (генерируются автоматически): волновое уравнение, дисперсионное уравнение.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде

Уравнения плоской деформации теории упругости имеют вид: где U и w — компоненты смещения

(2). где k — волновое число, — комплексная частота; С = СR+iCI — комплексная фазовая скорость.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными краями.

Анализ уравнения, описывающего динамическое...

Для разупрочняющейся среды упругое напряжение находится по формуле .

Используя общее уравнение монохроматической волны , получим дисперсионное уравнение для (3) при

Рис. 3. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты.

Дифракция упругих нестационарных волн в цилиндрическом слое

Постановка задачи. На N-слойный цилиндр падают нестационарные волны напряжения и , фронт которых параллелен продольной оси цилиндра [1] (рис.1). Требуется

В отсутствие статических массовых сил, вектор смещений в упругой среде определяется уравнением.

Распространение волн напряжения в плоскостях с свободными...

Подставляя (6) в (7) получим следующее дисперсионное уравнение: (8). где: В таблице приведено изменение фазовой скорости (с/с0) от длины волны.

Распространение волн в двухслойной вязкоупругой среде.

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

. Можно ввести также понятия фазовых скоростей распространения собственных и

Рис. 1. Зависимость Re со от волнового число K (для случая несжимаемой жидкости).

Сафаров И. И. Колебания и волны в диссипативно недородных средах и конструкциях.

Задать вопрос