Методика изучения вращательного движения твердого тела с использованием аналогии

В статье объясняется сущность метода аналогии, перечисляются функции и приемы. Отмечается роль и место метода в учебном познании. Рассматривается возможности и пути использования метода в изучении вращательного движения. Приводятся результаты исследований.

In the article the essence of a method of analogy is explained, the functions and receptions are listed. The role and place of a method in educational knowledge is marked. It is considered opportunities and ways of use of a method in study of rotary movement. The results of researches are resulted.

 

 

В данной работе мы рассматриваем методику изучения вращательного движения с использованием аналогии.

Анализ философской, научно-методической литературы [1-11] позволяет выделять следующие моменты в сущности аналогии:

      1) аналогичность, это отношение сходства сравниваемых объектов (материальные объекты, поля, процессы, мысленные образы); аналог, это объект, который находится в отношении сходства исследуемым объектом;

     2) аналогизирование, это процесс определения отношения сходств сравниваемых объектов. Вообще говоря, аналогизирование может проводиться и интуитивно, т.е. без четкого обоснования и без соблюдения строгой последовательности действий;

    3) метод аналогии, это путь аналогизирования, отличающиеся много­крат­ностью, целенаправленностью, систематичностью и обоснованностью, который способен давать результат с наименьшими затратами сил и времени;

    4) метод аналогии сложен по структуре: в него входят дополнительные этапы, приемы и средства, обеспечивающие вывод по аналогии и повышающие его эффективность. Вывод умозаключения по аналогии – главная составная часть метода, определяющая его основные свойства;

    5) в процессе познания метод аналогии выступает, во-первых, в роли средства добывания новых результатов, что соответствует его эврис­тической функции, во-вторых, в роли средства освоения получен­ных ранее результатов, что соответствует его дидактической и прак­ти­ческой функциям.

    6) стремление усовершенствовать метод аналогии, освободить его от недостатков, связанных с ее перечисляющим характером и опираться в выводах на знание существенных, внутренних закономерных связей при анализе сопоставляемых объектов привело к возникновению метода моделирования [10, c.143]; умозаключения по аналогии, понимаемые предельно широко, как перенос информаций об одних объектах на другие, составляют гносеологическую основу модели­рова­ния [5, c.74].

Известны многие факты использования метода аналогии в научном познании. Соотношение процесса обучения и научного познания (в том числе соотношение функций научных и учебных методов познания) показывает общность многих черт [11, c.132]. Следовательно, аналогия является и методом учебного познания.

Использование метода аналогии в развитии классической и современной физики, техническом творчестве становится основанием для применения его в обучении курса общей физики и указывает путь к этому.

Аналоги и модели используют как средство наглядности. Они служат и объектами теоретических исследований. Роль аналогии заключается: 1) в установлении общих свойств и причин явлений; 2)большом значении в качестве иллюстрации, доказательства или объяснения тех или иных явлений; 3) зарождении новых идей (эвристическая функция метода).

Наши исследования [12, 13] показали, что метод аналогии в учебном познании является необходимым (но недостаточным) звеном и занимает центральное место среди методов познания. Также показано, что при использовании метода выполняются основные принципы обучения: наглядности, систематичности и последовательности, целенаправленности, межпредметных связей. Также рассматривали дидактические, практические и эвристические возможности метода в лекциях, при решении задач, выполнении лабораторных работ по курсу общей физики [15].

В предыдущих работах [12-14] с целью обнаружения аналогов мы применяли такой прием: из физических величин выбрали такую группу, чтобы для каждой величины входящей в нее: 1) возможно было бы определить количество величин в единице объема (плотность); 2) имели бы свойство аддитивности; 3) имели бы свойство переноса, текучести, другими словами, для этих величин существовало бы понятие тока (или же были бы введены эти понятия).

            Мы показали, что в эту группу можно включить массу, электрический заряд,  импульс,  энергию. Также введено  для этих величин понятие силы тока, учитывая их аналогичность, объединили под общим названием – количественные величины.

            Целью настоящей работы является установление аналогичности физических величин, характеризующих вращательное движение твердого тела с вышеуказанными величинами.

            Одна из величин определяющих вращение тела вокруг неподвижной оси является момент импульса. Постараемся показать, что она аддитивная, можно осуществить перенос определенного количества момента импульса и определить его количество в единице объема (плотность).

            Для колеса, вращающегося вокруг неподвижной оси, результирующий импульс равен нулю, так как скорость поступательного движения его центра массы равна нулю.   Начало вращения колеса не значит, что оно приобрело импульс. Импульсом обладают только отдельные элементы колеса.   

Как вращающееся тело рассмотрим вращение гантели вокруг неподвижной оси: в идеальном случае гантель состоит из двух материальных точек 1 и 2, которые связаны твердым стержнем без массы. Массы материальных точек равны. Гантель вращается вокруг оси, которая проходит через центр масс и перпендикулярна линии соединяющей материальные точки (рис.1). Импульсы материальных точек назовем  и , соответственно. Относительно системы отсчета, начало которой связано с центром масс

 +=0                                                      (1)

и следовательно,

=-                                                         (2)

            Ответим на такой вопрос: возможно ли, привести гантели в состояние покоя, путем передачи импульса точки 1 в точку 2 посредством соединительного стержня, или же сместить материальные точки таким образом, чтобы их импульсы компенсировали друг друга?

            Опыт показывает, что эти действия невозможны (в качестве аналога можно рассмотреть систему двух равных по модулю разноименных точечных зарядов, т.е. электрического диполя). Гантель можно привести в состояние покоя только в том случае, когда между гантелью и другим каким-нибудь телом течет импульсный ток. Эти факты указывают на то, что мы должны иметь сохраняемую величину, которая определяет вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Эту величину называют моментом импульса (или вращательным импульсом) и обозначают, обычно, через . Вращение колеса значит, что оно обладает моментом импульса (вращательным импульсом).

            Теперь рассмотрим некоторые свойства этой величины. Ясно, что в пространстве вращающееся колесо может переместиться и иметь определенное количество момента импульса. Это означает, что определенное количество этой величины можно отделить и переместить в пространстве (как масса, электрический заряд, импульс, энергия).

            Момент импульса может передаваться из одной системы в другую, т.е. может течь от одной системы в другую. На рис.2 момент импульса через вал и муфты течет из левого колеса к правому.

            Момент импульса твердого тела это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящее по часовой стрелке.

            Для колеса вращающегося вокруг оси симметрии направление вектора  совпадает с направлением вектора угловой скорости.

            Если в систему с моментом импульса  перенести момент импульса в количестве -, то результирующий импульс будет равен нулю (частный случай сложения векторов).

            Теперь рассмотрим систему, состоящую из нескольких колес. Результирующий момент импульса такой системы можно вычислить по формуле:

где - момент импульса i-го колеса.

            Вращающееся твердое тело можно рассматривать как систему маленьких одинаковых объемов. Число вращающихся одинаковых элементов в единичном объеме можно охарактеризовать понятием плотности момента импульса. На рис.3 показана схема, позволяющая определить плотность момента импульса.

            Обобщая сказанное, можно прийти к заключению, что момент импульса величина аддитивная, может течь, может иметь определенную плотность.

            Следовательно, момент импульса также можно включить в группу количественных величин.

            Кроме этого, экспериментальным путем установлено, что момент импульса сохраняемая величина.

            Выясняется, что названные четыре свойства относятся к массе, импульсу, электрическому заряду, энергии, моменту импульса. Следовательно, они являются аналогами. Исходя из структуры метода аналогии, рассматриваемую аналогичность соответствующих свойств можно принимать основанием аналогии и можно заключить: вероятно, у этих величин есть и другие одинаковые признаки (свойства и отношения). Эта идея дает нам стимул к поиску новых аналогов.

            Рассмотрим производную момента импульса по времени и определим другие аналоги.

            Представим себе, что двигатель начинает вращать колесо. Для того, чтобы увеличить момент импульса колеса, ему нужно непрерывно переносить момент импульса посредством передаточного вала. Если колесо вращается, то течет ток момента импульса от двигателя к колесу. На рис.4 показан ток момента импульса из Земли к колесу посредством вала.

            Силу тока момента импульса можно найти по формуле:

 

                                                         (3)

где  - момент силы.

            Можно предположить, что двигатель «создает» вращательный импульс в колесе или «колесо приобретает момент импульса».

            Аналогично цепям электрического и импульсного тока, для цепи импульсного момента можно ввести понятия изолятора, проводника, ключа и других элементов.

            С этой целью покажем функции некоторых технических устройств:

вал – проводник для тока импульсного момента;

подшипник – изолятор для тока импульсного момента;

муфта – ключ для тока импульсного момента;

тормозная система – ключ способный обеспечить ток импульсного момента в Землю.

 

 

1	2
3	4
5	6
7	8

 

 

            Если ток момента импульса течет посредством упругого стержня, то стержень подвергается кручению. Угол кручения может быть мерой для тока импульсного момента.

            Для определения вращательного движения еще одной из важных величин является так же момент инерции относительно оси вращения.

            При быстром вращении тела вокруг неподвижной оси его момент импульса также становится больше; т.е. с увеличением угловой скорости , возрастает и момент импульса . Точное математическое соотношение между  и  может быть очень сложным. Это зависит от распределения массы тела и положения оси вращения.

            С целью определения связи  -, рассмотрим простейший случай; предположим, что гантель вращается вокруг неподвижной оси, которая перпендикулярна линии соединяющей материальные точки и проходит через центр масс.

            Момент импульса гантели можно определить по формуле:

                                            (4)

где  и , импульсы материальных точек. Как было отмечено, относительно системы отсчета, начало которой связано с центром масс выполняются условия (1) и (2). Их учет приводит к формуле:

Так как вектор  перпендикулярен вектору , для модуля  получим:

L=2rp,

где  здесь r – расстояние между материальной точкой и осью вращения, а . 

            Используя , получим  и в векторном виде:

.

            Следовательно, векторы момента импульса и угловой скорости параллельны и их модули пропорциональны. Коэффициент пропорциональности J в (5) называется моментом инерции. Момент инерции показывает количество момента импульса, которым обладает тело, вращающееся с определенной угловой скоростью вокруг неподвижной оси.

            Момент инерции можно принять как аналог электрической емкости. Поэтому его можем называть также емкостью момента импульса. Момент инерции является также аналогом массы в поступательном движении, так как момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем труднее достичь данную скорость, т.е. тем большее количество момента импульса нужно затратить.

            Можно определить зависимость  - также для тел сложной формы (рис.5). Пусть это тело приведено во вращение вокруг оси симметрии.

            Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы, размеры которых намного меньше размеров самого тела. Каждый маленький объем можно принять за материальную точку. Симметрия тела позволяет попарно рассматривать элементарные массы (материальные точки). Каждая пара представляет собой гантель, ось вращения которой совпадает с осью вращения самого тела.

            При вращении тела вокруг своей оси с угловой скоростью w, каждая гантель так же вращается с этой же скоростью. В этом случае каждая гантель дает свой вклад в полный момент импульса сложного тела в количестве

Здесь i/2 – число гантелей, Dm_i – масса i-го элемента, r_i – расстояние элемента от оси вращения. Можно рассуждать так: каждая половина гантели, т.е. каждый элемент массы дает свой вклад в полный момент импульса в количестве

            Полный момент импульса состоит из суммы этих вкладов:

или в векторном виде

  

            В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интег­ралу

                                                        (6)

 показывает пропорциональность  и.

            В соответствии со структурной схемой аналогизирования из аналогичности величин и соотношений: ; , ,  получается, что  является аналогом последних соотношений.

            Теперь определим связь между моментом силы (сила тока момента импульса) и мощностью (сила тока энергии).

            Генератор может вращать турбину передавая энергию посредством вала (рис.6). Чтобы осуществить перенос энергии (ток энергии):

-           вал должен вращаться, т.е. ;

-           должен течь ток момента импульса, т.е. .

Следовательно, сила тока энергии Р, является функций  и М: Р(, М). Найдем раскрытую форму этой функции.

На рис.7 схематически показаны поперечное сечение вала и пары сил которые вращают вал. Посредством канатов на вал действуют сила (течет импульсный ток). Здесь силовые векторы (силы импульсных токов) по численному значению одинаковы, по направлению противоположны. Тогда результирующая сила импульсного тока (результирующая сила), которая течет посредством двух канатов равна нулю. Но, сила тока импульсного момента

                                                        (7)

существует и отличается от нуля.

            Сила тока энергии, которая течет к колеса посредством двух канатов вычисляется по формуле:

                                                           (8)

            Учитывая , получим

Используя правила векторного анализа можно видоизменять формулу:

                                                         (9)

Из (7)

и подставляя в (9) получим

                                                              (10)

(10) является аналогом соотношений Р=UI и  

            На рис.6 показана замкнутая цепь тока момента импульса, которая сос­тоит из источника тока (генератор), вала, потребителя энергии (турбин), фундамента (Земли). Посредством вала течет энергия и момент импульса. Только в определенной части пути энергия сопровождается моментом импульса: во вращающейся части, в проводнике, где .

            Теперь определим взаимосвязь энергии вращающегося колеса с другими величинами. Для того, чтобы вычислить изменения энергии через колесо должен течь ток энергии и ток момента импульса. Для энергии и момента импульса имеются уравнения непрерывности:

    и    

С учетом

,  

и используя  получим

,                                     (11)

(11) является аналогом других уравнений для источников энергий.

            С целью углубления аналогичности между физическими величинами на рис.8 приведены схемы. В этих схемах ток количественных величин       (Q, р, L) происходит в направлении уменьшения интенсивных величин         (I, F, M). Ток прекращается тогда, когда интенсивные величины становятся одинаковыми в обеих подсистемах.

            Аналоги электричества, поступательного и вращательного движений собраны в следующей таблице.

 

Таблица 1.

Электричество	Поступательное движение	Вращательное движение
Q	p
I	F	M
С (электрическая емкость)	m (импульсная емкость)	J (емкость момента импульса)
L	1/D	1/крутильный момент
NФ
Q=CU
P=UI
Уравнения непрерывности

 

Литература

1. Мамыкин И.П. Аналогия в техническом творчестве. Минск: «Наука и техника» 1972, 168с.
2. Моделирование и познание /Под ред. Штоф В.А. Минск: «Наука и техника», 1974, 211с.
3. Спасский Б.И. История физики. Ч1, М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1956, 359с.
4. Старченко А.А. Роль аналогии в познании. М.: Высшая школа, 1961.
5. Степин В.С., Елсуков А.Н. Методы научного познания. Минск: Высшейш. Школа, 1974, 152с.
6. Уемов А.И. Аналогия в практике научного исследования. М.: Наука, 1970, 264с.
7. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. М.: Мысль, 1971, 311с.
8. Усова А.В. Теория и методика обучения физики. Медуза, 2002, 175с.
9. Эмпахер А. Сила аналогий. М.: Мир, 1965, 153с.
10. Штоф В.А. Введение в методологию научного познания. Л.: Изд-во Ленингр. Ун-та, 1972, 190с.
11. Бугаев А.И. Методика преподавания физики в средней школе: Теорет. основы, М.: Просвещение, 1981, 288с.
12. Səfərov N.Y. Fizika kursunun təlimində analogiyanın digər idrak metodları ilə qarşılıqlı münasibəti və yeri / Fəlsəfə Elmi-nəzəri jurnal 2008, №1(10), s.102-110.
13. Səfərov N.Y. Fizika kursunun təlimində analogiya metodunun tətbiqinin imkan və yolları. Azərbaycan Respublikası Təhsil Problemləri institutu, Elmi əsərlər,  2008, №1, s.72-81.
14. Səfərov N.Y. Ali texniki məktəblərin fizika kursunun tədrisində analogiya metodunun sistemli tətbiqi (monoqrafiya). Bakı “Elm” 2007, 122 s.
15. Səfərov N.Y. Ümumi fizikadan mühazirələrdə analogiya metodunun istifadəsi və təlim           prinsipləri. Naxçıvan müəllimlər institutunun xəbərləri. 2008, № 3 (15), s.90-94