Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Информатика

Опубликовано в Молодой учёный №9 (89) май-1 2015 г.

Дата публикации: 27.04.2015

Статья просмотрена: 1921 раз

Библиографическое описание:

Алексеев Н. Л. Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel // Молодой ученый. — 2015. — №9. — С. 102-107. — URL https://moluch.ru/archive/89/17911/ (дата обращения: 18.10.2018).

Сегодня умение пользоваться компьютером — насущная необходимость полноценного получения знаний для студента. Предлагая студентам ту или иную задачу, мы, прежде всего, учитываем наличие знаний по данному вопросу.

Рассмотрим пример урока по теме: Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel. Цели урока:

1.      Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.

2.      Показать возможность применения электронных таблиц к приближённому вычислению определённых интегралов.

Задача учителя состоит в том, чтобы создать проблемную ситуацию, направить студентов на ее решение, организовать поиск решения. Для этого с учащимися необходимо повторить основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

При вычислении производной, мы используем таблицу производных и правила дифференцирования. Результат этих операций приводит к тому, что производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.

В некоторых случаях встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, иногда приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными, то есть функция задается графиком или таблицей полученных значений. Поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Трудность операции интегрирования ещё состоит в том, что для неё нет универсального правила нахождения первообразных.

В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж «сложной» структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются неберущимися. Итак, интеграл  не берётся, если функция  не является элементарной. Можно показать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Примерами таких интегралов могут служить следующие интегралы:

1.                  – интеграл Пуассона. Функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Интеграл Пуассона широко применяется в теории вероятности;

2.                  – интегралы Френеля;

3.                  – интегральный логарифм;

4.                  – интегральный синус;

5.                  – интегральный косинус;

6.                  – интегральная экспонента.

Когда не удаётся выразить интеграл в замкнутой форме, или полученная формула сложна, или подынтегральная функция задана таблично, используют численное интегрирование, которое основывается на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью.

Существуют различные методы для реализации этой проблемы, но наиболее простые:

-        методы прямоугольников (левых, правых и средних прямоугольников);

-        метод трапеций;

-        метод парабол.

Метод прямоугольников — это простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Геометрическая интерпретация этого метода выглядит следующим образом:

http://www3.msiu.ru/~med2/engineers/inform/chis_method/right_pr_graf.gif

 

Построим блок-схему решения метода прямоугольников:

 

Преподаватель создает проблемную ситуацию, состоящую в нахождении интеграла . Студенты делают вывод о том, что в этом случае не применимы изученные методы и признают ситуацию проблемной.

Рассмотрим метод «Приближённое вычисление определенных интегралов по формуле правых прямоугольников» на примере интеграла Пуассона, заключённого на отрезке [0;2]., т. е. и попробуем его приближенно вычислить с помощью электронной таблицы Excel, результат вычислений проанализируем. Для этого вначале отрезок [0;2] разобьём на 20 равных частей, т. е.  Создадим таблицу значений , где . Воспользуемся методом правых прямоугольников:

В электронной таблице создадим таблицы и введем формулы, используя автозаполнение:

Дано:

 

 

Дано:

 

a

0

 

a

0

 

b

2

 

b

2

 

n

20

 

n

20

 

h

0,10

 

h

=(B3-B2)/B4

 

 

 

 

 

n

x

y

 

n

x

y

1

0,1

0,990

 

1

=$B$2+A8*$B$5

=EXP(-B8*B8)

2

0,2

0,961

 

2

=$B$2+A9*$B$5

=EXP(-B9*B9)

3

0,3

0,914

 

3

=$B$2+A10*$B$5

=EXP(-B10*B10)

4

0,4

0,852

 

4

=$B$2+A11*$B$5

=EXP(-B11*B11)

5

0,5

0,779

 

5

=$B$2+A12*$B$5

=EXP(-B12*B12)

6

0,6

0,698

 

6

=$B$2+A13*$B$5

=EXP(-B13*B13)

7

0,7

0,613

 

7

=$B$2+A14*$B$5

=EXP(-B14*B14)

8

0,8

0,527

 

8

=$B$2+A15*$B$5

=EXP(-B15*B15)

9

0,9

0,445

 

9

=$B$2+A16*$B$5

=EXP(-B16*B16)

10

1,0

0,368

 

10

=$B$2+A17*$B$5

=EXP(-B17*B17)

11

1,1

0,298

 

11

=$B$2+A18*$B$5

=EXP(-B18*B18)

12

1,2

0,237

 

12

=$B$2+A19*$B$5

=EXP(-B19*B19)

13

1,3

0,185

 

13

=$B$2+A20*$B$5

=EXP(-B20*B20)

14

1,4

0,141

 

14

=$B$2+A21*$B$5

=EXP(-B21*B21)

15

1,5

0,105

 

15

=$B$2+A22*$B$5

=EXP(-B22*B22)

16

1,6

0,077

 

16

=$B$2+A23*$B$5

=EXP(-B23*B23)

17

1,7

0,056

 

17

=$B$2+A24*$B$5

=EXP(-B24*B24)

18

1,8

0,039

 

18

=$B$2+A25*$B$5

=EXP(-B25*B25)

19

1,9

0,027

 

19

=$B$2+A26*$B$5

=EXP(-B26*B26)

20

2,0

0,018

 

20

=$B$2+A27*$B$5

=EXP(-B27*B27)

Приближённое:

0,833

 

Приближённое:

=СУММ(C8:C27)*B5

Точное:

0,882

 

Точное:

0,882

0,049064

 

=ABS(C29-C28)

δ

5,56 %

 

δ

=C30/C29

 

Построим криволинейную трапецию, ограниченной данной функцией, отрезком [0;2] и осью ОХ, для этого используем вставку диаграммы с областями:

 

За точное значение примем результат вычисления с помощью математического процессора MathCAD:

Этот же результат получим с помощью интернет-сервисов на сайте http://www.wolframalpha.com/

 

. Вычислим абсолютную и относительную погрешность:

Изменим число разбиений отрезка [0;2] на 200 равных частей. Проанализируем точность вычисления интеграла. Для этого изменим данную таблицу.

Дано:

a

0

b

2

n

200

h

0,01

n

x

y

1

0,01

1,000

2

0,02

1,000

3

0,03

0,999

4

0,04

0,998

5

0,05

0,998

6

0,06

0,996

7

0,07

0,995

8

0,08

0,994

9

0,09

0,992

10

0,10

0,990

197

1,97

0,021

198

1,98

0,020

199

1,99

0,019

200

2,00

0,018

Приближённое:

0,877

Точное:

0,882

0,0048

δ

0,55 %

 

Сравнивая полученные результаты таблиц, наглядно видно, что во второй таблице точность вычисления данного интеграла выше, чем в первом случае, относительная погрешность во втором случае составляет менее 1 %, т. е. 0,55 %.

Контрольные вопросы.

1.      Как уменьшить погрешность нахождения интеграла в методе прямоугольников?

2.      В каких случаях метод прямоугольников находит применение?

3.      Можно ли получить методами прямоугольников точное значение интеграла?

Заключение и выводы.

Таким образом, очевидно, что методом прямоугольников при вычислении определенных интегралов не дает нам точного значения, а только приближенное. Следовательно, при увеличении числа разбиений (приуменьшения шага), точность вычислений увеличивается, т. к. уменьшается относительная погрешность. Если точность вычисления интеграла задана, то можно определить, на сколько частей нужно разбить отрезок.

 

Литература:

 

1.      http://www.wolframalpha.com/

2.      Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Виленкин Н. Я.

3.      Информатика и информационные технологии. Учебник для 10–11 классов. Угринович Н. Д.

Основные термины (генерируются автоматически): EXP, интеграл, метод прямоугольников, функция, относительная погрешность, точное значение, Приближенное вычисление, проблемная ситуация, электронная таблица, элементарная функция.


Похожие статьи

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Рассмотренные в работе методы приближенного вычисления интеграла позволяют вычислять его значения, если подынтегральная функция задана в виде массива значений, или же подынтегральная функция настолько сложна...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

За приближенное значение интеграла от заданной функции принимается значение интеграла от приближающей функции.

. (1.3). В формуле (1.3) для многочлена Hm(x) буквой ξ обозначена относительная переменная, связанная с исходной переменной x соотношением.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

интегральные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса второго рода обобщенным методом...

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна).

Решение: Здесь используем для вычисления интеграла метод интегрирования по частям.

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Реализуется следующий вариант метода штрафных функций, при котором минимизация с ограничениями сводится к последовательности

Sub CT() — очистка таблиц от результатов предыдущих вычислений([1])

F1 = P1 * (Exp(-P2 * X1) — Exp(-P1 * X1)) / (P1 — P2). End Sub.

Приближенное вычисление линейного интегрального...

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса

Пусть, функция -возрастающая и непрерывная функция на G, где G= [a,b].

Сравнивая точное решение и приближенное решение, найдем погрешность данного интегрального уравнения.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

«формула Гаусса. «приближённые значения интеграла.

Решим приближённо задачу Коши для ОДУ. методами Рунге-Кутта.

«формула Рунге-Кутта. Производя вычисления, получим следующую таблицу значений решения

О понятии нечеткого интеграла | Статья в журнале...

Интеграл Лебега от функции h по множеству A определяется как.

Для непрерывного пространства X=R вычисление нечеткого интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на монограмме (или таблице).

Построение графиков функций в решении задач по общей физике...

Основные термины (генерируются автоматически): электронная таблица, управляющая сила, построение графиков функций, EXP, сила Ампера, зависимость, уравнение второго, решение

Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Применение ИКТ в геометрических и физических приложениях...

Рассмотренные в работе методы приближенного вычисления интеграла позволяют вычислять его значения, если подынтегральная функция задана в виде массива значений, или же подынтегральная функция настолько сложна...

О квадратурных формулах, использующих значения производных...

За приближенное значение интеграла от заданной функции принимается значение интеграла от приближающей функции.

. (1.3). В формуле (1.3) для многочлена Hm(x) буквой ξ обозначена относительная переменная, связанная с исходной переменной x соотношением.

Приближенное решение линейных и нелинейных интегральных...

интегральные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса второго рода обобщенным методом...

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Под предельным (маржинальным) значением показателя в экономическом анализе принято понимать производную функции этого показателя (если эта функция непрерывна).

Решение: Здесь используем для вычисления интеграла метод интегрирования по частям.

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Реализуется следующий вариант метода штрафных функций, при котором минимизация с ограничениями сводится к последовательности

Sub CT() — очистка таблиц от результатов предыдущих вычислений([1])

F1 = P1 * (Exp(-P2 * X1) — Exp(-P1 * X1)) / (P1 — P2). End Sub.

Приближенное вычисление линейного интегрального...

Приближенное вычисление линейного интегрального уравнение Вольтерра — Стильтеса

Пусть, функция -возрастающая и непрерывная функция на G, где G= [a,b].

Сравнивая точное решение и приближенное решение, найдем погрешность данного интегрального уравнения.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале...

«формула Гаусса. «приближённые значения интеграла.

Решим приближённо задачу Коши для ОДУ. методами Рунге-Кутта.

«формула Рунге-Кутта. Производя вычисления, получим следующую таблицу значений решения

О понятии нечеткого интеграла | Статья в журнале...

Интеграл Лебега от функции h по множеству A определяется как.

Для непрерывного пространства X=R вычисление нечеткого интеграла может быть упрощено и сведено к нахождению значения на монограмме (или таблице).

Построение графиков функций в решении задач по общей физике...

Основные термины (генерируются автоматически): электронная таблица, управляющая сила, построение графиков функций, EXP, сила Ампера, зависимость, уравнение второго, решение

Вычисление «неберущихся» интегралов с помощью электронных таблиц Microsoft Excel.

Задать вопрос