Автор: Шемахин Евгений Юрьевич

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №8 (88) апрель-2 2015 г.

Дата публикации: 09.04.2015

Статья просмотрена: 28 раз

Библиографическое описание:

Шемахин Е. Ю. Проверка численных моделей открытых СМО с ограничениями // Молодой ученый. — 2015. — №8. — С. 24-28.

Рассматривается численная модель открытой системы массового обслуживания, степень влияния соотношения входных параметров системы на погрешность вычисляемых динамических значений характеристик.

Ключевые слова:система массового обслуживания, характеристики системы, моделирование, проверка динамических значений

 

Первоначальная оценка погрешностей на этапе отладки алгоритма [3] производилась вручную путем создания нескольких прогонок (прогонкой здесь и далее называется запуск модели СМО от начала до достижения критерия остановки) модели одного типа и изменения входных параметров системы. Но больший интерес представляет дальнейшее исследование влияния входных параметров системы на динамические значения характеристик. Оценка погрешности и установление оптимальных входных параметров производились по нескольким критериям:

1.      Определение входных параметров, при которых максимальная погрешность определённой характеристики при некотором числе испытаний минимальна. Данную оценку можно применить к группам характеристик, объединенных общим признаком, например, число требований в системе, под обслуживанием и т. п.

2.      В некоторых случаях результат каждой из этих оценок необходимо проверить, вручную запустив прогонку модели с полученными входными параметрами и оценить поведение характеристик. Например, относительная погрешность величины, равная , может говорить о том, что статическая величина, вычисляемая по формуле стремится к нулю, тогда как динамическая величина уже стала равной , а относительная погрешность равная , означает, что статическая величина чрезвычайно мала, что не позволяет хранить её значение в переменной, в результате чего, она также становится равной . Однако такие случаи редки и довольно легко могут быть определены.

3.      Повторение испытания с увеличением максимального числа требований в системе, а также числа прогонок.

4.      Определение входных параметров, при которых максимальная погрешность испытаний по всем характеристикам созданной системы минимальна.

Погрешность испытаний также в значительной степени зависит от системы ГСЧ, используемой в созданной модели, поэтому этот параметр неизменен на протяжении всего испытания и выделен в отдельную характеристику при подсчёте погрешностей. По этой же причине, а также чтобы минимизировать влияние ГСЧ на результаты испытаний, оцениваться будут максимальные погрешности, а не средние или минимальные. Таким образом, оценка в целом будет заключаться в поиске такого сочетания входных параметров, при котором максимальная погрешность по всем испытаниям определенной характеристики будет минимальна. Поэтапная оценка алгоритма, моделирующего СМО открытого типа с очередью ограниченной длины [1], представлена ниже.

1.      Первым испытанием станет «поверхностная» проверка многоканальной СМО с неограниченной очередью с использованием встроенного псевдослучайного ГСЧ среды Visual Studio 2010 [2] и с ограничением максимального числа требований в системе равным . Цель — выявление наилучшего порядка величин  и . Также необходимо ограничить величину  интервалом , т. к. сходимость динамической системы в граничных условиях не может быть гарантирована. При указанных ограничениях и числе испытаний каждого соотношения равном , необходимо будет совершить  прогонок. Наилучшим сочетанием входных параметров в целом, на основе определения минимальной погрешности наборов и максимальной погрешности характеристик в каждом наборе по всем прогонкам, для данного испытания является следующий набор, показанный в табл. 1.

Таблица 1

Наилучшее сочетание входных параметров в целом

Тип характеристик

Погрешность (%)

Моменты 1-го порядка

Момента порядка выше 1

 

Из-за различной скорости сходимости моментов разного порядка, данная оценка была разбита на 2 части.

2.      Последующая оценка погрешности СМО с очередью ограниченной длины производится аналогично, однако порядок величин  и  изменяться не будет. Ограничение максимальной длины очереди разумно ограничить слева , справа средней длиной реальной очереди модели без ограничений, умноженной на . Список характеристик, наилучших сочетаний входных параметров и максимальных погрешностей данного испытания показаны в табл. 2, где в столбце «Огр». указано ограничение максимального числа требований в очереди.

Таблица 2

Сводная таблица испытания № 2

Характеристика

Огр.

Погр. (%)

Интенсивность потока заявок

Интенсивность потока обслуживания

Приведённая интенсивность потока заявок

Вероятность обслуживания

Вероятность простоя

Вероятность ожидания

Вероятность отказа

Коэффициент загрузки

Коэффициент простоя

Среднее число требований под обсл.

2 ЦМ числа требований под обсл.

Число требований в очереди

2 ЦМ числа требований в очереди

Число требований в реальной очереди

2 ЦМ числа требований в р. очереди

Число требований в СМО

2 ЦМ числа требований в СМО

Время обслуживания

2 ЦМ времени обслуживания

Время ожидания в очереди

2 ЦМ времени ожидания в очереди

Время ожидания в реальной очереди

2 ЦМ времени ожидания в р. очереди

Время пребывания заявки в СМО

2 ЦМ времени пребывания

Ковариация числа заявок под обсл. и в оч.

Коэффициент корреляции

 

Примечание: из результатов исключена нулевая погрешность средней длины реальной очереди при ограничении максимальной длины очереди равной  или , для исключения влияния этого вырожденного случая на оценку погрешности. На основании данных результатов можно сделать вывод, что сходимость моментов порядка выше 1 медленнее и требует увеличить число требований в системе.

3.      Основываясь на предыдущей оценке можно выбрать 5 наилучших сочетаний входных параметров для каждого момента порядка выше 1, что в результате даст  различных уникальных сочетаний, в виду повторения некоторых из них. Во втором испытании также будет использован встроенный псевдослучайный ГСЧ Visual Studio 2010, число прогонок для каждого набора увеличится до , максимальное число требований же возрастет до , и оцениваться будут только моменты порядка выше 1. Список характеристик, наилучших сочетаний входных параметров и максимальных погрешностей данного испытания показаны в табл. 3.

Таблица 3

Сводная таблица испытания № 3

Характеристика

Огр.

Макс. (%)

2 ЦМ числа требований под обсл.

2 ЦМ числа требований в очереди

2 ЦМ числа требований в р. очереди

2 ЦМ числа требований в СМО

2 ЦМ времени обслуживания

2 ЦМ времени ожидания в очереди

2 ЦМ времени ож. в р. очереди

2 ЦМ времени пребывания

Ковариация числа заявок

Коэффициент корреляции

 

Наилучшие сочетания входных параметров в целом показаны в табл. 4.

Таблица 4

Наилучшее сочетание входных параметров в целом

Тип характеристик

Погрешность (%)

Моменты 1-го порядка

Момента порядка выше 1

 

Модель многоканальной СМО с отказами следует изучить отдельно.

Оценка погрешности данной системы производится аналогично, однако порядок величин  и  изменяться не будет, т. к. наилучший порядок уже был найден в испытании первой модели. Список характеристик, наилучших сочетаний входных параметров и максимальных погрешностей данного испытания показаны в табл. 5.

Таблица 5

Сводная таблица испытания № 4

Характеристика

Погр. (%)

Интенсивность потока заявок

Интенсивность потока обслуживания

Приведённая интенсивность потока заявок

Вероятность обслуживания

Вероятность простоя

Вероятность отказа

Коэффициент загрузки

Коэффициент простоя

Среднее число требований под обслуживанием

2 ЦМ числа требований под обслуживанием

Число требований в СМО

Время обслуживания

2 ЦМ времени обслуживания

 

Производить дальнейшие оценки данной модели, равно как и увеличивать максимальное число требований в системе, нет необходимости, динамические величины сходятся к значениям аналитических формул с приемлемой точностью. Наилучшие сочетания входных параметров в целом показаны в табл. 6.

Таблица 6

Наилучшее сочетание входных параметров в целом

Тип характеристик

Погрешность (%)

Моменты 1-го порядка

Момента порядка выше 1

 

Исследовано поведение модели [3] при различных наборах входных параметров, что позволило выявить наиболее удачные из этих сочетаний для созданных моделей СМО и отдельных характеристик, использование которых позволит снизить влияние ГСЧ на результаты прогонки. Результаты данного исследования будут полезны при поиске неизвестных пока аналитических формул характеристик СМО открытого типа с ограничениями.

 

Литература:

 

1.                  А. П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

2.                  Microsoft Developer Network, Руководство по программированию на C#. https://msdn.microsoft.com/, 2014.

3.                  Шемахин Е. Ю., Кирпичников А. П. Моделирование многоканальных открытых систем массового обслуживания с ограничениями в среде Visual Studio 2010, Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т.18, № 3.

Основные термины (генерируются автоматически): входных параметров, сочетаний входных параметров, наилучших сочетаний входных, входных параметров и максимальных, параметров и максимальных погрешностей, Определение входных параметров, входных параметров системы, требований в системе, сочетания входных параметров, входных параметров в целом, число требований в системе, максимального числа требований, максимальная погрешность, влияния входных параметров, и изменения входных параметров, оптимальных входных параметров, сочетанием входных параметров, наборах входных параметров, Список характеристик, СМО открытого типа.

Ключевые слова

моделирование, система массового обслуживания, характеристики системы, проверка динамических значений

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос