Библиографическое описание:

Волкова Т. Н., Гарькина И. А. Аппроксимация градуировочных характеристик средств измерений в материаловедении // Молодой ученый. — 2014. — №18. — С. 227-230.

 

Рассматриваются практические вопросы определения градуировочных характеристик средств измерений, используемых для анализа кинетики формирования физико-механических характеристик композиционных материалов при их аппроксимации ортогональными полиномами Чебышева.

Ключевые слова: композиты, свойства, средства измерений, градуировочные характеристики, аппроксимация, точность.

 

После определения математической модели системы проводится ее параметрическая идентификация (определение числовых параметров математической модели, при которых решение задачи соответствовало бы экспериментальным данным; найденные значения констант не должны противоречить физическому смыслу и теоретическим соображениям). Результаты во многом будут определяться точностью используемых средств измерений. Модели могут быть в разной степени формализованными [1…4], но все они должны обладать главным свойством: связать результаты наблюдений в некоторую общую картину. Численные характеристики изучаемой системы (процесса) могут быть константами (не изменяются в ходе процесса) или переменными. Часть из них может быть измерена лабораторными методами в ходе эксперимента (измеряемые константы и переменные), а другая либо вообще не может быть измерена современными методами, либо их измерение чрезвычайно трудоемко и дорого (не измеряемые константы и переменные).

Выбор метода идентификации определяется неоднозначно, ибо в самой постановке задачи заранее предполагается неопределенность (неполнота знаний об объекте, ограничения в наблюдениях объекта во времени, неточность измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.).

В силу значительной сложности структурная идентификация часто сводится к эвристическому заданию структуры модели, опираясь на априорные данные. Здесь эффективность последующей параметрической идентификации во многом определяется тем, насколько удачно была выбрана структура модели. В известных методах параметрической идентификации учитываются особенности исследуемой системы, условия функционирования, способ тестирования, способы анализа экспериментальных данных, вид получаемых моделей и др.

Всегда важным остается выбор процедуры сравнения для оценки адекватности получаемой модели объекту. Основное требование к модели — адекватность объекту изучения; иначе теряется смысл моделирования. Создание адекватной модели возможно лишь в случае, когда свойства и взаимосвязи моделируемого объекта в достаточной степени изучены. Адекватность частных математических моделей для описания формирования физико-механических характеристик материалов в значительной степени определяется выбором и поверкой средств измерений (по точности градуировочных характеристик [5,6]).

Рассмотрим использование ортогональных полиномов Чебышева  для аппроксимации градуировочных характеристик с указанием и способа выбора степени аппроксимирующего полинома.

Предполагается, что экспериментальные значения  известны точно; значения  содержат погрешности, которые имеют приближенно гауссовское распределение с дисперсиями . Тогда по данным можно последовательно построить, используя МНК, приближения полиномами со степенями :

, .

Максимальную степень полинома обычно выбирается, исходя из конкретной задачи (в большинстве случаев  не превышает 5).

Далее вычисляются остаточные суммы квадратов

и оценки дисперсии , соответствующие различным степеням :

.

Степень полинома повышают до тех пор, пока оценки  заметно убывают. Выбор степени полинома  осуществляется, исходя из точности построения ГХ в конкретной методике. При поверке используемых средств измерений характеристик композитов значение  выбиралось из условия, чтобы оценка была минимальна (); а также при принятом значении  оценка  перестает заметно убывать (). Если при всех степенях  выбранное условие не достигается, то максимальная степень полинома принимается равной .

Для выбора степени полинома можно использовать и методы перекрестного выбора. Здесь все данные разбивают на  группы (конкретные способы разбиения могут быть различны и устанавливаются в методиках). Одна из групп является проверочной, а по медианным точкам остальных групп строится полином . Согласие полинома с исходными данными оценивается по его отклонению от медианы проверочной выборки:

.

Описанную процедуру повторяют многократно, принимая последовательно каждую из групп за проверочную. В результате получится суммарный показатель адекватности полинома  исходным данным:

.

В качестве искомой степени полинома принимается значение , для которого показатель  минимален.

Рассмотрим далее оценку погрешностей ГХ, представленных в аналитической форме , которая производится на основе линеаризованного разложения

,

где коэффициенты

,,

- оценки параметров ГХ по данным , ; все производные вычисляются в точке .

Если границы погрешностей измерений величин  есть  и , то границы погрешности ГХ в точке  определятся из:

.

При известных характеристиках случайных и систематических составляющих погрешностей измерений величин характеристики погрешности ГХ в точке определятся из условий:

,

.

При этом доверительные границы случайной погрешности ГХ в точке  оценивают по формуле

,

где - коэффициент Стьюдента при вероятности  с числом степеней свободы ,  и  — объемы выборок, по которым получены оценки  и .

Если известно, что погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , , то можно построить приближенные доверительные границы погрешности ГХ в точке

,

исходя из  при ;  при

.

Если систематические погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные границы систематической погрешности ГХ в точке  вычисляются по формулам

, .

Если систематические погрешности исходных данных остаются примерно постоянными для всех точек диапазоне, то границы систематической погрешности ГХ в точке  оценивают по формуле

.

Предложенная методика использовалась при построении математических моделей отдельных свойств композиционных материалов [2,3,4,7].

 

Литература:

 

1.                  Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография / Данилов А. М., Гарькина И. А. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 308 с.

2.                  Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В. Математическое и компьютерное моделирование при синтезе строительных композитов: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. — 2010. — № 2. — С. 9–13.

3.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации. / Вестник гражданских инженеров. –2012. — № 2. — С. 333–337.

4.                  Королев Е. В., Смирнов В. А., Прошин А. П., Данилов А. М. Моделирование эволюции лиофобных дисперсных систем / Известия высших учебных заведений. Строительство. — 2004. — № 8. — С. 40–46.

5.                  Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография / И. А. Гарькина [и др.]; под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272 с.

6.                  Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных / Молодой ученый. — 2014. — № 4. — С. 295–297.

7.                  Гарькина И. А., Данилов А. М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / Известия ВУЗов. Строительство. — 2013. — № 8 (656). — С.28–33.

Основные термины (генерируются автоматически): средств измерений, степени полинома, градуировочных характеристик, характеристик средств измерений, формирования физико-механических характеристик, степень полинома, градуировочных характеристик средств, измерений характеристик, выбора степени полинома, степени аппроксимирующего полинома, Выбор степени полинома, искомой степени полинома, показатель адекватности полинома, Максимальную степень полинома, максимальная степень полинома, средств измерений характеристик, Согласие полинома с исходными, Степень полинома, методики измерений характеристик, физико-механических характеристик композиционных.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос