Аппроксимация градуировочных характеристик средств измерений в материаловедении | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №18 (77) ноябрь-1 2014 г.

Дата публикации: 31.10.2014

Статья просмотрена: 96 раз

Библиографическое описание:

Волкова Т. Н., Гарькина И. А. Аппроксимация градуировочных характеристик средств измерений в материаловедении // Молодой ученый. — 2014. — №18. — С. 227-230. — URL https://moluch.ru/archive/77/13451/ (дата обращения: 19.07.2018).

 

Рассматриваются практические вопросы определения градуировочных характеристик средств измерений, используемых для анализа кинетики формирования физико-механических характеристик композиционных материалов при их аппроксимации ортогональными полиномами Чебышева.

Ключевые слова: композиты, свойства, средства измерений, градуировочные характеристики, аппроксимация, точность.

 

После определения математической модели системы проводится ее параметрическая идентификация (определение числовых параметров математической модели, при которых решение задачи соответствовало бы экспериментальным данным; найденные значения констант не должны противоречить физическому смыслу и теоретическим соображениям). Результаты во многом будут определяться точностью используемых средств измерений. Модели могут быть в разной степени формализованными [1…4], но все они должны обладать главным свойством: связать результаты наблюдений в некоторую общую картину. Численные характеристики изучаемой системы (процесса) могут быть константами (не изменяются в ходе процесса) или переменными. Часть из них может быть измерена лабораторными методами в ходе эксперимента (измеряемые константы и переменные), а другая либо вообще не может быть измерена современными методами, либо их измерение чрезвычайно трудоемко и дорого (не измеряемые константы и переменные).

Выбор метода идентификации определяется неоднозначно, ибо в самой постановке задачи заранее предполагается неопределенность (неполнота знаний об объекте, ограничения в наблюдениях объекта во времени, неточность измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.).

В силу значительной сложности структурная идентификация часто сводится к эвристическому заданию структуры модели, опираясь на априорные данные. Здесь эффективность последующей параметрической идентификации во многом определяется тем, насколько удачно была выбрана структура модели. В известных методах параметрической идентификации учитываются особенности исследуемой системы, условия функционирования, способ тестирования, способы анализа экспериментальных данных, вид получаемых моделей и др.

Всегда важным остается выбор процедуры сравнения для оценки адекватности получаемой модели объекту. Основное требование к модели — адекватность объекту изучения; иначе теряется смысл моделирования. Создание адекватной модели возможно лишь в случае, когда свойства и взаимосвязи моделируемого объекта в достаточной степени изучены. Адекватность частных математических моделей для описания формирования физико-механических характеристик материалов в значительной степени определяется выбором и поверкой средств измерений (по точности градуировочных характеристик [5,6]).

Рассмотрим использование ортогональных полиномов Чебышева  для аппроксимации градуировочных характеристик с указанием и способа выбора степени аппроксимирующего полинома.

Предполагается, что экспериментальные значения  известны точно; значения  содержат погрешности, которые имеют приближенно гауссовское распределение с дисперсиями . Тогда по данным можно последовательно построить, используя МНК, приближения полиномами со степенями :

, .

Максимальную степень полинома обычно выбирается, исходя из конкретной задачи (в большинстве случаев  не превышает 5).

Далее вычисляются остаточные суммы квадратов

и оценки дисперсии , соответствующие различным степеням :

.

Степень полинома повышают до тех пор, пока оценки  заметно убывают. Выбор степени полинома  осуществляется, исходя из точности построения ГХ в конкретной методике. При поверке используемых средств измерений характеристик композитов значение  выбиралось из условия, чтобы оценка была минимальна (); а также при принятом значении  оценка  перестает заметно убывать (). Если при всех степенях  выбранное условие не достигается, то максимальная степень полинома принимается равной .

Для выбора степени полинома можно использовать и методы перекрестного выбора. Здесь все данные разбивают на  группы (конкретные способы разбиения могут быть различны и устанавливаются в методиках). Одна из групп является проверочной, а по медианным точкам остальных групп строится полином . Согласие полинома с исходными данными оценивается по его отклонению от медианы проверочной выборки:

.

Описанную процедуру повторяют многократно, принимая последовательно каждую из групп за проверочную. В результате получится суммарный показатель адекватности полинома  исходным данным:

.

В качестве искомой степени полинома принимается значение , для которого показатель  минимален.

Рассмотрим далее оценку погрешностей ГХ, представленных в аналитической форме , которая производится на основе линеаризованного разложения

,

где коэффициенты

,,

- оценки параметров ГХ по данным , ; все производные вычисляются в точке .

Если границы погрешностей измерений величин  есть  и , то границы погрешности ГХ в точке  определятся из:

.

При известных характеристиках случайных и систематических составляющих погрешностей измерений величин характеристики погрешности ГХ в точке определятся из условий:

,

.

При этом доверительные границы случайной погрешности ГХ в точке  оценивают по формуле

,

где - коэффициент Стьюдента при вероятности  с числом степеней свободы ,  и  — объемы выборок, по которым получены оценки  и .

Если известно, что погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , , то можно построить приближенные доверительные границы погрешности ГХ в точке

,

исходя из  при ;  при

.

Если систематические погрешности исходных данных изменяются нерегулярным образом в заданных границах , то приближенные границы систематической погрешности ГХ в точке  вычисляются по формулам

, .

Если систематические погрешности исходных данных остаются примерно постоянными для всех точек диапазоне, то границы систематической погрешности ГХ в точке  оценивают по формуле

.

Предложенная методика использовалась при построении математических моделей отдельных свойств композиционных материалов [2,3,4,7].

 

Литература:

 

1.                  Сложные системы: идентификация, синтез, управление: монография / Данилов А. М., Гарькина И. А. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 308 с.

2.                  Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В. Математическое и компьютерное моделирование при синтезе строительных композитов: состояние и перспективы / Региональная архитектура и строительство. — 2010. — № 2. — С. 9–13.

3.                  Данилов А. М., Гарькина И. А. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации. / Вестник гражданских инженеров. –2012. — № 2. — С. 333–337.

4.                  Королев Е. В., Смирнов В. А., Прошин А. П., Данилов А. М. Моделирование эволюции лиофобных дисперсных систем / Известия высших учебных заведений. Строительство. — 2004. — № 8. — С. 40–46.

5.                  Планирование эксперимента. Обработка опытных данных: монография / И. А. Гарькина [и др.]; под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип. — 2005. — 272 с.

6.                  Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных / Молодой ученый. — 2014. — № 4. — С. 295–297.

7.                  Гарькина И. А., Данилов А. М. Опыт разработки композиционных материалов: некоторые аспекты математического моделирования / Известия ВУЗов. Строительство. — 2013. — № 8 (656). — С.28–33.

Основные термины (генерируются автоматически): данные, полином, граница, модель, нерегулярный образ, параметрическая идентификация, систематическая погрешность, характеристика.


Похожие статьи

Методические погрешности параметрической идентификации...

Методические погрешности параметрической идентификации динамической системы по данным нормальной эксплуатации.

2. Гарькина И.А, Данилов А. М., Пылайкин С. А. Транспортные эргатические системы: информационные модели и управление / Мир...

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Рис.4. Результаты параметрической идентификации моделей.

Таким образом, получение адекватной модели объекта как минимум позволяет избежать проблем, связанных с «выпадением» системы управления из области устойчивости, и как максимум обеспечивает...

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

· параметрический уровень неопределенности, при котором известны структура модели объекта с точностью до набора параметров и

Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к задаче оптимизации этого критерия по неизвестным параметрам.

Непараметрические модели статических объектов при наличии...

Таким образом, предлагается использовать второй порядок аппроксимирующего полинома .

3. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я

Математические модели для определения статических и динамических характеристик...

Управление линейной динамической системой в условиях...

Таким образом, используя описанный алгоритм идентификации, мы получаем качественную модель, довольно точно описывающую поведение объекта.

Однако в рассматриваемом случае, в условиях недостатка информации для построения параметрической модели...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Ключевые слова: априорная информация, непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики, непараметрические оценки.

Таким образом, мы находимся в ситуации, когда задача идентификации формулируется в условиях и параметрической, и непараметрической...

Композиционные материалы: методики измерений характеристик...

Полином.

Основные термины (генерируются автоматически): вес, погрешность, нерегулярный образ, граница, граница погрешностей, метод построения, выходная величина, распределение погрешностей, распределение погрешностей измерений, характеристика...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Особенности задачи состоят в том, что а) исходно функция-модель (8) бывает плохо масштабированной, т. к. величины компонентов вектора параметров часто различаются между собой на несколько порядков, б) небольшие погрешности опытных данных приводят к...

Методические погрешности параметрической идентификации...

Методические погрешности параметрической идентификации динамической системы по данным нормальной эксплуатации.

2. Гарькина И.А, Данилов А. М., Пылайкин С. А. Транспортные эргатические системы: информационные модели и управление / Мир...

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Рис.4. Результаты параметрической идентификации моделей.

Таким образом, получение адекватной модели объекта как минимум позволяет избежать проблем, связанных с «выпадением» системы управления из области устойчивости, и как максимум обеспечивает...

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

· параметрический уровень неопределенности, при котором известны структура модели объекта с точностью до набора параметров и

Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к задаче оптимизации этого критерия по неизвестным параметрам.

Непараметрические модели статических объектов при наличии...

Таким образом, предлагается использовать второй порядок аппроксимирующего полинома .

3. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я

Математические модели для определения статических и динамических характеристик...

Управление линейной динамической системой в условиях...

Таким образом, используя описанный алгоритм идентификации, мы получаем качественную модель, довольно точно описывающую поведение объекта.

Однако в рассматриваемом случае, в условиях недостатка информации для построения параметрической модели...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Ключевые слова: априорная информация, непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики, непараметрические оценки.

Таким образом, мы находимся в ситуации, когда задача идентификации формулируется в условиях и параметрической, и непараметрической...

Композиционные материалы: методики измерений характеристик...

Полином.

Основные термины (генерируются автоматически): вес, погрешность, нерегулярный образ, граница, граница погрешностей, метод построения, выходная величина, распределение погрешностей, распределение погрешностей измерений, характеристика...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Особенности задачи состоят в том, что а) исходно функция-модель (8) бывает плохо масштабированной, т. к. величины компонентов вектора параметров часто различаются между собой на несколько порядков, б) небольшие погрешности опытных данных приводят к...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Методические погрешности параметрической идентификации...

Методические погрешности параметрической идентификации динамической системы по данным нормальной эксплуатации.

2. Гарькина И.А, Данилов А. М., Пылайкин С. А. Транспортные эргатические системы: информационные модели и управление / Мир...

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Рис.4. Результаты параметрической идентификации моделей.

Таким образом, получение адекватной модели объекта как минимум позволяет избежать проблем, связанных с «выпадением» системы управления из области устойчивости, и как максимум обеспечивает...

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

· параметрический уровень неопределенности, при котором известны структура модели объекта с точностью до набора параметров и

Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к задаче оптимизации этого критерия по неизвестным параметрам.

Непараметрические модели статических объектов при наличии...

Таким образом, предлагается использовать второй порядок аппроксимирующего полинома .

3. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я

Математические модели для определения статических и динамических характеристик...

Управление линейной динамической системой в условиях...

Таким образом, используя описанный алгоритм идентификации, мы получаем качественную модель, довольно точно описывающую поведение объекта.

Однако в рассматриваемом случае, в условиях недостатка информации для построения параметрической модели...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Ключевые слова: априорная информация, непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики, непараметрические оценки.

Таким образом, мы находимся в ситуации, когда задача идентификации формулируется в условиях и параметрической, и непараметрической...

Композиционные материалы: методики измерений характеристик...

Полином.

Основные термины (генерируются автоматически): вес, погрешность, нерегулярный образ, граница, граница погрешностей, метод построения, выходная величина, распределение погрешностей, распределение погрешностей измерений, характеристика...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Особенности задачи состоят в том, что а) исходно функция-модель (8) бывает плохо масштабированной, т. к. величины компонентов вектора параметров часто различаются между собой на несколько порядков, б) небольшие погрешности опытных данных приводят к...

Методические погрешности параметрической идентификации...

Методические погрешности параметрической идентификации динамической системы по данным нормальной эксплуатации.

2. Гарькина И.А, Данилов А. М., Пылайкин С. А. Транспортные эргатические системы: информационные модели и управление / Мир...

О выборе параметрической модели в задаче непараметрической...

Рис.4. Результаты параметрической идентификации моделей.

Таким образом, получение адекватной модели объекта как минимум позволяет избежать проблем, связанных с «выпадением» системы управления из области устойчивости, и как максимум обеспечивает...

Идентификация многосвязных объектов в условиях частичной...

· параметрический уровень неопределенности, при котором известны структура модели объекта с точностью до набора параметров и

Таким образом, задача параметрической идентификации сводится к задаче оптимизации этого критерия по неизвестным параметрам.

Непараметрические модели статических объектов при наличии...

Таким образом, предлагается использовать второй порядок аппроксимирующего полинома .

3. Катковник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В.Я

Математические модели для определения статических и динамических характеристик...

Управление линейной динамической системой в условиях...

Таким образом, используя описанный алгоритм идентификации, мы получаем качественную модель, довольно точно описывающую поведение объекта.

Однако в рассматриваемом случае, в условиях недостатка информации для построения параметрической модели...

О непараметрическом оценивании взаимно неоднозначных...

Ключевые слова: априорная информация, непараметрическая модель, взаимно неоднозначные характеристики, непараметрические оценки.

Таким образом, мы находимся в ситуации, когда задача идентификации формулируется в условиях и параметрической, и непараметрической...

Композиционные материалы: методики измерений характеристик...

Полином.

Основные термины (генерируются автоматически): вес, погрешность, нерегулярный образ, граница, граница погрешностей, метод построения, выходная величина, распределение погрешностей, распределение погрешностей измерений, характеристика...

Алгоритм интервального оценивания параметров нелинейных...

Особенности задачи состоят в том, что а) исходно функция-модель (8) бывает плохо масштабированной, т. к. величины компонентов вектора параметров часто различаются между собой на несколько порядков, б) небольшие погрешности опытных данных приводят к...

Задать вопрос