Моделирование наката одиночной волны на вертикальную стенку с примыкающим к ней затопленным уступом | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №8 (67) июнь-1 2014 г.

Дата публикации: 03.06.2014

Статья просмотрена: 17 раз

Библиографическое описание:

Максимов В. В., Фомин А. Н. Моделирование наката одиночной волны на вертикальную стенку с примыкающим к ней затопленным уступом // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 206-210. — URL https://moluch.ru/archive/67/11425/ (дата обращения: 27.05.2018).

В данной работе рассматривается задача о накате одиночной волны на защитные сооружения типа вертикальной стенки с примыкающим к ней затопленным уступом. Решение задачи получено методом преобразования Лапласа и сращивания подобластей.

Ключевые слова: одиночная волна, накат, защитные сооружения.

Идеальная несжимаемая однородная жидкость в состоянии покоя занимает область, ограниченную горизонтальной свободной поверхностью, горизонтальными участками дна с глубинами  и , наклонным участком дна с углом  и вертикальной стенкой. Пусть в начальный момент времени  на некотором удалении от вертикальной стенки появляется возмущение в виде одиночной волны, имеющей профиль  Известно [1], что эта задача — нелинейна. Требуется определить форму свободной поверхности  в произвольный момент времени  В линейной постановке эта задача сводится к смешанной задаче для волнового уравнения с переменными коэффициентами [1].

1.     Постановка задачи. Требуется отыскать функцию  в области

являющуюся решением уравнения

где  — ускорение свободного падения;  — глубина жидкости

удовлетворяющую начальным условиям

и граничным условиям

2.     Метод решения.

Для построения решения воспользуемся методом сращивания подобластей. Для этого разобьем область на 3 подобласти точками  и . В каждой из подобластей будем строить решение задачи, определяя неизвестные константы из условий непрерывности волнового профиля и непрерывного изменения скорости в точках сопряжения:

3.     Построение решения в подобласти 1.

В подобласти 1 имеем следующую задачу:

Применим к поставленной задаче преобразование Лапласа. Обозначим изображение функции  через , т. е.  Здесь  — изображение функции  — комплексный параметр. Смешанная задача, с учетом начальных и краевых условий, в пространстве изображений примет вид:

Решая полученную задачу, имеем представление решения в подобласти 1:

где  — некоторая неизвестная пока константа.

4.     Построение решения в подобласти 2.

Задача в этой подобласти имеет вид:

Применим преобразование Лапласа к сформулированной задаче. Обозначим изображение функции  через , т. е.  Здесь  — изображение функции  — комплексный параметр. Получим в изображениях следующее уравнение:

Решением его является выражение:

где

 — цилиндрические функции мнимого аргумента,  — неизвестные постоянные.

5.     Построение решения в подобласти 3.

Задача в этой подобласти имеет вид:

Применим преобразование Лапласа к поставленной задаче. Положим , где  — изображение функции ,  — комплексный параметр. Получим в пространстве изображений следующую задачу:

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

Оно имеет общее решение:

где  — произвольные константы. Общее решение неоднородного уравнения найдем методом Лагранжа. Представим его в виде:

Составим систему уравнений для определения производных неизвестных функций :

Решая ее, получаем:  Отсюда, имеем:

где  — постоянные. Поэтому

В силу условия ограниченности:  Таким образом, решение задачи в подобласти 3 в пространстве изображений имеет вид:

где  — некоторая постоянная. Перепишем это решение несколько иначе:

6.     Сращивание решений.

Введем обозначения:

Тогда:

Условия сращивания имеют вид:

Учитывая предложенные представления решений в подобластях и соотношения между бесселевыми функциями [2]:

получаем систему уравнений для нахождения неизвестных  и  Выпишем ее в матричной форме:

Здесь

где верхний индекс T означает операцию транспонирования.

Решая эту систему методом исключения, получаем следующие выражения для определения постоянных:

Полученные выражения полностью решают задачу в пространстве изображений. Поскольку они имеют довольно сложный вид, обращение преобразования Лапласа для нахождения решения исходной задачи следует выполнять каким-либо численным методом, например, разложением решения в ряд Фурье [3]. Можно воспользоваться процедурами обращения, содержащимися в математических комплексах Maple или Mathematica [4].

Литература:

1.                  Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Ч.1. — М.: Физматгиз, 1963.

2.                  Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. —Под ред. А. Джеффри, Д. Цвилингера. — 7-е изд.: Пер. с англ. под ред. В. В. Максимова. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011.

3.                  Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обратного преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1974.

4.                  Кристалинский В. Р., Кристалинский Р. Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики: Учебное пособие для вузов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006.

Основные термины (генерируются автоматически): изображение функции, Построение решения, подобласть, задача, решение задачи, пространство изображений, одиночная волна, комплексный параметр, вертикальная стенка, общее решение.


Ключевые слова

одиночная волна, накат, защитные сооружения

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос