Автор: Алламуродова Нилуфар Тангировна

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №6 (65) май-1 2014 г.

Дата публикации: 22.04.2014

Статья просмотрена: 415 раз

Библиографическое описание:

Алламуродова Н. Т. Применение теоремы Паппа-Гульдена // Молодой ученый. — 2014. — №6. — С. 1-2.

Методика нахождения объемов и плошадь поверхности разнообразны, следует отметит следующие основные методы.

1)   Объемы тел вращения определяются как пределы последовательностей объемов вписанных и описанных многогранников, при этом сложность составляет вычисление объёма шара, приходится выводить формулу для объема тела вращения через определенный интеграл.

2)   Вычисление объёмов тел с помощью определенного интеграла.

3)   С помощью принципа Кавальери, который принимается за дополнительную аксиому объёмов.

4)   По формуле Симпсона.

Разработана методика изучения темы в условиях профильной школы.

1)        Применение принципа Кавальери для нахождения объема шара и его частей, объема “арбузной дольки”, “шарового кольца”, “копыта” (через центр основания прямого кругового цилиндра под острым углом к плоскости основания проходит плоскости).

2)        Применение теоремы Гульдена-Паппа для нахождения объемов тел, возникающих при вращении треугольника, трапеции, полукруга, круга, четверти круга, сегмента круга (объем тела вращения фигура, лежащей в плоскости целиком по одну строну от оси вращения, равен произведению площади фигуры и длины окружности, которую описывает центр масс фигуры при вращении:

3)        Эквивалентные замены, при нахождение объема тела вращения (фигура вращения, оси).

В качестве собственного открытия Папп формулирует теорему относительно объемов тел вращения, которая, в сущности, есть не что иное, как известная теперь «теорема Паппа-Гульдена». Там же содержаться комментарии к работам Аполлония Пергского, в частности к его «коническим сечениям». Много работ посвящена, в большей своей части механике, но содержит, кроме того, и построение конического сечения, проходящего через пять данных точек. Поводом для этого послужила задача: определить диаметр цилиндрической колонны по произвольному ее обломку. Папп написал ряд других трудов, в частности трактат «Хронография математики», в котором положил начало алгебраическим знаком, что было немаловажным достижением, если учитывать те трудности, которые возникали при письменной передачи математических достижений. К сожалению труди эти были безвозвратно утеряны. Многие леммы Паппа содержат, идеи уже настоящей проективной геометрии. И когда спустя много веков люди это осознали, Папп был назван последним великим геометром древности. Но помимо достижений в геометрии Папп достиг достаточно высокого уровня и в разработке практического применения интегрального исчисления. Один из важнейших теорем высшей математики были сформулированы им а через много веков над ними работал Гульден. Теперь они известны как 1-я и 2-я теоремы Паппа-Гульдена. 1-я теорема Паппа-Гульдена Ордината центра тяжести дуги плоской кривой: Площадь поверхности тела вращения равно произведению длины окружности, описываемой центром тяжести, на длину этой кривой 2-я теорема Паппа-Гульдена: Объем тела вращения равен произведению длины окружности, описываемой центром тяжести фигуры на ее площадь. Эти теоремы используется в инженерной практике, особенно, если кривая или фигура сложной формы. Таким образом, в XVII веке началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед.

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Б.Кавальери. В переписке с Г.Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблема, и в частности метод «неделимых». В 1635 г вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых гостей непрерывных величин».

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовать фигуры, не меняя их площадей. Например разрезать на части и составлять новые. Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

Можно ли аналогичным образом преобразовать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется.

Приведем пример. Найти координаты центра масс полуокружности

Решение. Вследствие симметрии  при вращении полуокружности вокруг оси ох получается сфера, площадь поверхности которой равна  а длина окружности равна . По теореме Гульдена имеем . Отсюда  т. е. центр масс С имеет координата .

Найти объём усечённой пирамиды с высотой и площадями верхнего и нижнего оснований

Решение. Если продолжить рёбра усечённой пирамиды, все они пересекутся в некоторой точке. Пусть ось ориентирована вдоль высоты пирамиды, начало координат — в плоскости верхней грани пирамиды. Тогда площадь сечений пирамиды  описывается квадратичной функцией. Чтобы задать произвольную квадратичную функцию (описывающую не только пирамиду), достаточно знать её значение в трех точках. Удобно использовать в качестве опорных верхнее и нижнее основание, приписав им координаты по равные и ,исреднее сечение (на половине высоты тела) с площадью . Для усечённой пирамиды все линейные элементы равны полу сумме соответствующих элементов оснований, поэтому из правил подобия

Это прямая призма с площадью , площадь сечения которой не зависит от , половина такой призмы с площадью основания . Её площадь сечения пропорциональна . И обычная пирамида с площадью основания , площадь сечения которой пропорциональна . Приравняем значения суммарной площади тел сравнения и исследуемой усечённой пирамиды в трёх точках по . При  обе площади , приполучим  При  получим

Для выбранных таким образом тел площади сечения при любом совпадают, поэтому объём усеченной пирамиды равен сумме объёмов тел сравнения:

Эту формулу называют формулой Ньютона — Симпсона. Для усечённой пирамиды:

Литература:

1.         И. Ф. Шарыгин. Геометрия. Стереометрия. 10–11 кл.: Пособие для учащихся. –М.: Дрофа, 1998. — 272 с.

2.         В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрия. –М.: «НАУКА», 1989, Библиотека математического кружка, вып. 19. — 287 с.

3.         Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10–11: М. Просвещение, 2004.

4.         Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математике.-М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

5.         Маркущевич А.И «Детская энциклопедия. Мир небесных тел, Числа и фигура» М.: Педагогика 1972-г.

Основные термины (генерируются автоматически): тела вращения, усечённой пирамиды, объема тела вращения, тел вращения, площадь сечения, Объемы тел вращения, объемов тел вращения, тела вращения фигура, тела вращения равен, произведению длины окружности, поверхности тела вращения, тел сравнения, принципа Кавальери, тел площади сечения, фигура вращения, пирамиды равен сумме, равен произведению, нахождения объемов тел, площадь сечений пирамиды, оси вращения.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос