Оптимизация режимов работы газотранспортных сетей является одной из ключевых задач в области энергетического менеджмента. Центральную роль в этих сетях играют компрессорные станции, предназначенные для повышения давления газа и компенсации его падения вдоль магистральных трубопроводов. Базовыми переменными состояния при моделировании любого элемента газовой сети являются массовый расход q, а также входное и выходное давления. Модель всей сети строится путём объединения моделей отдельных элементов через условия сохранения потока и связи давлений.

Детальные модели компрессорных агрегатов [2, 7] требуют введения дополнительных переменных и содержат множество нелинейных соотношений. Для моделирования целой компрессорной станции такая детальная модель комбинируется с моделью выбора конфигурации, что приводит к нелинейной и невыпуклой задаче смешанно-целочисленного нелинейного программирования. Однако для стратегических и тактических задач — планирования расширения сети [1] или оценки её пропускной способности [4] — достаточно более простых моделей. В этих приложениях, где часто требуется поиск глобально оптимальных решений, особый интерес представляют выпуклые или полиэдральные модели с минимальным числом целочисленных переменных.

В 2017 году была создана библиотека GasLib [5], содержащая реалистичные данные о газовых сетях. Однако исходные данные GasLib для компрессорных агрегатов включали только параметры детальной модели, что затрудняло использование упрощённых моделей. В данной статье рассматриваются способы построения упрощённых моделей и вывода их числовых параметров из детальных данных, а также описывается расширение формата GasLib для хранения этих параметров.

В работе рассматриваются модели трёх уровней: компрессорный агрегат, конфигурация (последовательно-параллельное соединение машин) и компрессорная группа (выбор конфигурации). Для каждого уровня предложены варианты от детальных нелинейных до линейных полиэдральных и интервальных моделей. Технически компрессорная станция состоит из компрессорных групп, каждая из которых может работать в активном, закрытом или байпасном режиме. Активная группа реализует одну из нескольких предопределённых конфигураций. Пример такой группы показан на рис. 1.

Рис. 1. Компрессорная группа с двумя компрессорами и байпасом

Физика сжатия газа описывается уравнением состояния реального газа с коэффициентом сжимаемости . Для идеального газа z = 1, а для реального используется модифицированное уравнение . Коэффициент сжимаемости может вычисляться по формуле AGA: или по формуле PAPAY: , где и — псевдокритические давление и температура. На рис. 2 показана зависимость z от давления при стандартной температуре для обоих методов.

Рис. 2. Коэффициент сжимаемости природного газа по формулам AGA и PAPAY

Для турбокомпрессоров допустимый рабочий диапазон задаётся характеристической диаграммой в плоскости объёмного расхода Q и адиабатического напора . Эти величины связаны с основными переменными через соотношения: . Границы диаграммы описываются квадратичными полиномами вида , что даёт ограничения типа . Для активной машины частота вращения n связана через биквадратное уравнение , а адиабатический КПД . Для поршневых компрессоров КПД постоянен, а объёмный расход связан с частотой вращения через рабочий объём , что даёт ограничения , а также ограничения на крутящий момент и на давление. Примеры характеристических диаграмм обоих типов приведены на рис. 3.

Рис. 3. Характеристические диаграммы турбо- (a) и поршневого (b) компрессоров

Мощность, потребляемая компрессором, определяется как . Максимальная мощность привода ограничена функцией или , а удельный расход энергии . Эти зависимости проиллюстрированы на рис. 4.

Рис. 4. Характеристики компрессорного привода: (a) мощность, (b) энергопотребление

Для упрощения решения оптимизационных задач разработаны модели пониженной сложности. Идеализированная модель предполагает постоянный КПД и заменяет характеристические диаграммы простыми ограничениями на мощность: . Модель без привода опускает ограничения, связанные с приводом, оставляя только ограничения характеристической диаграммы. Полиэдральная модель в пространстве ( ) строит внешнюю линейную аппроксимацию характеристической диаграммы: для всех граней f из множества . Пример показан на рис. 5.

Рис. 5. Линейная аппроксимация характеристической диаграммы турбокомпрессора

Наиболее практически значимой является полиэдральная модель непосредственно в пространстве исходных переменных . Для турбокомпрессора она строится путём преобразования точек характеристической диаграммы в лучи, отбора допустимых по мощности точек и построения их выпуклой оболочки, после чего добавляются технические ограничения . Итоговая модель имеет вид для всех граней f. Для поршневого компрессора ограничения выводятся прямо из параметров машины, например, и аналогично для максимума, а также . На рис. 6 показаны типичные рабочие области для обоих типов.

Рис. 6. Рабочие диапазоны в пространстве (q, p ⁱⁿ , p ^out ) для турбо- (слева) и поршневого (справа) компрессоров

Самой грубой, но и самой быстрой является модель с ограничениями-боксами, которая задаёт независимые интервалы для расхода, давлений, абсолютного и относительного перепада: . На рис. 7 показано сравнение области, полученной такой моделью, с точной полиэдральной областью.

Рис. 7. Допустимая область модели с боксами (зелёный) относительно полиэдральной модели

Модели отдельных машин обобщаются на конфигурации. Для параллельного соединения массовые расходы складываются при равенстве давлений, для последовательного — расход одинаков, а выходное давление предыдущей ступени равно входному следующей. Формально для конфигурации с множеством ступеней вводятся переменные , и модель подсети записывается как . Для всей группы вводится выбор активной конфигурации с помощью двоичных переменных . Либо используется выпуклая оболочка объединения полиэдров всех конфигураций: , что сохраняет линейность.

Практическая реализация упрощённых моделей обеспечена расширением библиотеки GasLib. В формат XML добавлен тег , содержащий все предварительно вычисленные параметры для различных температур газа (0, 15, 30, 45 °C). Параметры рассчитывались для чистого метана с молярной массой 16,043 кг/кмоль, удельной газовой постоянной 0,5183 кДж/(кг·К), псевдокритическим давлением 45,922 бар, псевдокритической температурой 190,564 К и показателем изоэнтропы = 1,304.

Предложенные полиэдральные модели позволяют заменить нелинейные характеристики компрессоров линейными ограничениями с малой погрешностью. Они интегрируются в задачи линейного и смешанно-целочисленного линейного программирования, что делает их идеальным инструментом для стратегического планирования и оценки пропускной способности газовых сетей. Расширение GasLib открывает возможность широкого использования этих моделей на реальных данных.

Литература:

1. Borraz-Sanchez C., Bent R., Backhaus S. et al. Convex relaxations for gas expansion planning. — INFORMS J. Comp., 2016, vol. 28, no. 4, pp. 645–656.
2. Fugenschuh A., Geißler B., Gollmer R. et al. Physical and technical fundamentals of gas networks. — In: Koch T., Hiller B., Pfetsch M., Schewe L. (eds.) Evaluating Gas Network Capacities. — Philadelphia: SIAM, 2015.
3. Hiller B., Saitenmacher R., Walther T. Polyhedral 3d models for compressors in gas networks. — ZIB-Report 17–66, Zuse Institute Berlin, 2017.
4. Koch T., Hiller B., Pfetsch M. E. et al. Evaluating Gas Network Capacities. — Philadelphia: SIAM, 2015.
5. Schmidt M., Aßmann D., Burlacu R. et al. GasLib — A Library of Gas Network Instances. — Preprint TRR 154, 2017.
6. Schmidt M., Steinbach M. C., Willert B. M. High detail stationary optimization models for gas networks. — Optimization and Engineering, 2015, vol. 16, no. 1, pp. 131–164.
7. Schmidt M., Steinbach M. C., Willert B. M. The precise NLP model. — In: Koch T. et al. (eds.) Evaluating Gas Network Capacities. — Philadelphia: SIAM, 2015.
8. Walther T., Hiller B. Modelling compressor stations in gas networks. — Berlin: Zuse Institute Berlin, 2017. — ZIB-Report 17–67.