В работе изучены дифференциально-геометрические скобки Пуассона третьего порядка на одномерном многообразии M.
Ключевые слова: скобка Пуассона, метрика, связность, кручение, кривизна
Homogeneous differential-geometric Poisson brackets define a certain geometric structure on manifold . The complete classification of such brackets of the order p=1 and p=2 is known.
The conditions for Poisson brackets of the third order in scalar case are given.
Современные представления о физически осмысленных системах состоят в том, что консервативные системы должны быть гамильтоновы. Однако, как показывают примеры, гамильтонов формализм может быть нетривиальным, не сводящимся к лагранжеву формализму. В основе теоретико-полевого гамильтонова формализма лежит понятие скобки Пуассона. Рассмотрим функциональные пространства, состоящие из 
-гладких функций 
, не уточняя их области определения и граничных условий. При этом будем считать, что интеграл по всему пространству от полной производной всегда равен нулю.
Скобка Пуассона определяется для функционалов от полей 
Но, следуя принятому в теоретической физике формализму, её удобно записывать через «точечные функционалы», сосредоточенные на одном из полей в одной точке. Для одной пространственной переменной дифференциально-геометрическая скобка Пуассона третьего порядка на многообразии M имеет вид [1]:
(1)
Здесь коэффициенты 
зависят только от координат 
, но не от их производных. Каждое слагаемое имеет степень однородности три относительно естественной градуировки
.
Рассмотрим общий случай: 
. При локальных преобразованиях переменных вида 
коэффициенты 
преобразуются как компоненты тензора типа (2,0), а величины 
преобразуются как компоненты дифференциально-геометрических связностей.
В работах [2], [3] была доказана теорема о том, что «последняя связность» 
в скобке Пуассона (1) симметрична и имеет нулевую кривизну. Тогда существует такая система координат, в которой компоненты «последней связности» равны нулю. Такие локальные координаты определены с точностью до аффинных преобразований. В специальных координатах выполнены также условия:
.
Скобка Пуассона (1) принимает вид:
. (2)
Коэффициенты в (2) должны удовлетворять условиям:
(3)
(4)
(5)
(6)
Скобку Пуассона (1) можно записать тогда в виде:
.
Условия (3)-(6) выглядят значительно проще для дифференциально-геометрических объектов с нижними индексами 
:
(7)
(8)
(9)
(10)
Отсюда, в частности, следует, что метрика 
квадратично зависит от :
.
Тензор кручения 
, удовлетворяющий соотношениям (7)–(10) и постоянная матрица 
полностью определяют невырожденную однородную дифференциально-геометрическую скобку Пуассона третьего порядка. Полная классификация таких скобок для произвольной размерности пока не найдена.
Такие пуассоновы структуры имеют важные и интересные нетривиальные приложения для некоторых нелинейных систем, например, уравнений Монжа-Ампера и уравнений ассоциативности двумерной топологической теории поля [4].
В доказательстве теоремы в работе [2] был пропущен случай N=1, т. е. когда соответствующий гамильтонов оператор является скалярным. Здесь этот пробел будет восполнен.
В скалярном случае скобку Пуассона можно записать:
- функции только переменной u.
Из условия кососимметричности скобки Пуассона получаем такие соотношения вместо (3):
(11)
Непосредственная проверка тождества Якоби даёт условия вместо (4)-(6):
и 
(12)
Тогда из (11) и (12) следует, что:
, 
, 
Окончательно, коэффициенты в скобке Пуассона третьего порядка в скалярном случае получаются:
, 
,
где g–произвольная функция от u(x).
Скобка Пуассона (1) в этом случае принимает вид:
Литература:
1. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков Гидродинамика слабо деформированных солитонных решёток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория // УМН, 1989, т.44, вып.6, с.29–98
2. Г. В. Потёмин Некоторые вопросы дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии в теории солитонов // Диссертация на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М.:МГУ, 1991
3. Г. В. Потёмин О дифференциально-геометрических скобках Пуассона третьего порядка // УМН, 1997, т.52, вып.3, с.173–174
4. E. V. Ferapontov, G. A. P.Galvao, O. I. Mokhov, Y. Nutku Bi-Hamiltonian Structure of Equations of Associativity in 2-d Topological Field Theory // Comm.Math.Phys. 1997, v.186, p.649–669
