Автор: Турсунов Фарход Рузикулович

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (61) февраль 2014 г.

Дата публикации: 03.02.2014

Статья просмотрена: 145 раз

Библиографическое описание:

Турсунов Ф. Р. Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 30-35.

В работе изучается задача продолжения решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в области  по ее известным значениям  на гладкой части  границы т.е. задача Коши для решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами.

В работе строится семейство вектор функций  зависящих от параметра , и доказывается, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра  семейство  сходится в обычном смысле к решению  в точке  при . Семейство называется регуляризованным решением задачи Коши по М.М. Лаврентьеву.

Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей путем предельного перехода погасить влияние интегралов по части границы, где значения продолжаемой функции не заданы. Идею Карлемана развили Г.М. Голузин и В.И. Крылов, которые нашли общий способ получения формул Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана. А.Н. Тихонов показал, что если решение какой–либо некорректной задачи существует и принадлежит компактному подмножеству соответствующего функционального пространства, то из единственности следует устойчивость решения. Вопросы единственности и устойчивости решения задачи Коши для эллиптических уравнений были исследованы Т. Карлеманом, А. Дуглисом , М.М.Лаврентьевым, Е.М. Ландисом, Ш. Ярмухамедовым , Н.Н. Тархановым, А.А. Шлапуновым и др.

Основываясь на результатах Карлемана и Голузина–Крылова, М.М.Лаврентьев ввел важное понятие функции Карлемана для одномерной системы уравнений Коши–Римана и уравнения Лапласа. Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа – это фундаментальное решение, зависящее от положительного числового параметра, стремящегося к нулю вместе со своей производной по нормали на части границы области вне носителя данных Коши, когда параметр стремится к нулю. М.М.Лаврентьев указал способ построения регуляризации некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа, если известна функция Карлемана. Функция Карлемана для уравнения Лапласа в явном виде была построена в работе Ш. Ярмухамедова.

Пусть, ограниченная область в ,граница которой состоит из части плоскости  и некоторой гладкой поверхности , лежащей в полупространстве .

Пусть, и точки т- мерного Евклидового пространства ,  и транспонированный вектор х.

Введем следующее обозначения:

,

.

 – диагональная матрица,  – площадь поверхности единичной сферы .

Через обозначим класс матриц , сэлементами состоящими из линейных форм с постоянными коэффициентами из С которые удовлетворяет условию:

где  – сопряженная матрица к .

В области  рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:

  (1)

где

Если  и является решением системы (1), тогда верно следующее интегральное представление:

  , (2)

где

 

 – единичная внешняя нормаль, проведенная в точке  на поверхности

Интегральная формула (2) доказано в работе [1]. Формула (2) также верна, если вместе  подставим функцию вида:

  (3)

где  гармоническая функция при

Функция  определяется по следующим формулам:

 ,если   (4)

 , если   (5)

где  

Обозначим

.

Тогда интегральная формула имеет вид:

   (6)

Постановка задача. Пусть  удовлетворяет системе (1) в области  и

  (7)

Требуется восстановить вектор – функцию в  используя данные Коши.

Рассматривается нами задача относятся к некорректно – постановлением задачам, т.е. решение задача неустойчиво. Используя методику проведенную в работе [3], докажем следующее:

Теорема 1.Пусть вектор – функция  удовлетворяет системе (1), а также граничному условию  на . Если

 ,

то верна следующая оценка:

   (8)

где  – некоторая функция от ,

  

Доказательство. Формулу (6) представим в виде

Тогда

 состоит из комбинаций интегралов типа:

 .

Следуют оценки интегралов этих типов. Доказательство теоремы сначала приводим в случаи когда   

При этом функцию  запишем в виде

Отделяя мнимую часть функции  получим:

  , (9)

где

 . (10)

Используем формулу Лейбница в (10) получим:

 (11)

где  – коэффициенты бинома.

В дальнейшем используем неравенствами при  ,  

 при

 при

 при  (12)

 при

  при

В каждом неравенстве (12)  – постоянные различные. В этих неравенствах условие  можно заменить условием .

Оценивая (11) при  пользуясь неравенствами (12) получим:

 

Оценим интегралы типа .

Для этого находим производную от (11) по  :

 (13)

 Учитывая неравенства (12), из (13) получим следующие оценки:

 ,

Используем следующие формулы:

  (14)

Оценим . При этом

  (15)

Учитывая неравенства (12) и оценивая (15), получим следующее неравенство:

 

При  теорема доказано.       Теперь теорему докажем при условиях .

При этом функции определим из (4), где

Отделяя мнимую часть функции  получим:

 ,

где .

Теперь функция  определим следующим образом:

 (16)

Используем неравенства (12) и рассуждая аналогично как в случае четно- мерного пространства, получим из (16) доказательство теоремы.

Следствие 1. Предельное равенство

выполняется равномерно в любом компакте из .

            Пусть  вектор- функция, удовлетворяющая в области  системе (1), и непрерывна в области , а также , тогда верно следующее неравенство

 

 где,

 Верна следующая теорема:

            Теорема. 2. Пусть вектор функция  удовлетворяет системе (1),

 непрерывные приближения  на , т.е.

если  то верно

где,

 ,

Доказательство. Используем интегральную формулу (6)

 

Учитывая утверждение теоремы 1 и неравенства

 

 а также полагая , получим утверждение теоремы 2.

            Из этой теоремы следует:

            Следствие 2: Предельное равенство

 

выполняется равномерно на каждом компакте из G.

Литература:

1.      Н.Н. Тарханов. Об интегральном представленном решений систем линейных дифференциальной уравнений первого порядка в частных производных и некоторые приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск –1980, стр. 147- 160.

2.      М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математического физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г.

3.      Ш.Ярмухамедов. Интегральных представления гармонических функций многих переменных. ДАН СССР, Т.204, № 4, 1972, 799-802 стр.

4.      Ш.Ярмухамедов, А. Абдукаримов, З. Маликов. О задачи Коши для системы эллиптического типа первого порядка. Докл. Росс. Акад. Наук. Том 323 (1992) №1.

Основные термины (генерируются автоматически): задачи Коши, уравнения Лапласа, постоянными коэффициентами, положительного числового параметра, первого порядка, решением задачи Коши, Карлемана задачи Коши, Решение задачи Коши, задача Коши, решения задачи Коши, системы уравнений, части границы, линейных систем эллиптического, некорректной задачи Коши, эллиптического типа первого, системы уравнений Коши-Римана, типа первого порядка, систем эллиптического типа, интегральную формулу Коши, Задача Коши.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос