Проектирование и эксплуатация сложных систем: корреляционные и спектральные методы обработки данных | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №2 (61) февраль 2014 г.

Дата публикации: 22.01.2014

Статья просмотрена: 30 раз

Библиографическое описание:

Гарькина И. А., Хнаев О. А. Проектирование и эксплуатация сложных систем: корреляционные и спектральные методы обработки данных // Молодой ученый. — 2014. — №2. — С. 12-15. — URL https://moluch.ru/archive/61/9030/ (дата обращения: 14.12.2018).

Рассматривается приложение методов корреляционного и спектрального анализа к обработке данных при проектировании и эксплуатации сложных систем (строительные конструкции, тренажные и обучающие комплексы для подготовки операторов эргатических систем в различных отраслях промышленности и др. [1…3]); приводится алгоритм, прошедший апробацию при проектировании мобильных систем различного назначения. Обычно используется описание сигналов функциями частоты (в виде суммы более простых сигналов). Переход в частотную область осуществляется по преобразованию Фурье:

,

 — спектральная функция или спектральная плотность (комплексная функция, имеет размерность сигнала, умноженную на время; - спектр амплитуд, - спектр фаз). Функцию можно рассматривать как сумму бесконечного ряда гармонических составляющих с амплитудами , непрерывно заполняющими интервал частот от 0 до , и начальными фазами ; представление  функции  в частотной области позволяет легко установить ее физический смысл.

При проектировании и эксплуатации сложных конструкций часто используются анализаторы спектров, отличающиеся, в основном, лишь по диапазону частот (низко- и широкополосные, оптического диапазона), по принципу действия (многоканальные и сканирующие), по способу обработки (аналоговые и цифровые), по характеру анализа (скалярные и векторные). Они позволяют определить амплитуду и частоту спектральных компонент, входящих в состав анализируемого процесса. Важнейшей характеристикой анализатора спектра является разрешающая способность (наименьший интервал  по частоте между двумя спектральными линиями, которые ещё разделяются анализатором спектра). Истинный спектр можно получить лишь тогда, когда анализируемое колебание  периодично, либо существует только в пределах интервала . Анализатор позволяет получить не истинный спектр , а лишь его оценку (текущий спектр)  (зависит от и ). К сожалению, точность определения спектра связана с необходимостью знания самого точного спектра.

Во многих случаях с приемлемой точностью возможна аппроксимация автокорреляционных функций экспоненциальными или экспоненциально-косинусными выражениями:

,                                                                                                       (1)

.                                                                           (2)

В этом случае спектральные плотности выражаются с помощью дробно-рациональной функции (соотношение двух полиномов, содержащих четные степени частоты ). Если  имеет вид (1), то спектральная плотность определяется формулой

.                                  (3)

При аппроксимации вида (2):

.

С учетом (3) второе слагаемое в выражении представляется в виде .

Что касается первого слагаемого, то справедливы следующие преобразования:

.

Таким образом, при аппроксимации автокорреляционной функции выражением вида (2) будем иметь

.                                (4)

При аппроксимации автокорреляционной функции выражением (1) сначала выбирается такое положительное число , чтобы функция  стремилась к нулю приблизительно с такой же скоростью, как и . Тогда, полагая в (1) , получим

.                                                                                                    (5)

Для определения коэффициентов  автокорреляционная функция представляется в виде

;                                                                                                     (6)

.                                                                 (7)

Коэффициенты () определятся из условий ортогональности -,  и нормированности — . Коэффициенты  в выражении (6) определятся из условия минимума среднего квадрата ошибки аппроксимации

.                                                                        (8)

Приравнивая частные производные функционала (8) по коэффициентам  нулю, получим:

(учли ортогональность и нормированность системы функций ).

Займемся аппроксимацией автокорреляционной функции выражением (2). Представим его в виде

,                                                                                             (9)

где

,                                                                                                (10)

.                                                                                                     (11)

В первом приближении принимается

.                                                                                  (12)

Коэффициенты  могут быть подобраны простыми методами, так как аппроксимация вида (12) является лишь первым приближением, которое затем уточняется. При подборе значений коэффициентов в выражении (12) используются соотношения:

,

 — точка, в которой автокорреляционная функция -й раз пересекает ась абсцисс (), - значение первого отрицательного максимума автокорреляционной функции. Далее, введя

 =,                                                       (12)

описанным выше методом получим ее аппроксимацию выражением вида (11).

Получили нижеуказанный алгоритм аппроксимации автокорреляционной функции стационарного случайного процесса экспоненциально-косинусным выражением (2).

1.         Вычислить по формулам (4).

2.         Вычислить дискретные значения  с шагом по времени  по формуле (6) при .

3.         Выбрать параметр  по поведению  (по графику).

4.         Выбрать число членов  вида  в выражении =,.

5.         Вычислить ,,…, по формуле (7).

6.         Вычислить .

7.         Вычислить  по формулам:

,,

,

,

.

8.       Вычислить дискретные значения .

9.         Вычислить дискретные значения спектральной плотности  в диапазоне  по формуле (4).

10.     Если, аппроксимацию завершить. Если существует такое , что , то увеличить число членов  и повторить вычисления по пп.5–9.

Приведенная методика прошла практическую апробацию при оценке работоспособности оборудования мобильных систем при ударе и сопровождающей вибрации [4,5], а также при разработке тренажных и обучающих комплексов для различных отраслей промышленности [6].

Литература:

1.         Данилов А. М., Гарькина И. А., Домке Э. Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. — Пенза: ПГУАС. — 2011. — 296 с.

2.         Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. –2013. — № 2 (16). — С. 138–142.

3.         Andreev A. N., Danilov A. M., Klyuev B. V., Lapshin E. V., Blinov A. V., Yurkov N. K. Information models for designing conceptual broad-profile flight simulators / Measurement Techniques. August 2000. — Vol.43. Issue 8. — P.667–672.

4.         Данилов А. М., Гарькина И. А., Гарькин И. Н. Защита от удара и сопровождающей вибрации: экспоненциально-тригонометрическая аппроксимация функций / Региональная архитектура и строительство. — 2012. –№ 3(14). — С.85–89.

5.         Гарькина И. А., Гарькин И. Н. Идентификация и аппроксимация колебаний конструктивных элементов / Молодой ученый. –2013. -№ 3(50). — С.44–48.

6.         Еремкин А. И., Прошин А. П., Данилов А. М., Гарькина И. А. Промышленные и аэрокосмические приложения системных методологий, идентификации систем и теории управления / Наука и технологии. Избранные труды. — М.: РАН. — 2005. — С.556–567.

Основные термины (генерируются автоматически): автокорреляционная функция, спектральная плотность, выражение, частотная область, различная отрасль промышленности, Коэффициент, истинный спектр, аппроксимация вида, аппроксимация, число членов.


Похожие статьи

Приближенное вычисление спектральной плотности по типовым...

Наиболее простым инженерным способом аппроксимации корреляционных функций, позволяющим найти приближенное аналитическое выражение спектральной плотности, является метод треугольных корреляционных функций.

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть дан полином второй степени вида: Пусть задана функция.

Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.

Аппроксимация градуировочных характеристик средств...

и оценки дисперсии , соответствующие различным степеням

, где - коэффициент Стьюдента при вероятности с числом степеней свободы , и — объемы

6. Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных...

Идентификация и аппроксимация колебаний конструктивных...

Для определенности будем искать приближение выражением вида.

, , ( ). Далее функцию аппроксимируем частной суммой ряда Фурье, добавляя в неё новые члены до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность аппроксимации.

Некоторые соображения о корректности и точности линейной...

Предположим, что условия аппроксимации позволяют привести (1) к виду. ; (2). — некоторые постоянные матрицы, — некоторая функция.

Погрешность решений задач (1) и (2) можно оценить по изменению характеристических чисел при изменении коэффициентов матрицы A...

Преобразование Фурье как основополагающий частотный метод...

Частотной областью называется область значений переменной , на которой принимает свои значения функция , поскольку частоты слагаемых, составляющих преобразование, определяются значением переменной .

Радиосигналы в спутниковых радионавигационных системах...

В обработке сигналов используют понятие автокорреляционная функция (АКФ).

1. Двухуровневая (бинарная) аппроксимация гармонического колебания, которое является

DuoBOC сигналы имеют спектральные характеристики в половине частотного диапазона...

Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов...

Последовательность чисел и спектральные параметры называются спектральными данными оператора Дирака (1).

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов аппроксимации функции в контактных задачах для цилиндра.

Последовательности с идеальной периодической...

Для кода четной длины ненормированная периодическая АКФ определяется в виде.

Они также осуществляют пошаговую аппроксимацию линейной частотной модуляции, однако

Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно p, а фазы...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Приближенное вычисление спектральной плотности по типовым...

Наиболее простым инженерным способом аппроксимации корреляционных функций, позволяющим найти приближенное аналитическое выражение спектральной плотности, является метод треугольных корреляционных функций.

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших...

Пусть дан полином второй степени вида: Пусть задана функция.

Оконное приложение на языке программирования C# для определения коэффициентов аппроксимации полиномов nстепени.

Аппроксимация градуировочных характеристик средств...

и оценки дисперсии , соответствующие различным степеням

, где - коэффициент Стьюдента при вероятности с числом степеней свободы , и — объемы

6. Хнаев О. А., Данилов А. М. Методы планирования эксперимента в аппроксимации функций многих переменных...

Идентификация и аппроксимация колебаний конструктивных...

Для определенности будем искать приближение выражением вида.

, , ( ). Далее функцию аппроксимируем частной суммой ряда Фурье, добавляя в неё новые члены до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность аппроксимации.

Некоторые соображения о корректности и точности линейной...

Предположим, что условия аппроксимации позволяют привести (1) к виду. ; (2). — некоторые постоянные матрицы, — некоторая функция.

Погрешность решений задач (1) и (2) можно оценить по изменению характеристических чисел при изменении коэффициентов матрицы A...

Преобразование Фурье как основополагающий частотный метод...

Частотной областью называется область значений переменной , на которой принимает свои значения функция , поскольку частоты слагаемых, составляющих преобразование, определяются значением переменной .

Радиосигналы в спутниковых радионавигационных системах...

В обработке сигналов используют понятие автокорреляционная функция (АКФ).

1. Двухуровневая (бинарная) аппроксимация гармонического колебания, которое является

DuoBOC сигналы имеют спектральные характеристики в половине частотного диапазона...

Связь длины лакун с аналитичностью коэффициентов...

Последовательность чисел и спектральные параметры называются спектральными данными оператора Дирака (1).

Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов аппроксимации функции в контактных задачах для цилиндра.

Последовательности с идеальной периодической...

Для кода четной длины ненормированная периодическая АКФ определяется в виде.

Они также осуществляют пошаговую аппроксимацию линейной частотной модуляции, однако

Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно p, а фазы...

Задать вопрос