О распространении гармонических волн в деформируемой пластинке с переменной толщиной | Статья в журнале «Молодой ученый»

Авторы: ,

Рубрика: Технические науки

Опубликовано в Молодой учёный №1 (60) январь 2014 г.

Дата публикации: 03.01.2014

Статья просмотрена: 23 раза

Библиографическое описание:

Сафаров И. И., Ядгаров У. Т. О распространении гармонических волн в деформируемой пластинке с переменной толщиной // Молодой ученый. — 2014. — №1. — С. 112-114. — URL https://moluch.ru/archive/60/8853/ (дата обращения: 13.12.2018).

В статье построена сопряженная спектральная задача и условия биортогональности для вязкоупругой пластинки с переменной толщиной. Сформулирована спектральная задача, описывающая распространение изгибных плоских волн в волноводе. Численные решения спектральных задач проводились на ЭВМ программным комплексом, основанным на методе ортогональной прогонки С. К. Годунова в сочетании с методом Мюллера.

Рассматриваем вязкоупругий волновод в виде бесконечной вдоль оси х1 переменной толщины. Вязко упругие свойства материала учитиваются с помощю зависимости Больцмана — Вальтера [1]. Основные соотношения классической теории пластин переменной толщины можно получить на основе принципа возможных перемещений [2], в соответствии с гипотезами Кирхгоффа — Лява [3]. Пренебрегая членами, учитывающими инерцию вращения нормали к срединной плоскости, будем иметь следующее вариационное равенство:

,                                                               (1)

с естественными граничными условьями

; .                                            (2)

Для этого строится спектральная задача введя следующую замену переменных

;                                            (3)

Подставляя (3) в (1) получим систему интегро-дифференциальных уравнения в частных производных, разреженную относительно первых производных по х2. Рассмотрим бесконечную вдоль оси х1 полосу с произвольным законом изменения толщины h=h(x2). Будем искать решение задачи (1)-(3) в виде

                                                                  (4)

описывающие гармонические плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х1. Где - комплексная собственная частота; к- волновое число; -действительная часть комплексной частоты; -плотность. Подставляя систему интегро-дифференциальных уравнения в частных производных в (1), получим дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенную относительно производных:

,       (5)

с граничными условиями на торцах полосы х2=0, l2, одного из двух типов

а. шарнирное опирание:

б. скользящий зажим: ,                                                                                    (6)

где   и -синус и косинус Фурье образы.

Таким образом, сформулирована спектральная задача (5) по параметру a2, описывающая распространение изгибных плоских волн в волноводе, выполненном в виде полосы с произвольным законом изменения толщины по координате х2. Покажем, что в случае  спектральный параметр a2 принимает только действительные значения.

Пусть и  некоторые собственные функции системы (5)-(6), возможно комплексные значения. Умножим систему уравнений (5) на и комплексно сопряженные к и функции. Тождественно преобразовав первое уравнение, проинтегрируем полученные равенства по х2 и составим следующую линейную комбинацию

  (7)

Легко убедиться, что вне интегральных членов равенства (7) обращаются в нуль, при любой комбинации граничных условий (6). Показано, что при  в случае упругой пластинки квадрат собственного волнового числа для бесконечной полосы переменной толщины действителен при любой комбинации граничных условий (6). Если учитывается реологические свойства материала пластынки, то  становится комплексным. Полученная спектральная задача (5)-(6) не является самосопряженной. Построим для нее сопряженную задачу, используя для этого формулу Лагранжа [3]

 где  и L* — прямой и сопряженный линейные дифференциальные операторы;  и  — произвольные решения соответствующих краевых задач. В качестве примера рассмотрим стационарную задачу для полу бесконечной полосы переменной толщины. Рассмотрим полу бесконечный вдоль оси x1 полосу переменного сечения, на торце которой

(x1 =0) заданы гармонические по времени воздействия одного из двух типов:

Численные решения спектральных задач проводилось на ЭВМ программным комплексом, основанным на методе ортогональной прогонки С. К. Годунова [1] в сочетании с методом Мюллера. Основной анализ проводится для безразмерных переменных, в которых плотность материала r, половина ширины волновода l2, , мгновенный модуль упругости Е приняты равными единице. Анализ полученных данных показывает, что область применимости теории Кирхгоффа — Лява к пластине постоянной толщины ограничена диапазоном низких частот. Например, для первой моды (h=0) диапазон применения теории  из-за неограниченного роста фазовой скорости, для больших частот . Рассмотрим сначала волновод с линейным законом изменения толщины. На основе полученных результатов выявлено, что в отличие от полосы постоянного сечения в случае клиновидного волновода с малым углом в основании клина a существует конечный предел фазовой скорости распространения моды, причем

где СS — скорость волны сдвига, что совпадает с результатами исследований [5] и др.

Таким образом, показано, что теория Кирхгоффа-Лява позволяет получить волны, распространяющиеся в клиновидном волноводе с достаточно малым углом при основании клина скоростями, меньшими скорости волны сдвига и отличными от скорости волны Релея. Кроме того, эти волны, начиная некоторой частоты, распространяются без дисперсии.

Литература:

1.         Бозоров М. Б., Сафаров И. И., Шокин Ю. И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. СО РАН, Новосибирск, 1996.- 188с.

2.         Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. -639 с.

3.         Неймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.- 526 с.

4.         Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.- 456 с.

5.         Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах, К.: Наука думка, 1981, -283с.

Основные термины (генерируются автоматически): переменная толщина, спектральная задача, изменение толщины, скорость волны сдвига, программный комплекс, основание клина, ортогональная прогонка, малый угол, клиновидный волновод, бесконечная полоса.


Похожие статьи

Распространение волны в клине с произвольным углом вершины

Таким образом, в отличие от волноводов с прямоугольным сечением в клиновидных волноводах с достаточно малым углом клина при

Гармонические волны в бесконечном цилиндре с радиальной трещиной с учетом демпфирующей способности материала.

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

Ключевые слова: пластинка, переменная толщина, вязкие свойства, ортогональная прогонка, фазовая скорость, волна. Известно [7, 8], что нормальные волны в деформируемом слое (волны Лэмба) не ортогональны по толщине слоя, т. е...

О распространении гармонических волн в деформируемой...

В работе рассматривается распространение гармонических волн в цилиндрической панели с переменной толщиной. Для вывода уравнений оболочки использован принцип возможных перемещений. Решения краевой задачи получены методом ортогональной прогонки Годунова.

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

фазовая скорость, краевая задача, ортогональная прогонка, радиальная трещина, ядро релаксации, спектральная краевая задача, решение, распространение волн, бесконечный цилиндр...

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

Спектральная задача (8), (9), как и в случае продольно — поперечные колебания, решались методом ортогональной прогонки.

В отличие от сухой оболочки здесь у второй частота запирания отсутствует, а фазовая скорость при малых k равна величине , которая совпадает...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Предлагаемым методом можно решать задачи практически при любых изменениях функции жесткости.

дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

Если рассматривать эффект Доплера применительно к узкополосному процессу, то изменение относительной скорости приведет к увеличению или уменьшению частоты сигнала (Доплеровский сдвиг частоты), вследствие изменения периода сигнала.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

Постановка спектральной проблемы даётся соотношениями (3) и (4). Минимальная соответственная частота, полученная при решении краевой задачи методом ортогональной прогонки, составляет 88,6 Гц.

Определение физических параметров радиационных процессов...

По принципу действия ВОД можно разделить на группы в соответствии с тем, какой параметр оптической волны измеряется для получения информации о физическом воздействии: интенсивность, фаза, состояние поляризации, спектральный или мoдовый состав излучения...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Распространение волны в клине с произвольным углом вершины

Таким образом, в отличие от волноводов с прямоугольным сечением в клиновидных волноводах с достаточно малым углом клина при

Гармонические волны в бесконечном цилиндре с радиальной трещиной с учетом демпфирующей способности материала.

Распространение волн в вязкоупругих пластинках переменной...

Ключевые слова: пластинка, переменная толщина, вязкие свойства, ортогональная прогонка, фазовая скорость, волна. Известно [7, 8], что нормальные волны в деформируемом слое (волны Лэмба) не ортогональны по толщине слоя, т. е...

О распространении гармонических волн в деформируемой...

В работе рассматривается распространение гармонических волн в цилиндрической панели с переменной толщиной. Для вывода уравнений оболочки использован принцип возможных перемещений. Решения краевой задачи получены методом ортогональной прогонки Годунова.

Волны в вязкоупругом цилиндре с радиальной трещиной

фазовая скорость, краевая задача, ортогональная прогонка, радиальная трещина, ядро релаксации, спектральная краевая задача, решение, распространение волн, бесконечный цилиндр...

Продольно-поперечные колебания в системе цилиндрических...

Спектральная задача (8), (9), как и в случае продольно — поперечные колебания, решались методом ортогональной прогонки.

В отличие от сухой оболочки здесь у второй частота запирания отсутствует, а фазовая скорость при малых k равна величине , которая совпадает...

К расчету пластин переменной жесткости | Статья в журнале...

Предлагаемым методом можно решать задачи практически при любых изменениях функции жесткости.

дифференциальная прогонка, задача Коши, метод Канторович — Власова, изгиб балки переменного сечения, цилиндрической оболочки переменной толщины...

Влияние эффектов Доплера на OFDM сигнал | Статья в журнале...

Если рассматривать эффект Доплера применительно к узкополосному процессу, то изменение относительной скорости приведет к увеличению или уменьшению частоты сигнала (Доплеровский сдвиг частоты), вследствие изменения периода сигнала.

Линейные колебания упругого криволинейного стержня

Постановка спектральной проблемы даётся соотношениями (3) и (4). Минимальная соответственная частота, полученная при решении краевой задачи методом ортогональной прогонки, составляет 88,6 Гц.

Определение физических параметров радиационных процессов...

По принципу действия ВОД можно разделить на группы в соответствии с тем, какой параметр оптической волны измеряется для получения информации о физическом воздействии: интенсивность, фаза, состояние поляризации, спектральный или мoдовый состав излучения...

Задать вопрос