Многокритериальный синтез эпоксидного композита повышенной плотности | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Данилов А. М., Болтышев С. А., Петренко В. О. Многокритериальный синтез эпоксидного композита повышенной плотности // Молодой ученый. — 2013. — №12. — С. 118-121. — URL https://moluch.ru/archive/59/8357/ (дата обращения: 19.07.2018).

Для оптимизации структуры и свойствэпоксидного композита повышенной плотности для защиты от радиации [1…3] займемся построением множеств В.Парето. Воспользуемся полученными на основе математических методов планирования эксперимента аналитическими зависимостями средней плотности r, кг/м3, и предела прочности Rсж, МПа, на сжатие образцов 20´20´20 см:

где X1, X2 — кодированные значения соответственно концентрации x1 пластификатора (в % от массы смолы) и степени наполнения x2(П:H по массе);x10 = 25, I1 = 25; x20 =1/7, I2Н = 5.

Следуя В.Парето, в общем случае из неформального анализа исключаются заведомо плохие варианты решений,что позволяетсократить множество исходных вариантов (здесь факторное пространство является двумерным). Пусть сделан некоторый выбор x* и предположим, что существует некоторый другой выбортакой, что для всех критериев  имеют место неравенства

,

причём хотя бы одно из неравенств — строгое (в рассматриваемом случае , ).

Очевидно, что выбор  предпочтительнее x*. Поэтому все векторыx*, удовлетворяющие последнему неравенству, можно сразу исключить из рассмотрения. Имеет смысл заниматься сопоставлением и подвергать неформальному анализу только те векторы x*, для которых не существует  такого, что для всех критериев удовлетворяются эти неравенства. Множество всех таких значений x* и называют множеством Парето, а вектор x* называютне улучшаемым вектором результатов (вектором Парето), если из  для любого i следует .

Если цели являются двумя однозначнымифункциями (), то каждому допустимому значению переменной x отвечает одна точка на плоскости (f1, f2) (рис.1), и равенства

определяют параметрическое задание некоторой кривой abcd в этой плоскости. Участок bc, очевидно, не принадлежит множеству Парето, поскольку вместе с ростом f1 происходит и рост f2. Таким образом, на этом участке изменению переменной x отвечает одновременное увеличение обеих целевых функций и, следовательно, такие варианты решений должны быть сразу исключены из дальнейшего рассмотрения.

Из тех же соображений должен быть исключён и участок a¢b, поскольку для каждой его точки e найдётся точка, принадлежащая участку cd, в которой значения обеих функций f1 и f2 больше, чем в точке e. Так что принадлежать множеству Парето могут только участки aa¢ и cd, причём точка a¢ также должна быть исключена.

В теории принятия решений существует термин “принцип Парето”, заключающийся в том, что выбирать в качестве решения следует только тот вектор x, который принадлежит множеству Парето.

Рис. 1

Принцип Парето не выделяет единственного решения, он только сужает множество альтернатив. Окончательный выбор остаётся за лицом, принимающим решение. Построение множества Парето облегчает процедуру выбора решения.

Для случая двух критериев найдем решение задачи:

.

Каждой точке  соотношения  ставят в соответствие некоторую точку Î Gf вплоскости критериев (рис. 2). Последние соотношения определяют отображение множества Gx на Gf. Множество Gf носит название множества достижимости, или множества предельных возможностей. Множество Парето представляет собой границы Gf. На рис. 2 множеством Парето будет дуга АDCВ.


Рис. 2

Приближённое построение множества Парето сводится к последовательному решению задач математического программирования. Опишем одну из возможных схем расчёта. Зафиксируем желательные значения критериев f1и f2: f1 = c1, f2 = c2.

Значения c1 и c2 должны принадлежать множеству достижимости.

Решив две оптимизационные задачи:

I. , ;

II. , ,

определим точки А и В (рис. 2). Проведя через них прямую 1, получим простейшую аппроксимацию множества Парето. Для уточнения последнего можно определить ещё две точки — C и D, принадлежащие этому множеству и соответствующие решениям нижеследующих задач:

III. , ;

IV. , .

Значения c3 и c4 также должны принадлежать множеству достижимости. Ломаная ADCB будет следующим приближением множества Парето. При

;

построение множества Парето сводится к последовательному решению следующих двухзадач линейного программирования:

1. Определить неотрицательные значения , доставляющие максимум целевой функции  при ограничениях

2. Определить неотрицательные значения , доставляющие максимум целевой функции при ограничениях

Решение этих задач производится с использованием метода штрафных функций Эрроу-Гурвица.

На основе экспериментальных данных в качестве области Gx принимался прямоугольник, соответствующий –1 £ X1 £ –0,6; 0,4 £ X2£ 0,8. При этом в области Gf (рис. 4):

3900 £ r £ 3950; 140 £ Rсж£ 150.


Рис. 3. Области Gx и Gf, множество Парето

На рисунке 3 множеству Парето в первом приближении соответствует отрезок AB (принято: с1= 3950; с2= 142); второе приближение — ломаная ADCB (с3= 3955; с4= 144).

Эффективность метода подтверждается приводимыми на рис. 4 линиями уровня r(X1,X2)= const(ветвь гиперболы), Rсж (X1, X2) = const(парабола) квадратичных моделей целевых функций, позволяющими в качестве оптимальных принять x1= 2,5; x2= 10,2.

Соответствующие им значения плотности и предела прочности:

r = 3955, Rсж = 145.

Получение информации о множестве Парето будет достаточным при решении и многих других аналогичных задач материаловедения.

Описанный способ применим и в случае большего числа переменных и частных критериев качества [4,5].

Рис. 4. Линии уровня r(X1, X2) = const, Rсж(X1, X2) = const

Литература:

1.         Прошин А. П., Данилов А. М., Гарькина И. А., Королев Е. В., Смирнов В. А. Синтез строительных материалов со специальными свойствами на основе системного подхода / Известия ВУЗов. Строительство. — 2003. -№ 7.-С.43–47.

2.         Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Пылайкин С. А. Подходы к многокритериальности сложных систем / «Молодой ученый. — № 6(53), 2013. — с.40–43.

3.         Гарькина И. А., Данилов А. М., Петренко В. О. Проблема многокритериальности при управлении качеством сложных систем / Мир транспорта и технологических машин. № 2(41). 2013. –С.123–130.

4.         Данилов А. М., Гарькина И. А. Методология проектирования сложных систем при разработке материалов специального назначения / Известия ВУЗов. Строительство. — 2011. -№ 1.-С.80–85.

5.         Будылина Е. А., Гарькина И. А. Данилов А. М. Моделирование с позиций управления в технических системах / Региональная архитектура и строительство. № 2(16). 2013. — C. 138–143.

Основные термины (генерируются автоматически): множество, ADCB, множество достижимости, участок, предел прочности, построение множества, неформальный анализ, линия уровня, III, целевая функция.


Похожие статьи

Алгоритмические аспекты доминирования в графах

Поиск доминирующего множества графа общего вида с помощью жадного алгоритма. main. Главная функция, тело программы, в

4) доминирующее множество дерева, найденное через построение остовного дерева графа и применение к нему прямо-двойственного подхода

Множество Парето в задачи максимизации функции полезности

Ключевые слова: теория потребления, функция полезности, штрафные функции, нелинейное программирование, метод штрафных функций, множество Парето.

Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности.

Некоторые подходы к формализации управления структурой...

Неопределенность целей при многокритериальном синтезе материалов была преодолена с использованием линейной свертки, введением контрольных показателей, построением множеств Парето и др. В большинстве случаев целевая функция определялась исходя из...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных

Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узбекский Математический Журнал.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Возникает задача построения решающих функций и решающих правил на основе имеющейся выборки.

Символом Km,n будем обозначать множество всех вещественных матриц размера m ´ n, имеющих структуру комбинаторного типа.

Дискрет. анализ и исслед. операций, Сер.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

Однако при диагностировании существуют пределы между состоянием отказов и неотказов.

Нечеткие множества А характеризуются элементы, включенные в виде степени принадлежности известна как непрерывной зависимой функции и обозначается как степень принадлежности.

Методологический базис моделирования процессов подготовки...

- построение функции принадлежности нечетких множеств с использованием разработанного специального методического и программного

В результате анализа задач управления предприятиями автором выделены основные виды логических связей (соединительная...

Методика определения функций принадлежности для...

Во множество параметров системы может также входить количество функций принадлежности в каждой переменной.

Рис. 3. Построение точечной зависимости.

Методика сравнительного анализа алгоритмов функций технологического программного обеспечения...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Алгоритмические аспекты доминирования в графах

Поиск доминирующего множества графа общего вида с помощью жадного алгоритма. main. Главная функция, тело программы, в

4) доминирующее множество дерева, найденное через построение остовного дерева графа и применение к нему прямо-двойственного подхода

Множество Парето в задачи максимизации функции полезности

Ключевые слова: теория потребления, функция полезности, штрафные функции, нелинейное программирование, метод штрафных функций, множество Парето.

Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности.

Некоторые подходы к формализации управления структурой...

Неопределенность целей при многокритериальном синтезе материалов была преодолена с использованием линейной свертки, введением контрольных показателей, построением множеств Парето и др. В большинстве случаев целевая функция определялась исходя из...

Описание множества собственных значений одной блочной...

Пусть — компактное связанное множество, - гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных

Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узбекский Математический Журнал.

Использование матриц комбинаторного типа для построения...

Возникает задача построения решающих функций и решающих правил на основе имеющейся выборки.

Символом Km,n будем обозначать множество всех вещественных матриц размера m ´ n, имеющих структуру комбинаторного типа.

Дискрет. анализ и исслед. операций, Сер.

Применение теории нечетких множеств для диагностирования...

Однако при диагностировании существуют пределы между состоянием отказов и неотказов.

Нечеткие множества А характеризуются элементы, включенные в виде степени принадлежности известна как непрерывной зависимой функции и обозначается как степень принадлежности.

Методологический базис моделирования процессов подготовки...

- построение функции принадлежности нечетких множеств с использованием разработанного специального методического и программного

В результате анализа задач управления предприятиями автором выделены основные виды логических связей (соединительная...

Методика определения функций принадлежности для...

Во множество параметров системы может также входить количество функций принадлежности в каждой переменной.

Рис. 3. Построение точечной зависимости.

Методика сравнительного анализа алгоритмов функций технологического программного обеспечения...

Задать вопрос