Алгоритм качественного анализа структуры и свойств материалов в области структурно-фазовых переходов | Статья в журнале «Молодой ученый»

Библиографическое описание:

Будылина Е. А., Гарькина И. А., Сухов Я. И. Алгоритм качественного анализа структуры и свойств материалов в области структурно-фазовых переходов // Молодой ученый. — 2013. — №11. — С. 81-84. — URL https://moluch.ru/archive/58/8093/ (дата обращения: 21.09.2018).

Качественные изменения в процессах формирования физико-механических свойств материалов особенно отчетливо проявляются в областях скачкообразных изменений вида линий равного уровня, которые, как правило, соответствуют структурно-фазовым переходам. Подход часто используется и в медицине: приобретаемые в процессе болезни патологическиепризнаки достигают наивысшегоразвития (симптомы обычно выражаются в изменении характера и личностных свойств). Здесь и предлагается производить анализ формирования структуры и свойств материала в области фазовых переходов в точках распада экспериментально полученных изолиний (асимптоты).

Пока при разработке композиционных материалов используются модели, полученные для локальной области на основе методов математического планирования эксперимента [1,2], в меньшей степени — интерполяционные модели для всей заданной области изменения факторов в факторном пространстве. Однако, как правило, полученные модели не подвергаются дальнейшему анализу с целью их использования для решения задач прогнозирования, в должной мере не устанавливаются связи параметров моделей с рецептурно-технологическими параметрами (свойствами и структурой материала). Фактически проводится решение общей задачи идентификации без надлежащей параметрической идентификации. Получаемые на основе моделей изолинии используются лишь как иллюстративный материал, хотя именно изолинии характеризуют фундаментальные процессы формирования структуры и свойств материала.

Если целевая функция  с требуемой точностью описывается квадратичной моделью

,                                                    (1)

где хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то линии равного уровня  будут кривыми второго порядка

,                                                 (2)

где  (аналогично для границ областей равных оценок ).

Естественно предположить, что качественным изменениям в структуре и свойствах материала соответствует изменение вида изолиний. Наиболее интересен случай, когда изолиниями являются семейства гипербол. В этом случае скачкообразное изменение структуры и свойств материала происходит в точках () факторного пространства, лежащих на паре пересекающихся прямых:

,

(в остальных случаях можно воспользоваться описанием различных видов поверхностей второго порядка).

Условия такого распадакривой второго порядка:

; .                                           (3)

Для центральных кривых гиперболического типа должны иметь

.

Центр определится в виде

.

Введя  (соответствует переносу начала координат в), уравнение (2) приведем к виду

.                                                                             (4)

Здесь

,

 — дискриминант левой части общего уравнения второй степени (2).

Поворот осей  на угол  приведет уравнение (4) к виду

;                                                                                              (5)

(). То есть  есть корни характеристического уравнения

                                                                                                (6)

квадратичной формы . Оно всегда имеет действительные корни в силу того, что дискриминант характеристического уравнения

.

Поворотом на угол , где ,

квадратичная форма  преобразуется к виду (38) ( и  — корни уравнения (6)).

При  () кривая (5) вырождается в прямые

.                                                                                                           (7)

Уравнение (1) есть уравнение поверхности второго порядка. В рассматриваемом случае — это гиперболический параболоид (рис.1). На рисунке ,  — седловая точка, в которой удовлетворяются условия Куна-Таккера [3]; . В системе координат  поверхность описывается каноническим уравнением

                                                                                                            (8)

(плоскость  пересекает параболоид (8) по линии с уравнением , состоящей из двух прямых  и ; плоскость ,  пересекает параболоид по гиперболе с полуосями , монотонно возрастающими от 0 до +¥ при возрастании h от 0 до +¥, а при  — по гиперболе, но уже с полуосями , монотонно убывающими от +¥ до 0, когда h возрастает от –¥ до 0).

И вообще для поверхности второго порядка, имеющей центр в начале координат

,                                                         (9)

всегда можно выбрать новые координатные оси, чтобы в преобразованном уравнении остались лишь члены, содержащие квадраты координат, то есть так, чтобы преобразованное уравнение имело вид:

.                                                                                 (10)

Рис. 1

Задача сводится к отысканию ортогонального преобразования, связывающего  и , чтобы совокупность членов второго порядка относительно координат в левой части уравнения представилась в виде суммы квадратов.

Аналогичную картину получим в случае вещественного пространства n измерений (факторное пространство в этом случае имеет размерность n-1).

Из приведенного естественно вытекает алгоритм качественного анализа структуры и свойств материалов в области структурно-фазовых переходов.

В частности, если в заданной области факторного пространства определяется модель параметра оптимизации второго порядка (например, с использованием методов планирования эксперимента), то коэффициенты модели в нормированных переменных будут характеризовать влияние факторов на параметр оптимизации. При заданном  определятся уравнения изолиний (2), центр  и значения . По известным  определятся , а далее уравнения прямых  (на гиперболическом параболоиде им соответствуют прямые  и , в точках которых ) и точки факторного пространства, в которых происходит скачкообразное изменение вида изолиний.

Приводимая методика использовалась при обработке экспериментальных данных по формированию структуры и свойств композиционных материалов для защиты персонала, оборудования и населения от ионизирующего излучения [1….6].

Литература:

1.      Гарькина И. А., Данилов А. М., Прошин А. П., Соколова Ю. А. Планирование эксперимента. Обработка опытных данных. Под ред. проф. А. М. Данилова. — М.: Палеотип, 2005. — 272 с.

2.      Баженов Ю. М., Гарькина И. А., Данилов А. М., Королев Е. В. Системный анализ в строительном материаловедении: монография -М.: МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов. -2012. –432 с.

3.      Данилов А. М., Гарькина И. А. Сложные системы: идентификация, синтез, управление. — Пенза: ПГУАС, 2011. — 308 с.

4.      Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Пылайкин С. А. Подходы к многокритериальности сложных систем / «Молодой ученый. — № 6(53), 2013. — с.40–43.

5.      Скачков Ю. П., Данилов А. М., Гарькина И. А. Модификация метода ПАТТЕРН к решению архитектурно-строительных задач / Региональная архитектура и строительство. № 1(10), — 2011. –C.4–9.

6.      Будылина Е. А., Гарькина И. А., Данилов А. М., Сухов Я. И. Некоторые подходы к анализу и синтезу сложных систем / «Молодой ученый. — № 10(57), 2013. — с.105–107.

Основные термины (генерируются автоматически): факторное пространство, свойство материала, вид, гиперболический параболоид, квадратичная форма, преобразованное уравнение, равный уровень, характеристическое уравнение.


Похожие статьи

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

Таким образом, уравнение параболы принимает вид.

Задачи такого типа позволяют изучать новые свойства уже хорошо известных кривых и дают возможность получать представления о таких замечательных кривых, как сплайны.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1). Составим уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг OZ.

Рис. 7. Гиперболический параболоид. Свойства гиперболического параболоида.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Для параболы эксцентриситет равен . В данной работе исследуется случай, при котором вместо фокуса-точки рассматривается фокальная окружность радиуса

Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители, получим следующее уравнение: которое можно привести к виду.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Решение задач о деформировании материала, в

Теперь значения и можно подставить в уравнения (1.3) и (1.4), которые примут вид.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве коэффициентов полностью исследована в [3] и изображена на рис. 1. Она представляет собой тело, ограниченное гиперболическим параболоидом и двумя плоскостями

Использование метода Фурье для решения смешанной задачи...

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Похожие статьи. Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени.

Аналог задачи Трикоми для смешанного...

Соотношение (6) приведем к виду. (7). где. При получении соотношения (7) мы использовали вид операторов и тождество.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Логические продолжения некоторого типа задач на построение...

Таким образом, уравнение параболы принимает вид.

Задачи такого типа позволяют изучать новые свойства уже хорошо известных кривых и дают возможность получать представления о таких замечательных кривых, как сплайны.

Исследование свойств поверхностей вращения с использованием...

Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1). Составим уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг OZ.

Рис. 7. Гиперболический параболоид. Свойства гиперболического параболоида.

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале...

Для параболы эксцентриситет равен . В данной работе исследуется случай, при котором вместо фокуса-точки рассматривается фокальная окружность радиуса

Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители, получим следующее уравнение: которое можно привести к виду.

Исследование статической задачи несимметричной теории...

Решение задач о деформировании материала, в

Теперь значения и можно подставить в уравнения (1.3) и (1.4), которые примут вид.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Условная устойчивость разностного уравнения третьего порядка...

Область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве коэффициентов полностью исследована в [3] и изображена на рис. 1. Она представляет собой тело, ограниченное гиперболическим параболоидом и двумя плоскостями

Использование метода Фурье для решения смешанной задачи...

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Похожие статьи. Асимптотика решения бисингулярной задачи на бесконечной прямой с квадратичной особенностью по времени.

Аналог задачи Трикоми для смешанного...

Соотношение (6) приведем к виду. (7). где. При получении соотношения (7) мы использовали вид операторов и тождество.

Эквивалентность характеристической задачи для уравнения смешанного типа задачи Коши для симметрической гиперболической системы.

Задать вопрос