Использование функции Грина в прикладной механике | Статья в журнале «Молодой ученый»

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №10 (57) октябрь 2013 г.

Дата публикации: 03.10.2013

Статья просмотрена: 100 раз

Библиографическое описание:

Покорная О. Ю. Использование функции Грина в прикладной механике // Молодой ученый. — 2013. — №10. — С. 13-15. — URL https://moluch.ru/archive/57/7945/ (дата обращения: 19.08.2018).

Рассматривается вопрос об использовании функции влияния, являющейся аналогом функция Грина, в некоторых прикладных задачах механических систем типа стильтьесовской струны. Для некоторых типов таких задач приведен анализ в случае сингулярных особенностей, возникающих в виде производных от скачков. оответствующих сосредоточенным в концевых узлах усилиям и упругим опорам. Функцию Гри́на (или функция влияния) применяют для различных решений неоднородных краевых задач. Также она используется в теории конденсированных сред, в электростатике. квантовой механике. Эта функцияиспользуется в различных конструкционных задачах.

В военно-технических прикладных задачах нередко возникают механические системы из струн и тросов, вдоль которых распределены сосредоточенные нагрузки. Примерами таких механических систем являются электропровода между опорами линий электропередач, тросы канатных мостов и некоторые другие. Такие системы называют стилтьесовскими струнами. Расчет и анализ формы и сил реакции этих упругих струн с распределенными вдоль них внешними нагрузками представляет сложную задачу, актуальную как с прикладной, так и с теоретической точек зрения.

Для таких расчетов изучены новые методы математического моделирования, использующие свойства функции влияния. В условиях достаточно регулярных сред, допускающих использование процедур дифференцирования и аппарата математической физики, функция влияния в канонических ситуациях совпадает с функцией Грина — важнейшим средством математического моделирования. С давних времен функция влияния, которую также называют иди функцией источника, функцией отклика, стала у физиков одним из наиболее эффективных средств описания взаимосвязи различных объектов и явдений. В начале XX века в задачах математической физики функция влияния приобрела вид функции Грина, введенной сначала для задачи Штурма-Лиувилля. Далее понятие функции Грина было распространено на более общие задачи старших порядков, а теория была развита на основе аксиоматического подхода к определению самой функции Грина, который крайне затруднил анализ конкретных физических задач.

Оператор Шредингера, оказался востребован в середине XX века для анализа в случае сингулярных особенностей потенциала, возникающих в виде, например, производных от скачков, называемых по физической терминологии дельта-функциями. На чисто описательном уровне математическую постановку соответствующей задачи удалось осуществить с помощью создания для этого теории обобщенных функций распределений Шварца-Соболева. Подобный обобщенный подход не позволял провести достаточно глубокий анализ, не приближая математические выкладки к физически интерпретируемым свойствам той же функции влияния. Причиной сложившейся ситуации являлось то, что для дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами отсутствовала какая-либо параллель с классическими теоремами анализа с поточечным дифференцированием.

Сравнительно недавно доступ к поточечному анализу задачи с обобщенными коэффициентами был разработан путем распространения на дифференциальные уравнения производных типа Радона-Никодима из общей теории интегралов. Для этого используется нетрадиционный для математической физики интеграл Стилтьеса, а описание напряженного состояния объекта осуществляется не привычным для математической физики дифференциальным уравнением второго порядка, а интегро-дифференциальным уравнением. При анализе спектральной функции «стильтьесовской струны» возникает уравнение вида

                                                                                                          (1)

как формальная запись соотношения

                                                                      (2)

Через  здесь обозначена неубывающая на отрезке  функция, определяющая распределение масс. Интеграл в (2) понимается по Лебегу-Стильтьесу. Псевдопроизводная  вводится, например, при анализе задачи рассеяния (распространения тепла) и определяется не соотношением типа (2), а с помощью предельных переходов в конечноразностных отношениях. Через  в уравнениях (1) и (2) обозначена правая производная.

Рассмотрим более общее, чем (2), уравнение

                                                                                (3)

При анализе данного уравнения возникает определенная сложность в виде неоднозначной определенности интегрального слагаемого в левой части. Если в некоторой точке  функция  имеет скачок, то интеграл не имеет собственного значения, а лишь предельное значение слева  и предельное значение справа, т. е. при . Поэтому равенство (3) вместе со всеми его компонентами, включая и , распространим на множество . Данное множество получается из сегмента  с помощью замены каждой точки  разрыва  парой .

Уравнение (3) основными свойствами похоже на обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Справедливы следующие утверждения. Пусть , т. е. пространству ограниченной вариации.

Теорема 1. Для любых  и  начальная задача

однозначно разрешима. К ее решению равномерно сходится процесс итераций

при , начатый с любой начальной функции  из . Это решение непрерывно зависит как от начальных условий, так и от  (пространства функций с ограниченной вариации).

В данной теореме через  обозначили множество функций из  с нулевым значением при . Заметим, что если  — точка разрыва , то исходную задачу можно разложить на две разные начальные задачи — левостороннюю в точке  и праввостороннюю в точке .

Теорема 2. Пусть  не убывает. Тогда уравнение (3) при краевых условиях

,                                                                                                          (4)

соответствующих глухому закреплению концов стильтьесовской струны, однозначно разрешимо для любой  из . Для каждой неубывающей  это решение неотрицательно.

С механической точки зрение неубывание  означает, что к изучаемому объекту приложена неотрицательная во всех точках сила, включая также импульсы. Для данной задачи может быть построена функция влияния.

Рассмотрим общую струну с закрепленными концами (4). Эти условия исключают скачки на концах у функций  и . Действительно, эти скачки соответствуют сосредоточенным в концах усилиям и локальным упругим опорам типа пружин, которые ввиду закрепления концов очевидно неуместны. Тогда в (3) интеграл должен браться от точки , т. е. по интервалу . Покажем, что для данной задачи может быть построена функция влияния. Предположим всюду далее, что .

Пусть в точке  приложена единичная сила. Это значит, что в (4) первое слагаемое имеет вид , что соответствует функции

 

где  — классическая функция Хевисайда. При этой  уравнение (3) наверняка имеет решение, удовлетворяющее условиям (4), о чем утверждает следующая теорема.

Теорема 3 При неубывающей  для любой  краевая задача

                                                                                 (5)

однозначно разрешима.

При доказательстве использовались выше сформулированные теоремы, в силу которых однородная задача (5) при  имеет только тривиальное решение, и воспользоваться стандартной альтернативой Фредгольма.

Согласно теореме 3 задача (3),(4) имеет единственное решение. Обозначим его через .

Теорема 4. Для любой  решение задачи (3),(4) может быть представлено в виде

Последняя формула означает, что  является функцией Грина задачи (5).

Литература:

1.                          Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968, 750 с.

2.                          Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1967, 436 с.

3.                          Покорная О. Ю. О ядре несамосопряженных операторов. Материалы XLV1 отчетной научной конференции ВГТА, Воронеж, 2008, Ч.2, с.150.

Основные термины (генерируются автоматически): функция влияния, задача, математическая физика, функция Грина, теорема, предельное значение, ограниченная вариация, математическое моделирование, любой, анализ.


Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Задача № 1. Задана функция предельных издержек .

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени .

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Построение математических моделей в прикладных задачах

1. Математическое моделирование в экономике. Математическая модель транспортной задачи является математической моделью

Среди множества решений системы ограничений необходимо найти такое неотрицательное решение, при котором целевая функция принимала...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Находим значения функции при : т. е., по условию леммы — нечетная функция, а мы знаем, — четная функция.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Возможные методы решения математических задач...

Если , то для любой функции и для любого момента времени t справедливы равенства

Теорема 2. Функция удовлетворяет указанным выше соотношениям тогда и только тогда

Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Таким образом неизвестное значение математического ожидания и среднего квадратического отклонения находятся с вероятностью 0,683 в диапазонах: Анализ интегральной функции распределения случайной величины.

Применение математических моделей при изучении физических...

Как же с помощью этой функции Грина выразить результат преобразования любой заданной функции f(x)?

Зорич В. А. Математический анализ.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, функция Грина, столбчатая функция, внешнее воздействие...

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle

Похожие статьи

Приложения определенного интеграла к решению задач экономики

Задача № 1. Задана функция предельных издержек .

Пусть ‒ функция, задающая денежный поток в любой момент времени .

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Построение математических моделей в прикладных задачах

1. Математическое моделирование в экономике. Математическая модель транспортной задачи является математической моделью

Среди множества решений системы ограничений необходимо найти такое неотрицательное решение, при котором целевая функция принимала...

Решение методом продолжения задач математической физики...

Находим значения функции при : т. е., по условию леммы — нечетная функция, а мы знаем, — четная функция.

Исследование подходов к решению задач математической физики на примере уравнения колебаний прямоугольной мембраны.

Возможные методы решения математических задач...

Если , то для любой функции и для любого момента времени t справедливы равенства

Теорема 2. Функция удовлетворяет указанным выше соотношениям тогда и только тогда

Решение методом продолжения задач математической физики в полуограниченных областях.

Решение задач анализа и синтеза на имитационных моделях...

Таким образом неизвестное значение математического ожидания и среднего квадратического отклонения находятся с вероятностью 0,683 в диапазонах: Анализ интегральной функции распределения случайной величины.

Применение математических моделей при изучении физических...

Как же с помощью этой функции Грина выразить результат преобразования любой заданной функции f(x)?

Зорич В. А. Математический анализ.

Основные термины (генерируются автоматически): функция, функция Грина, столбчатая функция, внешнее воздействие...

Задать вопрос