В 1837-м году французский математик П. Вансел пришел к выводу, что решение уравнения
связано с кубическими радикалами и поэтому невозможно делить угол на три равные части с помощью циркуля и линейки. Отсутствие алгебраического решения задачи не означает, что она не имеет геометрического решения.
Мною эта задача была исследована, и я нашел ее замечательное решение. Ниже предлагается одно из этих решений.
Анализ
Пусть угол
разделен на три равные части с хордами длиной
(рис. 1).
Рис. 1
Шаг 1
. Проведем биссектрису
угла
и прямые
лежащие на расстоянии
от биссектрисы
Обозначим
Шаг 2.
Обозначим
Шаг 3
. Проведем через точку
отрезок
касающийся дуге
Шаг 4.
Проведем прямые
и
через точки
и
соответственно.
Шаг 5.
На расстоянии
от стороны
заданного угла прямую
Обозначим
Шаг 6.
Образовываются ромбы
и
Шаг 7.
Отрезок
является средней линией треугольника
диагональю ромба
Шаг 8.
Шаг 9.
Следовательно,
является ромбом.
Шаг 10.
Значит,
Шаг 11.
Поэтому отрезок
является биссектрисой угла
Шаг 12.
По определению биссектрисы угла
Но
поэтому
Шаг 13.
Следовательно, угол
может быть разделен на три равные части с помощью циркуля и линейки.
Построение
Пусть задан угол
(рис. 2).
Рис. 2
Шаг 1.
Проведем биссектрису
угла
и прямые
симметричные относительно биссектрисы и лежащие на расстоянии
Шаг 2.
Проведем прямые
на расстоянии
Шаг 3.
Обозначим
Шаг 4.
Поэтому
.
Шаг 5.
Обозначим
Шаг 6.
Проведем дугу окружности
Шаг 7.
Обозначим
,
Шаг 8.
По анализу получим
Шаг 9.
Хорды равны, значит равны и дуги.
Шаг 10.
Следовательно,
Угол разделен на три равные части.
Доказательство
Шаг 1.
Пусть
Шаг 2.
Поэтому треугольники
равны и равнобедренные.
Шаг 3.
Проведем биссектрису
угла
Шаг 4.
Проведем биссектрису
угла
Тогда так как
получим
Ч. т. д.
Исследование
Этот способ можно применить для любого угла
Если угол
то заданный угол сперва нужно поделить на два равные части и затем применить указанный способ. Тогда заданный угол будет разделен на шесть равных частей и, объединяя по два, решаем задачу деления угла на три равные части.
Литература:
Адлер, А. Теория геометрических построений. Л.: Государственное учебно-педагогическое издательство. 1940. — 232 с.
Аргунов, Б.И., Балк, М. Б. Элементарная геометрия. М.: Просвещение. 1966. — 368 с.
Основные термины(генерируются автоматически): шаг, угол, заданный угол, биссектриса, биссектриса угла, помощь циркуля, прямая, часть.
В работе рассматриваются формулы Мольвейде. В результате их исследования установлена тригонометрическая зависимость между длинами отрезков в точке пересечения биссектрис и значениями углов при вершинах некоторого треугольника. Полученные формулы можн...
Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией [1]. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, р...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
В работе рассматриваются формулы Мольвейде. В результате их исследования установлена тригонометрическая зависимость между длинами отрезков в точке пересечения биссектрис и значениями углов при вершинах некоторого треугольника. Полученные формулы можн...
Как известно, числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с некоторым числом, называется арифметической прогрессией [1]. А числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, р...
Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...
(рис. 1).
Но
