Библиографическое описание:

Локтев В. И., Агуреев С. М. Механика и техника «сухого листа» // Молодой ученый. — 2013. — №2. — С. 4-9.



Один из стандартных игровых эпизодов в футболе – розыгрыш мяча с линии ворот, с угла футбольного поля. При определенных условиях и навыках футболист может так пробить угловой, что мяч аккуратно, как бы сбоку залетит в створ ворот. Такой удар известен под названием «сухой лист». Подобные голы в свое время забивали лишь немногие высококлассные футболисты – мастер спорта СССР, впоследствии выдающийся тренер Валерий Васильевич Лобановский, бразилец Валдир Перейра (Диди), итальянец Андреа Пирло.

Классическая задача Галилея [2, 4] не допускает такого, порой непредсказуемого движения тела или точки, брошенной под углом к горизонту. Под действием одной только постоянной силы тяжести мяч будет двигаться по плоской параболической траектории и с линии ворот никогда не попадет в ворота. Даже с учетом силы сопротивления воздуха, направленной в сторону, противоположной скорости [3], траектория мяча будет более сложной, но по-прежнему в лучшем случае будет расположена в плоскости створа ворот. В чем же причина поворота мяча в сторону створа ворот? При каких условиях возможны такие великолепные голы-красавцы? Исследовав механику процесса, можно в конечном итоге предложить технику «сухого листа».

Рис. 1. Эффект Магнуса

Прежде всего, следует учесть, что в общем случае с позиций классической механики мяч – это не точка, а тело, которому свойственно, кроме поступательного движения, совершать движение вращательное. В природе существует явление, названное в честь немецкого физика Генриха Густава Магнуса, который открыл и описал это явление в 1853 году. Суть его в том, что при движении вращающегося тела в потоке жидкости или газа скорость движения среды с одной стороны тела увеличивается, с другой стороны – уменьшается (рис.1). Разность скоростей приводит к разности давлений (P1P2) и, в конечном итоге, к поперечной силе F, действующей на вращающееся тело.

Рассмотрим движение мяча массой m, движущегося от удара футболиста с углового с начальной скоростью V0 в сторону ворот (рис. 2) без учета сопротивления воздуха, но с учетом силы Магнуса Fм. Если мячу придано вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , сила Fм будет направлена в сторону плоскости ворот yz [1]. Дифференциальные уравнения движения мяча имеют вид (g – ускорение свободного падения, Fтяж = mg – сила тяжести или вес мяча):

Рис. 2. «Сухой лист» – удар с углового в створ ворот

Для интегрирования этих дифференциальных уравнений следует использовать начальные условия:

где – угол между вектором начальной скорости V0 и горизонтальной плоскостью xy, – угол между проекцией вектора V0 на горизонтальную плоскость и плоскостью створа ворот yz.

Решение дифференциальных уравнений (1) с учетом начальных условий (2) приводит к уравнениям движения мяча теперь уже не по плоской, а пространственной траектории:

В створ ворот мяч попадает при одновременном выполнении нескольких условий (табл. 1).

Таблица 1. Условия попадания в створ ворот

Физический смысл

Математическое условие

Примечания (см. рис. 2)

Пересечение плоскости ворот

Из этого условия можно найти время T от удара до попадания в ворота

Попадание в ворота по ширине

а – расстояние от угла до ближайшей стойки ворот, b – расстояние между стойками ворот

Попадание в ворота по высоте

h – высота до верхней перекладины ворот


Несмотря на кажущуюся простоту кинематических уравнений движения мяча (3) и условий попадания в ворота (табл. 1), разрешить их аналитически в полном объеме довольно сложно. С учетом возможностей компьютерной техники дальнейшее решение задачи выполнено численным методом в оболочке Excel. Для численного эксперимента исходные данные были разбиты на две группы: постоянные и варьируемые.

Постоянные исходные данные: масса мяча m = 0,45 кг, расстояние от угла до ближайшей стойки ворот а = 30,34 м, расстояние между стойками ворот b = 7,32 м, высота до верхней перекладины ворот h = 2,44 м.

Варьируемые исходные данные:

Угол между вектором начальной скорости V0 и горизонтальной плоскостью xy, . Шаг варьирования 10.

Угол между проекцией вектора V0 на горизонтальную плоскость и плоскостью створа ворот yz, . Шаг варьирования 10.

К варьируемым исходным данным относится также сила Магнуса Fм. Для вращающегося шара (мяча) она находится по формуле [1, 6]:

(4)

где = 1,225 кг/м3 – плотность воздуха, V – варьируемая скорость мяча, м2 – поперечная площадь футбольного мяча со стандартным радиусом R = 0,1114 м, k – постоянный коэффициент, зависящий от угловой скорости вращения мяча и скорости V его движения; примерные экспериментальные значения коэффициента k при движении в воздухе . Примем шаг изменения коэффициента при одной и той же скорости равным 0,1. Таким образом, сила Магнуса в зависимости от скорости V движения мяча и коэффициента k варьируется в пределах с шагом . Как частный случай, при k = 0 сила Магнуса Fм = 0.

Еще один варьируемый параметр – это начальная скорость мяча в пределах от минимальной до максимальной скорости . Из имеющихся источников известно, что максимальная начальная скорость мяча от удара футболиста составляет порядка 30-35 м/с, а рекордная зафиксированная начальная скорость – 36 м/с (130 км/ч). В дальнейшем максимальную начальную скорость примем как для высококлассного игрока: м/c. Что касается минимальной начальной скорости , то она должна быть рассчитана исходя из первого попадания в ворота при ее увеличении (варьировании) от м/с. Шаг варьирования начальной скорости 1 м/c.

Программа численного эксперимента в оболочке Excel составлена так, что результаты получаются в виде электронной таблицы (табл. 2), содержащей примерно 8000 строк. При варьировании углов и (столбцы А и В) рассчитывается время Т движения мяча от удара с углового до пересечения с плоскостью ворот (столбец С), определяются координаты z и y (столбцы D и Е) и проверяются условия попадания в ворота (столбцы F и G), в столбце Н (Гол?) дается ответ: «ДА» (попадание в створ ворот) или «НЕТ». Формирование электронной таблицы в виде списка дает возможность отсортировать все строки, содержащие «ДА» (столбец H).

Таблица 2. Фрагмент электронной таблицы при V0 = 22 м/с, k = 0,4


Варьируя коэффициент k и начальную скорость от самых минимальных значений , с помощью электронных таблиц было выяснено, при какой минимальной начальной скорости можно попасть в створ ворот (рис. 3). Очевидно, при возрастании коэффициента k минимальная начальная скорость возрастает.

Рис. 3. Минимальная начальная скорость мяча

С помощью этих же электронных таблиц (см. табл. 2) при варьировании начальной скорости V0 и коэффициента k построены области изменения углов и для попадания в ворота (рис. 4). Совокупности углов образуют четко выраженную область. Так, при V0 = 22 м/c и k = 0,4 пределы изменения углов , . Если обратить внимание на число точек, соответствующих каждому α, то можно заметить, что при α от 25° до 36° их наибольшее количество (достигает 5). В области от 22° до 24° их максимум две. Таким образом, можно сделать вывод, что при достаточно сильном крученом ударе с углового футболисту необходимо бить под углом к полю в 30°±5°, угол β дает больше свободы выбора – его значения находятся в диапазоне 37°±11°. Чем выше удар, тем сильнее надо отклонять его направление от плоскости ворот. При этом наиболее высока вероятность попадания в ворота.


а б

Рис 4. Совокупности углов для попадания в ворота при V0 = 22 м/с, k = 0,4:

а – мелкий масштаб, б – увеличенный масштаб

Еще один важный результат, который получен с помощью электронных таблиц в виде списка – «кучность» попадания в ворота (рис. 5). Видно, что подавляющее число попаданий приходится на левую половину створа, и лишь малая часть располагается в центре внизу. Следовательно, вратарю и защите в данном случае необходимо наибольшее внимание обратить именно на эту часть створа ворот. Удар «сухим листом» тем и хорош, что может легко ввести в заблуждение противника.

Возможны и другие начальные скорости мяча – все зависит от мастерства футболиста и силы удара. Численный эксперимент показал, что при уменьшении начальной скорости при тех же остальных параметрах наблюдается существенное уменьшение области возможных сочетаний углов α и β и, как следствие, меньшая вероятность забить гол. Причем все места попадания в этих случаях сконцентрированы в нижней части левой половины ворот (это наблюдается уже при скорости в 20 м/с). При увеличении скорости сначала наблюдается расширение области возможных сочетаний углов, потом при скорости примерно 26 м/с ее сужение и разрыв в определенном диапазоне α (это будет наблюдаться при ). Интересен и тот факт, что при увеличении начальной скорости распределение мест возможных голов становится равномерным по всему створу, а при скоростях м/с происходит концентрация мест попадания на правой части створа ворот (удаленной от места удара). Значит, чем сильнее удар, тем выше вероятность попадания мяча за вратарем.

Рис 5. «Кучность» попадания в ворота при V0 = 22 м/с, k = 0,4: а – мелкий масштаб, б – увеличенный масштаб по размеру ворот

Таким образом, явление, которое в мире футбола называется «сухой лист», является весьма сложным для строгого аналитического решения, однако возможно ее численное решение и анализ. Даже упрощенный подход, без учета сопротивления воздуха, определяет причину необычного поведения мяча и довольно реалистично описывает явление удара «сухим листом». Уже на основании полученных результатов можно дать вполне определенные рекомендации для тренеров, футболистов, для секций и спортивных школ, ориентированных на футбол, так как полученные выводы и закономерности весьма наглядно дают понять, с какой скоростью, в каком направлении нужно пробить угловой удар, чтобы забить мяч в ворота.

Продолжение этой работы видится в том, что с помощью подобного численного эксперимента можно учесть сопротивление воздуха, изменение во время движения мяча силы Магнуса, другие факторы. Но поправки не должны быть слишком большими, так как время движения мяча и расстояния невелики. Подобные исследования могут представлять интерес для мини-футбола, других видов спорта, где используются «резаные» удары – теннис, волейбол, гандбол, баскетбол и другие.

Литература:
  1. Аппель П. Теоретическая механика. Том первый. Статика. Динамика точки. – М.: Физматгиз, 1960. – 516 с.

  2. Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. Курс теоретической механики. Том второй. Динамика. – М.: Наука, 1979. – 544 с.

  3. Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. Курс теоретической механики. Том второй. Динамика. – М.: Наука, 1983. – 640 с.

  4. Локтев В.И. Теоретическая механика. Конспект-справочник. – Астрахань: АГТУ, 2010. – 132 с.

  5. Ехсеl 2003. Библия пользователя. – М.: ИД “Вильямс”, 2008. – 768 с.

  6. http://ru.wikipedia.org/wiki - эффект Магнуса



Основные термины (генерируются автоматически): движения мяча, начальной скорости, створа ворот, створ ворот, начальная скорость мяча, начальной скорости v0, ворот yz, плоскостью створа ворот, створа ворот yz, ближайшей стойки ворот, вектором начальной скорости, стойками ворот, плоскости ворот, линии ворот, минимальной начальной скорости, скорости вращения мяча, Магнуса Fм, вероятность попадания мяча, начальные скорости мяча, сила Магнуса.

Обсуждение

Социальные комментарии Cackle
Задать вопрос