Теорема Безу при решении задач

Ключевые слова: многочлен, остаток, следствие, целый коэффициент, необходимое и достаточное условие, найти корень, наибольший общий делитель (НОД), алгоритм Евклида, делитель целого числа.

Keywords: polynom, residual, conslusion, integer, necessary and enough, search a root, greatest common divisor or highest common factor (GCD or HCF), factor of an integer, degree.

Понятие многочлена имеет значительное место в математике. В том числе понятие корень многочлена часто используется в алгебре и анализе. Формула нахождения корня многочлена для выглядит более сложной. Но является ли данное число корнем многочлена или нет, можно проверить с помощью теорем. Ниже мы рассмотрим теорему Безу, которая является одной из таких теорем.

Пусть — многочлен -й степени с действительными коэффициентами:

и

Следствие 1. Для многочлена удовлетворяющую условию выполняется следующее равенство:

Некоторые применения теоремы Безу:

1. Нахождение корней многочлена . В общем случае эти корни могут принадлежать любому множеству .

Обычно, если отношение свободного члена многочлена к главному коэффициенту не является целым числом, то этот многочлен не имеет целых корней. В этом случае корни многочлена находятся по теореме Безу следующим образом:

1. Сначала найдем целые делители главного коэффициента многочлена .
2. Числа, которые могут иметь рациональные корни: .
3. Проверяются всевозможные числа, т. е. должно выполняться условие , чтобы найденные по теореме Безу рациональные числа были корнями.

Решение: Вданном примере главный коэффициент отличен от 1. Поэтому сначала проверяем: . Отсюда следует, что многочлен не имеет целых корней. Теперь найдем рациональные корни многочлена, используя теорему Безу.

1. Найдем целые делители главного коэффициента многочлена :

2.

не является корнем.

не является корнем.

не является корнем.

является корнем.

не является корнем.

является корнем.

не является корнем.

не является корнем.

не является корнем.

Ответ: Данный многочлен имеет два рациональных корня:

Задача 2 . Найти частное от деления многочлена на многочлен .

Решение:

Задача 3. Остаток от деления многочлена на двучлен равен 5.

Остаток от деления многочлена на равен 4.

Остаток от деления многочлена на равен 3.

Решение. Используя теорему Безу, запишем параметры и заданные многочлены:

Согласно теореме Безу остаток от деления многочлена на двучлен равен значению этого многочлена при , т. е. . Тогда

Следовательно

Решение:

Все решения ищутся среди делителей свободного члена согласно вышеизложенному. Тогда их легко проверить с помощью теоремы Безу:

Следовательно по теореме Безу число 3 является единственным целым решением данного уравнения. В общем случае оно может быть кратным корнем.

По следствию теоремы Безу, если разделим данный многочлен на многочлен (x-3), то:

Снова используя теорему Безу, имеем

т. е. число 3 является корнем многочлена P(x).

Задача 4. Существует ли многочлен такой, что при и 

Решение. Согласно теореме Безу остаток от деления многочлена

Пусть . Используя теорему Безу, имеем Следовательно, . Проверяя условия задачи, имеем и .

Ответ: Да, существует. Например, .

Решение. Если ввести обозначение , то для заданных корней многочлена по теореме Безу необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие для решений.

Для данной задачи решения должны быть целые числа. Поэтому мы находим целые делители свободного члена данного многочлена и проверяем, используя теорему Безу.

Здесь свободный член . Целые делители свободного члена равны: . Проверим, являются ли эти числа решениями уравнения или корнями многочлена, используя теорему Безу:

Здесь число 17 не является корнем. Потому что значение параметра отлично от других.

Замечание. Уравнение не имело бы трех целочисленных решений, если бы количество значений, отличных друг от друга, было больше единицы, когда проверили возможные целые значения

Следствие 2. Напомним, что остаток от деления многочлена на равен сумме коэффициентов этого многочлена.

Сумму коэффициентов многочлена можно определить, используя следствия, полученные из приведенной выше теоремы Безу.

Задача 6. Найти сумму коэффициентов многочлена

Решение.

Литература:

1. Andrzej Trybulec. On the sets inhabited by numbers. Formalized Mathematics, 11(4):341–347, 2003.
2. Винберг Э. Б. Курс алгебры, — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5–88688–060–7.
3. Piotr Rudnicki (2004). «Little Bézout Theorem (Factor Theorem)" Formalized Mathematics. 12 (1): 49–58.