Мектеп геометриясындағы салу есептерін рационал коэффициентті көпмүшелер теориясы тұрғысынан зерттеу



Салу есептері бұл тек қана сызғыш және циркуль көмегімен геометриялық объекттерді тұрғызу. Адамның үздіксіз білім алуға дайындығы мен оның әр түрлі ортада өз бетімен білім алуын қамтамасыз ету, математикалық білімін дамытуда негізгі фактор болып табылады. Бұл қажеттіліктерді жалпы мектептерде толық күйде қанағаттандыра алмайды. Алайда қызығушылықтары басқа облыста жататын оқушылардың күшті, әлсіз және барлығын ескеруге мүмкіншілік беретін сабақтан тыс қосымша математикалық білім алуды әртараптандыру қажетті. Сонымен қатар, абстрактылы математикалық түсініктің объективті шындықпен байланысы қосымша математикалық ғылымды үйренудің негізгі себебі болады.

Кілтті сөздер: мектеп геометриясындағы салу есептері, рационал коэффициент, көпмүшелер теориясы

Задача на построение — это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инстрментами: циркулем и линейкой. Математическое развитие является важным фактором, обеспечивающим готовность человека к непрерывному образованию и самообразованию в самых различных областях человеческой деятельности. Общеобразовательная школа не в состоянии в полной мере удовлетворить такие потребности. Однако дополнительное математическое образование учащихся в форме внеклассных занятий является необходимым условием диверсификации образования, дает возможность учитывать всех школьников, сильных, слабых и тех, чьи интересы лежат в другой области. Также важной причиной дополнительного изучения математических наук в школе является связь абстрактных математических понятий с объективной действительностью.

Ключевые слова: задача на построение, многочленов с рациональными коэффициентами, построения задач школьной геометрии.

Геометриялық салу есептері — геометрияның міндетті тарауларының бірі болып саналады. Мектеп геометрия курсында теориялық материалдарды баяндауда салу есептері үлкен мәнге ие. Өйткені олар геометрия курсында оқытылған геометриялық образдардың арасындағы шынайы қатынастарды аңғаруға мүмкіндік береді. Бұл мақаланың мақсаты жоғарғы мектеп оқулықтарында берілген геометриялық салу есептерін беру әдістемелерін зерттеу және рационал көпмүшелер теориясы тұрғысынан геометриялық салу есептерін шығару әдістемесін ұсыну.

Біздің э.д VII ғасырдан VIII ғасырға дейінгі уақыт аралығында грек ғалымдары геометрия саласында, нақтырақ айтқанда салу есептері жөнінде аса көп мәліметтер қорын жинап, оларды өңдеді. Салу есептерінде ескеретін жағдай: салу жұмысын орындағанда тек сызғыш пен циркуль пайдаланып, басқа аспаптар қолданылмағанда ғана мұндай салуды ежелгі грек ғалымдары геометриялық салу деп есептеген. Ал егер салу жұмысын орындағанда басқа құралдар, мысалы сызбалық үшбұрыш, бөліктері бар сызғыш қолданылса, онда мұндай шешуді геометрилық салу есептері деп есептемеген.

Кесіндіні қақ бөлудің біздің оқулықтарда көрсетілген тәсілі Прокл (410–485ж.) жазбаларында баяндалған, Евклидтің атақты «Бастамаларында» салу есептерін қарастыруға үлкен орын берілген. Оның 13 кітабында көптеген салу есептері қарастырылған, олардың бірсыпырасы орта мектепте қазірде де қарастырылады. Евклид «Бастамаларының» бірінші кітабында үшбұрыштарды салу тақырыбы енгізілген. Оның төртінші кітабында басқа мәселелермен бірге, дұрыс төртбұрышты, бесбұрышты, алтыбұрышты және онбесбұрышты салу мәселелері қарастырылған. Әсіресе бұрышты тең үш бөлікке бөлу (бұрыш трисекциясы) туралы есепке көп еңбек еткен. Алайда бұл есепті шешуге арналған барлық еңбек зая кетті. Бұл есепті тек сызғыш пен циркульді қолданып шешуге болмайтындығы қазіргі уақытта дәлелденді.

Циркуль мен сызғышты пайдаланып салуға болмайтын есептерді шешуге геометриялық алгебра жарамсыз болды. Көп ұзамай осындай есептердің көп екендігі анықталды. Солардың ішінен математиканың ұзақ тарихи жолында сарапқа салынып, математиканың дамуына үлкен ықпал жасаған үш есепке тоқталайық.

1. Кубты екі еселеу есебі- көлемі берілген кубтың көлемінен екі есе үлкен куб салу керек.
2. Бұрышты трисекциялау есебі -берілген бұрышты тең үшке бөлу.
3. Дөңгелекті квадраттау есебі -берілген дөңгелекке тең аудандас квадрат салу.

Енді осы үш салынбайтын есепке аздап тоқталсақ. Ол үшін бізге алдымен теорема беруіміз керек.

Теорема.

көпмүшелігінің сақинасында кубтық көпмүшелік болсын. Егер көпмүшелігінің өрісінде түбірі табылмаса, онда көпмүшелігінің түбірі конструктивті сан болмайды.

Бұл теореманың негізгі мақсаты, Мысалыға конструктивті сан болмайды, себебі ол -нің түбірі болады, ал бұл рационал түбір болып табылмайды.

Кубтың көлемін екі еселеп салу . және берілген кубтың бір қырының ұштары нүктесіндегі және

қыры жазықтық координатасындағы бірлік шеңбер болсын. Сонымен берілген кубтың қырының ұзындығы 1 тең болса, онда көлемі де 1 тең болады емеспе. Енді бізге көлемі екі болатын кубты салу керек. Егер сызғыш және циркуль көмегімен кубтың жағының көлемін 2 қылып сала алсақ, онда теңдеудін қанағаттандыратын конструктивті саны болар еді. Осылайша саны түбірі болар еді. Бірақ бұл көпмүшеліктің рационал түбірі болмайды. Осы қайшылық көрсетіп тұрғандай мұндағы кубты сызғыш және циркуль көмегімен салу мүмкін емес.

Кез келген бұрышты үшке бөлу. бұрышты сызғыш және циркуль көмегімен үшке бөле алмайтындығымызды дәлелдесек жеткілікті. және деген нүктелерді таңдайық және жазықтықтың координаталар басы және болсын.

конструктивті болады, содан осы координаталар Теорема 2.1 және Салдар 2.2 бойынша конструктивті сандар болады. Тағы айту керек, шеңберінде жатады. Сондықтан бұрышының косинусы 1/2 болады. нүктесінің бірінші координатасы және яғни тең. Егер осы бұрыштарды сызғыш және циркуль көмегімен үшке бөлу мүмкін болғанда, онда салудың конструктивті нүктесі сияқты бұрышы шешімі болатындай ақырлы тізбегі болар еді. 1-суретте осы жағдайларды көрсетеді.

1-сурет

нүктесі конструктивті шеңбердің конструктивті түзуімен сәйкес қиылысуы ретінде конструктивті нүкте болады. Демек оның бірінші координатасы конструктивті сан болады. Сондықтан теорема бойынша конструктивті сан болады. Бірақ аргументіндегі бұрыштарды (Жаттығу 6), элементарлы тригонометрияны қолданып, аламыз:

Егер болғандағы мәнін есептесек,

Теңдіктің екі жағында 2 көбейтеміз, сонда бізде келесі түрдегі теңдік шығады:

Сонымен теңдеуінің түбірі конструктивті саны болады. Рационал түбір тесті көрсетіп тұрғандай қарастырып отырған көпмүшеліктің рационал түбірі жоқ және теорема бойынша олар конструктивті емес. Бұл қарама-қайшылық. Сондықтан градус сызғыш және циркуль көмегімен үшке бөлінбейді.

Теорема. конструктивті сан болады, егер және болса. Онда әрбір және конструктивті сан болады.

Дәлелдеуі. Біз бірінші және сандарын оң деп санаймыз және конструктивті болатынын көрсетеміз. Содан және

конструктивті сандар және түзуінде анықталған және нүктелері конструктивті болады. конструктивті нүктесі түзуіне паралель түзу арқылы өтетін конструктивті болады. конструктивті нүктесі -осьімен қиылысады, 2-суреттің сол жағында көрініп тұр. Демек конструктивті сан. Үшбұрыштардың ұқсастығынан екені көрсетіп тұр, бұдан болатынын. Егер

немесе немесе теріс болса, сандарының конструктивті болады.

2-сурет

Егер болса, онда сөзсіз конструктивті болады. Егер болса, онда

саны қарастырған жағдайдан белгілі конструктивті болатыны. Демек, бұлда конструктивті болады. 1-жаттығуда көрініп тұрғандай және конструктивті болады.

1-жаттығу бойынша саны конструктивті болады. және конструктивті нүктелерінің ортасы орта нүктесі де конструктивті болады. Демек центрі және радиусы шеңбер конструктивті болады. 2-суреттің оң жағында көрсетіліп тұрғандай

-осьіне перпендикуляр түзуде конструктивті түзу болады, нүктесі осы шеңбердің конструктивті нүктесі арқылы қиылысады. Жазықтықтағы геометрия теорема бойынша бір төбесі шеңбердің бойындағы кез келген нүкте, ал қалған екеуі диаметрлерінің ұштары болатын кез келген ұшбұрыш ( осындай) тік бұрышты болады. Пифагор теоремасын пайдаланып көрсетеміз және сондықтан болатынында. Осыдан мәлім конструктивті сан болатыны шығады.

Салдар 2.2. Әрбір рационал сан конструктивті болады.

Дәлелдеуі. Әрбір бүтін сан конструктивті болады (Жаттығу 3). Сондықтан әрбір екі бүтін санның бөлшегі (рационал сандар) бойынша конструктивті болады.

Геометриялық салуларға әртүрлі мысалдар мен жаттығулар.

1.

конструктивті болса, онда және конструктивті болатынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеудің әдісін көрсету үшін біз және рационал сандары қалай салынатынын көрсетсек жеткілікті.

3-сурет

1 қадам. болатындай

коллинеар нүктелерін құрастырамыз.

2 қадам. нүктесі арқылы перпепендикуляр болатын түзуін сызамыз.

3 қадам. болатындай етіп циркулды пайдаланып нүктесін белгілейміз.

4 қадам. нүктесі арқылы параллельболатын

қиятын түзуін жүргіземіз.

5 қадам. нүктесі арқылы параллельболатын қиятын түзуін жүргіземіз.

6 қадам. және екенін көрім тұрмыз.

3. Кез келген бүтін сан конструктивті болатынын дәлелде.

4-сурет

5-сурет

Біз өлшемі 1-ге тең кесінді салып, яғни деген кесінді саламыз(8-сурет). Енді циркуль көмегімен сол кесіндінің ұзындығын алып аламыз. Енді сол бірлік кесіндінің ұшын центр қылып шеңбер жүргіземіз. Сонан соң бастапқы түзумен қосамыз, яғни біз 2 деген өлшемді аламыз. Осы процесті жалғастыра отырып біз барлық оң бүтін сандарын сала аламыз. Ал теріс бүтін сандарды салу үшін нүктесін центр етіп шеңбер жүргіземіз (9-сурет). Сонда біз кесіндісін аламыз. Осылай барлық теріс бүтін сандарды алымызға болады. Яғни кез келеген бүтін сан конструктивті болады.

4. Егер конструктивті болса, конструктивті боладыма.

конструктивті болсын. қалай салынатынын көрсетеміз.

1-қадам. ұзындықтағы кесінді саламыз.

2-қадам. ұзындықта болатын қимасын алу үшін кесіндінің ортасын құрыңыз.

3-қадам. нүктесінде -ға перпендикуляр болатын сәулесін құрамыз.

4-қадам. нүктесі арқылы шеңбердің радиусын саламыз. Осы шеңбер нүктесінде қиылысады.

5-қадам. үшбұрышын қараймыз.

6-cурет

6-қадам. Пифагор теоремасы бойынша.

7- қадам. Осылайша .

5. Бірлік кесіндіден бастап циркуль мен сызғыш көмегімен ұзындыққа тең кесіндіні сал.

7-сурет

Біз бұл ұзындықты салу үшін кесіндісін салып аламыз. кесіндісін салу үшін алдындағы есепте көрсетілген шешілу жолын қараймыз. Яғни, кесіндісін салу үшін алдымен 3 бірлік саламыз. және конструктивті нүктелерінің ортасы орта нүктесі де конструктивті болады. Демек центрі және радиусы шеңбер конструктивті болады. 11-суретте көрсетіліп тұрғандай

-осьіне перпендикуляр түзуде конструктивті түзу болады, нүктесі осы шеңбердің конструктивті нүктесі арқылы қиылысады. Жазықтықтағы геометрияның теоремасы бойынша бір төбесі шеңбердің бойындағы кез келген нүкте, ал қалған екеуі диаметрлерінің ұштары болатын кез келген ұшбұрыш ( осындай) тік бұрышты болады. Пифагор теоремасын пайдаланып болатын көрсетеміз, сондықтан болады. Яғни қалай

Енді жүйеге қосу амалын орындап, теңестірсек келесі теңдеуге келеміз,

Осыдан конструктивті сан болатыны шығады. Енді осыған 1 бірлік кесіндіні қосамыз.

6. саны сызғыш және циркуль көмегімен салуға боладыма.

8-сурет

кесіндісін салу үшін алдымен қарапайым ғана бірлік кесінді салып, сол арқылы шаршы құрастырамыз, яғни ауданы 1-ге тең. Осы шаршының диоганалін радиус етіп, бастапқы нүктеден шеңбер жүргіземіз. Сонан соң шеңбердің кесіндісімен қиылысу нүктесі

болады. Яғни саны конструктивті.

Енді жоғарыдағы есептен екінің кез келген түбір дәрежесі конструктивті ме? -деген сұрақ туады.

9-сурет