Задача определения баллистических коэффициентов функционала управления дальностью беспилотного летательного аппарата



В современных беспилотных баллистических летательных аппаратах межконтинентальной дальности полета в системе управления реализован функциональный метод наведения, определяющий правило выбора момента отключения разгонного блока в целях минимизации отклонения точки падения полезной нагрузки от точки прицеливания. Для реализации этого правила в состав полетного задания вводятся значения так называемых баллистических производных, которые определяются перед пуском летательного аппарата на основании расчетов программной траектории.

В работе раскрыт математический и физический смысл баллистических производных, рассмотрены методы их расчета средствами математического и регрессионного анализа.

Введение

Для простоты предположим, что полет летательного аппарата после отключения разгонного блока осуществляется только под действием однородного гравитационного поля, характеризуемого вектором . Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с точкой пуска летательного аппарата, а ось параллельна вектору (рисунок 1).

Рис. 1

Предположим, что точка прицеливания Ц лежит на оси . Пусть рассчитана попадающая программная траектория полета летательного аппарата и момент отключения его разгонного блока. Этому моменту соответствует точка , характеризуемая радиус-вектором положения центра масс летательного аппарата и вектором его скорости .

Если полет аппарата при работающем разгонном блоке осуществляется строго по рассчитанной программной траектории, то в момент его отключения центр масс аппарата окажется точно в точке с координатами фазового пространства и полезная нагрузка попадет в точку прицеливания. В случае возмущенного полета фактические координаты центра масс в момент отключения ускорительного блока могут не совпасть с расчетными и полезная нагрузка, в этом случае, не попадет в цель, то есть будет иметь место перелет (точка ) или недолет (точка ).

Для обеспечения точного попадания в цель в рамках реализации функционального наведения вместо фиксированного момента времени отключения разгонного блока используется момент, сформированный на основе анализа текущих параметров движения летательного аппарата. Такой анализ основан на расчете в процессе полета значения функции промаха

, которая представляет собой разность между полной дальностью полета обеспечиваемой отключением разгонного блока в расчетной точке и дальностью, обеспечиваемой отключением блока в текущей точке фазового пространства:

. (1)

Разгонный блок необходимо отключить в тот момент, когда выполняется условие попадания в точку прицеливания, то есть в тот момент, когда функция промаха примет нулевое значение

. (2)

На практике реализация в системе управления летательным аппаратом алгоритма (1) вызывает большие трудности в силу вычислительной сложности. Поэтому вместо формулы (1) используется выражение на основе так называемого функционала управления дальностью.

Функционал управления дальностью получается в результате разложения в ряд Тейлора функции промаха в окрестности расчетной точки

.

Введем обозначение для дифференциального оператора

. (3)

С учетом обозначения (3) разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки примет вид

, (4)

где — остаточный член порядка

.

Ограничиваясь в (4) одним слагаемым и откидывая остаток получим линейную аппроксимацию функции

. (5)

В случае использования двух слагаемых ( ), получим квадратичную аппроксимацию

. (6)

Выражения (5) и (6) обычно записываются в виде (7) и (8) соответственно

, (7)

, (8)

Второе слагаемое в обоих выражениях является постоянной величиной и называется настроечным значением функционала. Первое слагаемое в (7) и в (8) представляют собой функции параметров движения и носят названия линейного и квадратичного функционала управления дальностью соответственно.

Настроечное значение

как в формуле (7) так и в формуле (8) одинаковое и определяется по формуле

. (9)

Значения частных производных в расчетной точке

, , , (10)

называются баллистическими производными. Каждая баллистическая производная показывает, насколько изменится дальность полета при отклонении соответствующего параметра движения на единицу.

Линейный функционал в обозначениях (10) принимает вид

. (11)

Таким образом, отключение разгонного блока может быть осуществлено в соответствии с правилом

. (12)

Реализация правила (12) предполагает вычисление перед стартом баллистических производных в расчетной точке фазового пространства и настроечного значения, а во время полета определение текущих параметров движения и вычисление линейного функционала.

Для реализации в системе управления квадратичного функционала необходим, в соответствии с выражением (6), дополнительный расчет баллистических производных высших порядков:

, , ,

,

, , , (13)

, , .

Квадратичный функционал в обозначениях (10) и (13) запишется как

…(14)

.

Отключение разгонного блока в данном случае выполняется в соответствии с правилом

. (15)

При известной расчетной точке

и характере движения в работе ставятся и решаются следующие задачи:

1) Рассчитать баллистические производные линейного и квадратичного функционалов при известном значении функции дальности полета .

2) Рассчитать оценки баллистических производных линейного и квадратичного функционалов при неизвестном значении функции дальности полета и известных данных об экспериментальных пусках. Сравнить истинные и оценочные значения баллистических производных.

3) Сравнить точность аппроксимации функции промаха линейным

и квадратичным приближением.

В рамках решения первой задачи для расчета аналитического выражения функции дальности в условиях оговоренных ограничений необходимо решить задачу Коши

(16)

, .

В результате решения (16) определим траекторию движения центра масс . Приравниванием к нулю скалярной функции

определяется время полета по баллистической траектории. Подстановка этого времени в функцию даст дальность полета на баллистическом участке. Прибавляя к полученной дальности дальность управляемого полета получим выражение для расчета полной дальности полета аппарата

. (17)

Зафиксировав расчетную точку в фазовом пространстве, вычисление баллистических производных по формулам (10), (13) не представляет особого труда. В дальнейшем размерности величин будем предполагать выраженными в системе СИ. Зададимся значением расчетной точки

.

Баллистические коэффициенты, в этом случае, будут иметь значения, указанные в столбце « » таблицы 1.

Для решения второй задачи предположим, что зависимость величины промаха от отклонения фактической точки отключения разгонного блока описывается регрессионной моделью в каждом — ом экспериментальном пуске

(18)

.

Здесь для некоторых символов

и через обозначена разность полученная на — ом экспериментальном пуске (измерении), через — величина промаха. Слагаемое означает реализацию случайной ошибки с параметрами . При этом полагается, что случайные ошибки в разных измерениях статистически независимы.

Для измерений оценки баллистических производных находятся с помощью метода наименьших квадратов. Оценки полученные по результатам 20, 40 и 80 измерений представлены в таблице 1 в столбцах «

», « » и « » соответственно. При расчетах использовалась надстройка «Анализ данных» для программы MS Excel. При этом, экспериментальные пуски моделировались так, чтобы любое значение не превышало 5 % от расчетного . В результаты измерения вносилась ошибка с параметрами .

Таблица 1

	1.0000	1.6835	0.9699	1.0023	-0,6835	0,0300	0,0023
	1.9619	2.9871	2.0412	1.9049	-1,0253	-0,0793	-0,0570
	10.3031	10.2681	10.3027	10.3025	0,0349	0,0003	-0,0006
	20.2139	20.0919	20.2175	20.2084	0,1220	-0,0036	-0,0055
	0.0000	-0.3232	0.7329	0.5460	0,3232	-0,7329	0,5460
	-0.0074	3.2877	3.7573	0.8276	-3,2952	-3,7647	0,8350
	0.0000	0.0052	-0.0013	0.0000	-0,0053	0,0013	0,0001
	0.0076	0.1914	-0.0071	0.0087	-0,1839	0,0147	0,0012
	0.0000	-5.6646	0.3972	-0.3288	5,6646	-0,3972	-0,3288
	0.0000	0.0297	-0.0009	-0.0072	-0,0297	0,0009	-0,0072
	0.0000	0.7074	-0.0020	-0.0099	-0,7074	0,0020	0,0099
	0.0196	0.1881	0.0127	0.0024	-0,1686	0,0068	-0,0172
	-0.0378	0.3402	-0.0510	-0.0255	-0,3780	0,0132	0,0123
	0.2021	0.1641	0.1985	0.2008	0,0379	0,0035	-0,0013

Отклонения оценочных баллистических производных от истинных, вычисленные в соответствии с выражением

,

представлены в колонках « », « », « ».

В рамках решения третьей задачи зафиксируем значение отклонения точки фактического отключения разгонного блока от расчетного

, , , ,

и определим величины истинного промаха и величины промахов, рассчитанных на основании линейной и квадратичной аппроксимации при различном объеме измерений. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.

Таблица 2

	41.6245	41.2163	41.6245
	41.6245	41.2635	41.8195
	41.6245	41.2210	41.6499
	41.6245	41.2044	41.6119

Данные в таблице сформированы на основе теоретических и оценочных значений баллистических коэффициентов, рассчитанных на основе выборочных данных различного объема ( , , ).

На основе полученных данных можно предположить, что с увеличением объема измерений точность определения баллистических коэффициентов будет возрастать, что приведет к более точной линейной и квадратичной аппроксимации функции промаха.

Рисунок 2

Кроме того, из рисунка 2 видно, что квадратичная аппроксимация существенно точней описывает функцию промаха по сравнению с линейной для любого рассмотренного объема измерений.

Заключение

Решение поставленных задач позволило оценить точность замены теоретической функции промаха ее линейным и квадратичным приближением при известных теоретических значениях баллистических производных. В силу того, что расчет баллистических производных на практике не может быть выполнен методами математического анализа из-за невозможности определения функции дальности в аналитическом виде, показана возможность их определения методами регрессионного анализа на основе данных об испытательных пусках. При этом испытательные пуски могут быть смоделированы на ЭВМ. Полученные оценки баллистических коэффициентов позволяют построить достаточно точную аппроксимацию теоретической функции промаха.

Литература:

1. Разоренов, Г. Н. Системы управления летательными аппаратами: учебник для вузов / Ю. Ф. Титов, Э. А. Бахрамов, Г. Н. Разоренов. — М.: Машиностроение, 2003. 586 с.
2. Жанжеров, Е. Г. Системы управления движением летательных аппаратов: конспект лекций. Ч. 1. / Е. Г. Жанжеров. — Пермь: ПВВКИУ, 1995. 75 с.
3. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ. Кн. 1 / Н. Дрейпер, Г. Смит; Пер. с англ. Ю. П. Адлер, В. Г. Горский. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 366 с.