О свойствах операции 〖 R〗_0^ω на классах групп | Статья в журнале «Молодой ученый»

Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 14 декабря, печатный экземпляр отправим 18 декабря.

Опубликовать статью в журнале

Автор:

Рубрика: Математика

Опубликовано в Молодой учёный №51 (446) декабрь 2022 г.

Дата публикации: 19.12.2022

Статья просмотрена: 28 раз

Библиографическое описание:

Сорокина, В. Н. О свойствах операции 〖 R〗_0^ω на классах групп / В. Н. Сорокина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2022. — № 51 (446). — С. 3-6. — URL: https://moluch.ru/archive/446/97955/ (дата обращения: 03.12.2024).



В работе изучаются операции на классах конечных групп. Установлены свойства операции , где — непустое множество простых чисел.

Ключевые слова: группа, конечная группа, класс групп, операция на классах групп .

Введение

Теория конечных групп является одним из интенсивно развивающихся направлений современной алгебры (см., например, [4, 9]). В 30-е годы ХХ века в рамках теории групп сформировалось новое направление — теория классов групп (см., например, [3, 8]). В алгебре важным аспектом исследования рассматриваемых объектов является изучение операций над данными объектами. В этой связи с развитием теории классов групп актуальным стал вопрос введения в рассмотрение и изучение операций над классами групп [1].

В настоящее время хорошо известными и наиболее изученными являются такие операции на классах групп, как операции и др. [7]. Именно эти операции определяют такие важные виды классов групп, как формации и классы Фиттинга. Формация представляет собой класс групп, замкнутый относительно операций , класс Фиттинга — это класс групп, замкнутый относительно операций [2].

В современной теории классов групп центральное место занимают локальные формации и локальные классы Фиттинга [5]. Понятие -локальной формации, где непустое множество простых чисел, является естественным обобщением понятия локальной формации, а именно, всякая локальная формация является -локальной для любого множества [6]. Изучение -локальных формаций привело к необходимости введения в рассмотрение новых операций на классах групп, связанных с множеством . Целью настоящей работы является описание свойств операции на классах групп.

Предварительные сведения

В доказательствах теорем используются классические методы теории групп, а также методы теории классов групп. Рассматриваются только конечные группы. Используемые обозначения и определения для групп и классов групп стандартны. Приведем лишь некоторые из них.

Символ ∃ означает квантор существования (произносится «существует» или «для некоторого»), символ

— квантор общности (произносится « для любого » или « для всех »).

Непустое множество с определенной на нём бинарной алгебраической операцией умножения называется группой ( мультипликативной ), если выполняются следующие аксиомы ( аксиомы группы ):

1) ассоциативность операции на ;

2) , : ;

3) , : .

Запись означает, что — нормальная подгруппа группы .Группа называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Порядком конечной группы называется число ее элементов и обозначается . Пусть

− группа, − единичный элемент группы . Подгруппа называется единичной подгруппой группы .

Группы и называются изоморфными и обозначаются , если существует изоморфизм группы на группу

. Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные .

Операцией на классах групп называется отображение множества всех классов групп в себя. Пусть — множество всех классов групп, , , …, — операции на классах групп, 2. Произведением операций , , …,

называется операция на классах групп, обозначаемая , определяемая индуктивно следующим образом: :

1) ;

2) , 2 .

Пусть — операция на классах групп. Тогда .

Пусть непустое множество простых чисел. Натуральное число n называется - числом , если n делится только на простые числа из . Операцией на классах групп называется отображение : , заданное по правилу:

, где , -число, ,…, , 2} для любого класса или, иначе, тогда и только тогда, когда такая, что ,
-число, , , и выполняется равенство .

Основные результаты

В теореме 1 установлена взаимосвязь между классами и .

Теорема 1. Пусть 𝔛 — произвольный класс групп . Тогда .

Доказательство. Пусть

. Покажем, что Рассмотрим следующие подгруппы группы : , ,..., . Поскольку 1, , и натуральное число 1 является -числом, то
, , …, — нормальные -подгруппы группы .

Так как , , …, , то по определению операции приходим к выводу, что . Это, ввиду определения класса групп и изоморфизма

, означает, что .

Таким образом, . Теорема доказана.

В теореме 2 установлена взаимосвязь между классами и .

Теорема 2. Пусть 𝔛 — произвольный класс групп . Тогда .

Доказательство. Установим, что .

а) Покажем, что Пусть . Тогда, согласно теореме 1, справедливо:

Следовательно, .

б) Проверим, что Пусть . Так как , то существует подгруппа

такая, что , порядок является -числом, , и .

Поскольку , то

( ) ,

, …, ,

( ) , , 2, …, , 2,

-число, , 2, …,

, 2,

( ) ,

и так далее,

( ) , , …,

,

( ) , , 2, …, , 2,

-число, , 2, …,

, 2,

( ) .

Из ( ) − ( ) по теореме о соответствии следует, что

( )

, …, , …, , …, — нормальные подгруппы группы .

Из ( ) − ( ) по теореме о гомоморфизмах следует, что

( ) , …,

.

Из ( ) − ( ) по теореме Лагранжа

-число, , 2, …, , -число, , 2, …,

.

Из ( ) − ( ) следует, что , …, и

( )

.

Из ( ) − ( )по определению операции следует, что . Таким образом, справедливо включение .

Из а) и б) получаем равенство . Теорема доказана.

Заключение

Операция является обобщением операции на классах групп. В случае, когда множество совпадает с множеством всех простых чисел, из полученных теорем в качестве следствий вытекают известные свойства операции [2, с. 22].

Литература:

  1. Ведерников В. А. Элементы теории классов групп. — Смоленск: Смоленская городская типография, 1988. 96 с.
  2. Воробьев Н. Н. Алгебра классов конечных групп. — Витебск: ВГУ имени П. М. Машерова, 2012. 322 с.
  3. Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. — Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.
  4. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. — Минск: Высшая школа, 2006. 207 с.
  5. Скиба А. Н. Алгебра формаций. — Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.
  6. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп // Матем. труды. 1999. Т. 2. № 2. — С. 114–147.
  7. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. 272 с.
  8. Doerk K., Нawkes T. Finite soluble groups. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. 891 p.
  9. Guo W. The Theory of Classes of Groups. — Beijing — New York: Science Press, 2000. 258 p.
Основные термины (генерируются автоматически): класс групп, группа, операция, число, непустое множество, теорема, класс, локальная формация, подгруппа группы, конечная группа.


Ключевые слова

группа, конечная группа, класс групп, операция на классах групп

Похожие статьи

Об инъекторах нормальных подгрупп конечных групп

Рассматриваются только конечные группы. Пусть ω — непустое множество простых чисел. В статье для множества Фиттинга F заданной группы G установлены свойства F^ω‑инъектора в N, где N — нормальная подгруппа группы G.

О σ_ω-веерных формациях конечных групп

В работе рассматриваются только конечные группы. Пусть ω — непустое множество простых чисел, σ — произвольное разбиение множества всех простых чисел, σ_ω — произвольное разбиение множества ω. Изучаются σ_ω-веерные формации конечных групп, построенные...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

О влиянии классов групп на подгрупповые функторы

В статье рассматриваются только конечные группы. Установлено влияние свойств класса групп F на свойства подгруппового функтора, выделяющего в каждой группе все ее F^ω-нормальные максимальные подгруппы.

Аддитивные задачи для вычетов по модулю k

Рассматриваются задачи о сложении классов вычетов по растущему модулю. В частности, получены условия, при которых плотность классов вычетов, представимых в виде суммы двух классов из заданных множеств, положительна, то есть число представимых классов...

Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике

Дано полное описание когомологий первой степени простой алгебраической группы типа над алгебраически замкнутым полем характеристики с коэффициентами в простых модулях.

Решение начальной задачи для линейных рекуррентных соотношений первого порядка в случае одношагового расщепления

Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...

Отображения матричных алгебр

В данной статье изучаются отображения алгебр квадратичных матриц четвертого порядка над алгебрах фон Неймана типа I, заданные с помощью отображения сохраняющей коммутативности, и определяется общий вид.

(B,C)-Резольвента фредгольмова оператора с двумерным ядром

Для линейного фредгольмова оператора с нулевым индексом в частном случае двумерного ядра получена формула его (B,C)-резольвенты.

Структурный метод нахождения Z-образа дискретной последовательности

В статье рассматривается алгоритм нахождения Z-образа дискретной последовательности, отсчеты которой могут быть заданы рекуррентной формулой или системой разностных уравнений конечного набора аналитических функций.

Похожие статьи

Об инъекторах нормальных подгрупп конечных групп

Рассматриваются только конечные группы. Пусть ω — непустое множество простых чисел. В статье для множества Фиттинга F заданной группы G установлены свойства F^ω‑инъектора в N, где N — нормальная подгруппа группы G.

О σ_ω-веерных формациях конечных групп

В работе рассматриваются только конечные группы. Пусть ω — непустое множество простых чисел, σ — произвольное разбиение множества всех простых чисел, σ_ω — произвольное разбиение множества ω. Изучаются σ_ω-веерные формации конечных групп, построенные...

Многочлены от одной переменной над булевым кольцом

В данной статье ставится и решается задача о нахождении корней многочлена над булевым кольцом. Представлен алгоритм решения уравнений и систем уравнений от одной переменной над алгеброй множеств. А также рассмотрено применение изложенного материала п...

О влиянии классов групп на подгрупповые функторы

В статье рассматриваются только конечные группы. Установлено влияние свойств класса групп F на свойства подгруппового функтора, выделяющего в каждой группе все ее F^ω-нормальные максимальные подгруппы.

Аддитивные задачи для вычетов по модулю k

Рассматриваются задачи о сложении классов вычетов по растущему модулю. В частности, получены условия, при которых плотность классов вычетов, представимых в виде суммы двух классов из заданных множеств, положительна, то есть число представимых классов...

Когомологии первой степени простых модулей над алгебраической группой типа в положительной характеристике

Дано полное описание когомологий первой степени простой алгебраической группы типа над алгебраически замкнутым полем характеристики с коэффициентами в простых модулях.

Решение начальной задачи для линейных рекуррентных соотношений первого порядка в случае одношагового расщепления

Рассматривается начальная задача для неоднородного линейного рекуррентного соотношения первого порядка с операторными коэффициентами A,B, задаваемыми квадратными числовыми матрицами. Оператор A необратим, вследствие чего задача имеет решение не при к...

Отображения матричных алгебр

В данной статье изучаются отображения алгебр квадратичных матриц четвертого порядка над алгебрах фон Неймана типа I, заданные с помощью отображения сохраняющей коммутативности, и определяется общий вид.

(B,C)-Резольвента фредгольмова оператора с двумерным ядром

Для линейного фредгольмова оператора с нулевым индексом в частном случае двумерного ядра получена формула его (B,C)-резольвенты.

Структурный метод нахождения Z-образа дискретной последовательности

В статье рассматривается алгоритм нахождения Z-образа дискретной последовательности, отсчеты которой могут быть заданы рекуррентной формулой или системой разностных уравнений конечного набора аналитических функций.

Задать вопрос