Ким, Д. И. Теорема о полярном разложении для вещественных AW*-алгебр / Д. И. Ким. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2022. — № 35 (430). — С. 1-3. — URL: https://moluch.ru/archive/430/94717/ (дата обращения: 25.02.2025).
Решения проблем, возникающих в результате научно-прикладных исследований области точных наук, часто сводятся к исследованию физических (динамических) систем и задач квантовой механики, теория которых тесно связана с теорией операторных алгебр. Согласно этой связи, наблюдаемой данной физической системе соответствует линейный самосопряженный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве
, а всякому состоянию рассматриваемой динамической системы соответствует матрица плотности, действующая в
. Поскольку операторные алгебры, в частности (вещественные и комплексные) С*, W*-алгебры, являются именно такими математическими моделями квантовой механики и динамических систем, то каждый результат, полученный в этом направлении, имеет свою интерпретацию и применение в квантовой механике. AW*-алгебры являются обобщением W*-алгебр, естественно возникает вопрос об обобщении и расширении результатов, полученных для W*-алгебр к AW*-алгебрам. В статье обобщается результат Э. Штермера [1, с.146] о полярном разложении элементов для вещественных AW*-алгебр.
Вещественные
-алгебры.
Пусть
— комплексное гильбертово пространство,
— алгебра всех ограниченных линейных операторов на
. Слабая (операторная) топология на
— это локально выпуклая топология, порожденная полунормами вида:
.
-алгебра — это слабо замкнутая комплексная * — алгебра операторов в гильбертовом пространстве H, содержащая тождественный оператор
. Напомним, что
-алгебры также называют алгебрами фон Неймана. Пусть далее
-алгебра. Множество
всех элементов из
, коммутирующих с каждым элементом из
, называется коммутантом алгебры
. Центром
-алгебры
называется множество элементов из
, коммутирующих с каждым элементом из
. Легко видеть, что
. Элементы
называются центральными элементами.
-алгебра
называется фактором, если
состоит из комплексных кратных
, т. е. если
Пусть
проекторы из
. Мы говорим, что
эквивалентно
, и пишем
, если
для некоторой частичной изометрии
из
. Проектор
называется:
конечным
, если
, имеется ввиду
;
бесконечным
— иначе;
чисто бесконечным
, если
не имеет ненулевого конечного подпроектора;
абелевым
, если алгебра
является абелевой
-алгеброй.
- алгебра
называется
конечной, бесконечной, чисто бесконечной
, если
— конечная, бесконечная, чисто бесконечная соответственно;
является -
конечной
, если любое семейство попарно ортогональных проекторов из
не более чем счетно;
полуконечной
, если каждый проектор в
содержит ненулевой конечный подпроектор;
собственно бесконечной
, если каждый ненулевой проектор из
бесконечен;
дискретной, или типа
, если она содержит точный абелев проектор (т. е. абелев проектор с центральной поддержкой
);
непрерывной
, если в
нет абелевого проектора, кроме нулевого;
относится к типу
, если M полуконечна и непрерывна; типа
(соответственно
) если
имеет тип
и конечный (соответственно собственно бесконечный); тип
(соответственно тип
), если M относится к типу
и конечное (соответственно собственно бесконечное); тип
, если
чисто бесконечно. Известно, что любая
-алгебра имеет единственное разложение по своему центру в прямую сумму
-алгебр типов
,
,
,
и
. Под вещественной
-алгеброй понимается вещественная банахова *-алгебра R такая, что имеет место соотношение
и элемент
обратим для любого
. Вещественная
-алгебра
такая, что
является комплексной
-алгеброй, называется вещественной
-алгеброй. Это эквивалентно тому, что алгебра
слабо замкнута и
,
[4, с.353]. Пусть
— вещественная или комплексная *-алгебра и пусть S — непустое подмножество
. Положим
и назовем
правым аннулятором
. Аналогично
обозначает левый аннулятор
.
Определение
. * — алгебра
называется * —
Бэровой
алгеброй, если для любого непустого
для некоторого проектора
. Поскольку
, определение симметрично и может быть дано в терминах левого аннулятора и некоторого проектора
. Здесь
[3, с.22]
Определение
. Вещественная (комплексная)
-алгебра
(алгебра
), являющаяся Бэровской *-алгеброй, называется вещественной (соответственно комплексной)
-алгеброй. Всякая
-алгебра, конечно, является
— алгеброй, однако обратное неверно (более подробно см. [2, с.83]).
Теорема 1.
Предположим, что AW*-алгебра
не имеет части типа
. Тогда существует вещественная *-подалгебра вещественной AW*-алгебры
содержащая
, изоморфная
Доказательство.
Известно, что существуют два ортогональных проектора
и
в
такие что
и симметрия
такая, что
. Положим
. Тогда
и удовлетворяет условию
.
Таким образом,
образуют полную систему матричных единиц для подфактора типа
алгебры
такой, что порождаемая ими вещественная подалгебра содержится в
и изоморфна
.
Теорема 2.
Пусть
— вещественная
алгебра, такая, что
является AW*-алгеброй с точным нормальным полуконечным следом
. Пусть
и
проекторы в
. Тогда
1)
если
для всех центральных проекторов
, то существует такая симметрия
, что
2)
если существует частичная изометрия
такая, что
,
и существует проектор
, где
и
, то существует такая симметрия,
.
Доказательство:
аналогично теоремы сравнения для JW-алгебр, можно показать, что существуют центральный проектор
симметрия
такие, что
,
.
Так как след
является точным, то из
следует, что
. Аналогично из
Отсюда получим
что и доказывает (1). Если
— частичная изометрия в
такая, что
и
, то
для всех центральных проекторов
в
. Одинаковые тождества выполняются и для
и
. Тогда по (1) существует симметрия
, такая, что
t=
так как
и след
— точный. Действительно, так как
из этого
Получаем
. Предложение доказано.
Теперь докажем основной результат работы: теорема о полярном разложении элементов вещественных AW*-алгебр.
Теорема 3.
Пусть
— вещественная
алгебра и
— полярное разложение
, где
— частичная изометрия на
с начальным и конечным пространствами
и
, соответственно. Тогда
Доказательство.
Так как
и
— С*-алгебра, то существуют
,
и
. Поскольку
, то имеем
, т. е.
. Так как
для
, и элемент u является изометрией, то для носителя
имеем
. Однако
поэтому получим
. Таким образом,
и
. Теорема доказана.
Литература:
E.Stormer Real structure in the hyperfinite factor Vol. 47, No.1 Duke mathematical journal (C) March 1980 145–153
Ayupov Sh.A., Rakhimov A. A. Real W*-algebras, Actions of groups and Index theory for real factors. VDM Publishing House Ltd. Beau-Bassin, Germany, Bonn. ISBN 978–3–639–29066–0. 2010, p.138
S. K. Berberian. Baer *-rings. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg N. Y. 1972
Erling Størmer 1967 On anti-automorphisms of von Neumann algebras. Pacific J. Math. 21(2): 349–370(1967).
В статье исследуются процессы генерации магнитных полей конвекцией Рэлея-Бенара в плоском слое плазмы со свободными границами. В рамках электронной магнитной гидродинамики получены значения критического числа Рэлея для стационарной конвекции и опреде...
Одним из распространенных пакетов символьных вычислений является Maple. В основном этот пакет ориентирован на символьное вычисление и численную составляющую [1,2]. Актуальной задачей является разработка проблемно специализированной системы расчетов я...
Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса , которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора может содержать лакуны. Получено достаточное у...
Как известно, к настоящему времени предложено большое число уравнений состояния для описания свойств систем природных углеводородов. Для инженерных расчетов более удобны кубические относительно объема уравнения состояния. Их теоретической основой явл...
В данной статье с алгоритмической точки зрения исследуется одна из оптимизационных задач теории графов — задача о доминировании, которая является естествен-ной моделью для многих задач размещения, изучаемых в исследовании операций и возникающих в мно...
Как известно, метод А. М. Пирвердяна аналогичен методу последовательной смены стационарных состояний (ПССС) и уточняет его [1]. В этом методе, как и в методе ПССС неустановившийся фильтрационный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на д...
В статье рассматривается задача механики разрушения о взаимодействии ортотропных упругих включений, поверхность которых равномерно покрыта однородной пленкой, и прямолинейных зон предразрушения со связями между берегами коллинеарных осям абсцисс и ор...
В данной работе была рассмотрена многошаговая задача поиска неподвижного объекта, спрятанного среди n коробок, за k шагов, в которой обучающийся ищущий стремится минимизировать затраты ресурсов, требуемые на нахождение объекта при условии, что вероят...
В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.
В работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса с двумерным возмущением, который ассоциирован с системой двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр этой модел...
В статье исследуются процессы генерации магнитных полей конвекцией Рэлея-Бенара в плоском слое плазмы со свободными границами. В рамках электронной магнитной гидродинамики получены значения критического числа Рэлея для стационарной конвекции и опреде...
Одним из распространенных пакетов символьных вычислений является Maple. В основном этот пакет ориентирован на символьное вычисление и численную составляющую [1,2]. Актуальной задачей является разработка проблемно специализированной системы расчетов я...
Рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса , которая ассоциирована гамильтонианом системы, состоящей из не более чем двух частиц. Обсуждается случай, когда существенный спектр оператора может содержать лакуны. Получено достаточное у...
Как известно, к настоящему времени предложено большое число уравнений состояния для описания свойств систем природных углеводородов. Для инженерных расчетов более удобны кубические относительно объема уравнения состояния. Их теоретической основой явл...
В данной статье с алгоритмической точки зрения исследуется одна из оптимизационных задач теории графов — задача о доминировании, которая является естествен-ной моделью для многих задач размещения, изучаемых в исследовании операций и возникающих в мно...
Как известно, метод А. М. Пирвердяна аналогичен методу последовательной смены стационарных состояний (ПССС) и уточняет его [1]. В этом методе, как и в методе ПССС неустановившийся фильтрационный поток в каждый момент времени мысленно разбивается на д...
В статье рассматривается задача механики разрушения о взаимодействии ортотропных упругих включений, поверхность которых равномерно покрыта однородной пленкой, и прямолинейных зон предразрушения со связями между берегами коллинеарных осям абсцисс и ор...
В данной работе была рассмотрена многошаговая задача поиска неподвижного объекта, спрятанного среди n коробок, за k шагов, в которой обучающийся ищущий стремится минимизировать затраты ресурсов, требуемые на нахождение объекта при условии, что вероят...
В настоящей работе сформулированы основные свойства числового образа линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве. Приведены несколько примеров разного характера для вычисления числового образа.
В работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса с двумерным возмущением, который ассоциирован с системой двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр этой модел...